專題05 幾何壓軸題專訓(xùn)五-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)幾何滿分真題匯編（全國通用）（解析版）

1、專題05 幾何壓軸題專訓(xùn)五1（2021青海）在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個(gè)數(shù)學(xué)活動，若身旁沒有量角器或三角尺，又需要作，等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展開（如圖1 第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)，得到折痕，同時(shí)得到線段 （如圖猜想論證：（1）若延長交于點(diǎn)，如圖3所示，試判定的形狀，并證明你的結(jié)論拓展探究：（2）在圖3中，若，當(dāng)，滿足什么關(guān)系時(shí)，才能在矩形紙片中剪出符合（1）中結(jié)論的三角形紙片？【答案】（1）是等邊三角形（2）【詳解】解：（1）是等邊三角形，理由如下：如圖3，連接，由折疊的性質(zhì)可得，是等邊三角形，是

2、等邊三角形；（2），是等邊三角形，在矩形紙片中剪出符合（1）中結(jié)論的三角形紙片，2（2021玉林）如圖，在四邊形中，對角線與交于點(diǎn)，已知，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)，連接，（1）求證：四邊形是菱形：（2）設(shè)，求的長【答案】（1）見解析（2）【詳解】（1）證明：，四邊形為平行四邊形，在和中，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，在中，解得，四邊形是菱形，是等邊三角形，在中，根據(jù)勾股定理得，在中，根據(jù)勾股定理得，3（2021濰坊）如圖1，在中，為內(nèi)部的一動點(diǎn)（不在邊上），連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置；將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，（1）求證：；（2）的

3、最小值為 ；當(dāng)取得最小值時(shí)，求證：（3）如圖2，分別是，的中點(diǎn)，連接，在點(diǎn)運(yùn)動的過程中，請判斷的大小是否為定值若是，求出其度數(shù)；若不是，請說明理由【答案】（1）見解析（2）；見解析（3）的大小是為定值，【詳解】解：（1）證明：，在與中，；（2）兩點(diǎn)之間，線段最短，即、共線時(shí)最小，最小值為，故答案為：；證明：，為等邊三角形，即，、共線時(shí)最小，；（3）的大小是為定值，理由：如圖，連接，分別是，的中點(diǎn)，且，為等邊三角形，設(shè)，則，4（2021黔東南州）在四邊形中，對角線平分【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖，若，求證：；【拓展遷移】（2）如圖，若，猜想、三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；若，求四邊形的面積【答案】（

4、1）見解析（2）；【詳解】解：（1）證明：平分，（2），理由：過點(diǎn)分別作于，于平分，于，在和中，在四邊形中，由（1）題知：，平分，又，5（2021畢節(jié)市）如圖1，在中，為內(nèi)一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，的延長線與交于點(diǎn)（1）求證：，；（2）如圖2，連接，已知，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由【答案】（1）見解析（2）【詳解】證明（1）如圖1，線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，在和中，又，；（2），理由如下：如圖2，作于，于，由（1）知，又，平分，又，6（2021嘉興）小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后，進(jìn)一步開展探究活動：將一個(gè)矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，連結(jié)探究如圖1，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)恰好在延長線上

5、若，求的長探究如圖2，連結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)線段與相等嗎？請說明理由探究在探究2的條件下，射線分別交，于點(diǎn)，（如圖，發(fā)現(xiàn)線段，存在一定的數(shù)量關(guān)系，請寫出這個(gè)關(guān)系式，并加以證明【答案】探究；探究；探究關(guān)系式為【詳解】解：探究如圖1，設(shè)，矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，點(diǎn)，在一條線上，又點(diǎn)在的延長線上，解得，（不合題意，舍去），探究證明：如圖2，連接，；探究關(guān)系式為證明：如圖3，連接，在和中，7（2021赤峰）數(shù)學(xué)課上，有這樣一道探究題如圖，已知中，點(diǎn)為平面內(nèi)不與點(diǎn)、重合的任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得線段，連接、點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，設(shè)直線與直線相交所成的較小角為，探究的值和的度數(shù)與、的關(guān)系請你

6、參與學(xué)習(xí)小組的探究過程，并完成以下任務(wù)：（1）填空：【問題發(fā)現(xiàn)】小明研究了時(shí)，如圖1，求出了的值和的度數(shù)分別為，；小紅研究了時(shí)，如圖2，求出了的值和的度數(shù)分別為，；【類比探究】他們又共同研究了時(shí)，如圖3，也求出了的值和的度數(shù)；【歸納總結(jié)】最后他們終于共同探究得出規(guī)律：（用含、的式子表示）；（用含的式子表示）（2）求出時(shí)的值和的度數(shù)【答案】（1），；，；，（2）【詳解】解：（1）如圖1，連接，延長、交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，和都是等邊三角形，、分別是、的中點(diǎn)，又，當(dāng)時(shí)，和都是等腰直角三角形，、分別是、的中點(diǎn)，又，由此，可歸納出，；（2）當(dāng)，連接，延長、交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，同理可得：，又，8（2021婁底）如圖

7、，、是等腰的斜邊上的兩動點(diǎn)，且（1）求證：；（2）求證：；（3）如圖，作，垂足為，設(shè)，不妨設(shè)，請利用（2）的結(jié)論證明：當(dāng)時(shí)，成立【答案】（1）見解析（2）見解析（3）即當(dāng)時(shí)，成立【詳解】證明：（1）是等腰直角三角形，在和中，；（2）由（1）知，在中，根據(jù)勾股定理得，；（3）在中，由（2）知，在中，在中，右邊，左邊，左邊右邊，即當(dāng)時(shí)，成立9（2021襄陽）在中，是邊上一點(diǎn)，將沿折疊得到，連接（1）特例發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)，落在直線上時(shí)求證：；填空：的值為 ；（2）類比探究如圖2，當(dāng)，與邊相交時(shí)，在上取一點(diǎn)，使，交于點(diǎn)探究的值（用含的式子表示），并寫出探究過程；（3）拓展運(yùn)用在（2）的條件下，當(dāng)，是的中

8、點(diǎn)時(shí)，若，求的長【答案】（1）見解析（2）（3）【詳解】解（1）如圖1，延長交于，由折疊知，；由知，故答案為1（2）如圖2，延長交于，由（1）知，；（3）由折疊知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線，由（2）知，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得，或（舍，即10（2021本溪）在中，平分，交對角線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，連接，請直接寫出線段和線段的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，請寫出線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)時(shí)，連接，若，請直接寫出與面積的比值【答案】（1）（2）（3）或【詳解】解：（1）方法一：如圖1，連接，四邊形是平行四邊形，即，由旋

9、轉(zhuǎn)知：，是等邊三角形，平分，即，是等邊三角形，；方法二：如圖1，延長交于點(diǎn)，連接，四邊形是平行四邊形，即，四邊形和四邊形是平行四邊形，平分，四邊形是菱形，是等邊三角形，四邊形是平行四邊形，；（2），理由：如圖2，連接，在中，平分，在中，；（3）方法一：由（1）知，設(shè)，則，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平分，由（1）知，如圖4，當(dāng)點(diǎn)在延長線上時(shí)，由同理可得：，綜上所述，與面積的比值為或方法二：如圖3，四邊形是平行四邊形，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，又，即，當(dāng)時(shí)，平分，；如圖4，當(dāng)點(diǎn)在延長線上時(shí)，由知，；綜上所述，與面積的比值為或11（2021嘉峪關(guān)）問題解決：如圖

10、1，在矩形中，點(diǎn)，分別在，邊上，于點(diǎn)（1）求證：四邊形是正方形；（2）延長到點(diǎn)，使得，判斷的形狀，并說明理由類比遷移：如圖2，在菱形中，點(diǎn)，分別在，邊上，與相交于點(diǎn)，求的長【答案】（1）見解析（2）【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，四邊形是矩形，四邊形是正方形；（2）解：是等腰三角形，理由：由（1）知四邊形是正方形，是等腰三角形；（3）解：延長到點(diǎn)，使，連接，由（1）知四邊形是正方形，是等邊三角形，12（2021湖北）已知和都為等腰三角形，（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：；如圖2，當(dāng)點(diǎn)不在上時(shí)，判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)時(shí)，如圖3，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，

11、并說明理由；當(dāng)，時(shí)，請直接寫出的長【答案】（1）；（2）；5或【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，和均為等邊三角形，又，故答案為：；，理由如下：當(dāng)點(diǎn)不在上時(shí)，在和中，；（2），理由如下：當(dāng)時(shí)，在等腰直角三角形中：，在等腰直角三角形中：，在和中，或，理由如下：當(dāng)點(diǎn)在外部時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，如圖所示：，由上可知：，又，而，而，在中：，又，（或，在等腰直角三角形中，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，過點(diǎn)作于，綜上所述，滿足條件的的值為5或13（2021通遼）已知和都是等腰直角三角形，（1）如圖1，連接，求證：；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)如圖2，當(dāng)點(diǎn)恰好在邊上時(shí)，求證：；當(dāng)點(diǎn)，在同一條直線上時(shí)，若，請直接寫出線段的長【答案】（1）見解析（2

12、）見解析；線段的長為或【詳解】（1）證明：，即，和都是等腰直角三角形，；（2）證明：連接，即，和都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，；解：如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，設(shè)，由（1）可知，可得且，在中，和都是等腰直角三角形，解得：，如圖4，當(dāng)點(diǎn)，在線段上時(shí)，連接，設(shè)，由（1）可知，可得且，在中，和都是等腰直角三角形，解得：，綜上所述，線段的長為或14（2021沈陽）在中，中，點(diǎn)，不共線，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，且（1）如圖1，點(diǎn)在線段延長線上，則，（用含的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，點(diǎn)，在直線同側(cè)，求證：平分；（3）若，將圖3中的繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，直線交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，請直接寫出的長【答案

13、】（1），（2）見解析（3）的長為或【詳解】（1）解：如圖1中，故答案為：，（2）證明：如圖2中，連接，平分（3）解：如圖中，設(shè)交于，是等腰直角三角形，垂直平分線段，是等邊三角形，如圖中，設(shè)交于，當(dāng)時(shí)，同法可證，綜上所述，的長為或15（2021齊齊哈爾）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)實(shí)踐活動，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式，通過活動可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動手動腦能力，拓展思維空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)，讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣折一折：將正方形紙片折疊，使邊、都落在對角線上，展開得折痕、，連接，如圖1（1），寫出圖中兩個(gè)等腰三角形：（不需要添加字母）；轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊、于點(diǎn)、，連接，如圖2（2）線段、之間的數(shù)量關(guān)系為 ；（3）連