一元二次方程的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、一元二次方程知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理(1)含有個(gè)未知數(shù)。I (2)未知數(shù)的最高次數(shù)是 1 1、概念1 (3)是方程。I (4) 一元二次方程的一般形式是戶)一元二次方程2、解法(2)(3)(4)法，適用于能化為 x m)2 n n 0 的二次方程法，即把方程變形為ab=0的形式，(a, b為兩個(gè)因式),貝Ua=0或法法，其中求根公式是 兒。(5)當(dāng) 當(dāng), 當(dāng).時(shí),時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根0 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。時(shí)，方程有沒有的實(shí)數(shù)根?？捎糜诮饽承┣笾殿}元二次方程的應(yīng)用I可用于解決實(shí)際問題的步驟(1)(2)(3)(4)(5)(6)知識(shí)點(diǎn)歸類建立一元二次方程模型知識(shí)點(diǎn)一 一元二次方程的定義

2、如果一個(gè)方程通過移項(xiàng)可以使右邊為0,而左邊只含有一個(gè)未知數(shù)的二次多項(xiàng)式，那么這樣的方程叫做一元二次方程。注意：一元二次方程必須同時(shí)滿足以下三點(diǎn)：方程是整式方程。它只含有一個(gè)未知數(shù)未知數(shù)的最高次數(shù)是 2.同時(shí)還要注意在判斷時(shí)，需將方程化成一般形式。例 下列關(guān)于X的方程，哪些是一元二次方程？2CC一2 3；x 6x 0; (3) Mx x 5; (4)x 5x20; (5) 2x(x 3) 2x2 1知識(shí)點(diǎn)二一元二次方程的一般形式 2元二次方程的一般形式為ax2 bx c 0(a, b, c是已知數(shù)，a 0)。其中a, b, c分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。注意：(1)二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)

3、、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)。(2)要準(zhǔn)確找出一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須把它先化為一般形式。2(3)形如ax bx c 0不一定是一元二次萬程，當(dāng)且僅當(dāng) a 0時(shí)是一元二次萬程。例1將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)一、27-_ 2（1） 5x -x；（2）x 2 x 38;3x4 x 3 x 22一2 c例2已知關(guān)于x的方程m 1xm 2 m 1x 2 0是一元二次方程時(shí)，則m 知識(shí)點(diǎn)三一元二次方程的解2使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，如：當(dāng)x 2時(shí)，x 3x 2 0所以x 2是2 一 一 一、

4、一，、一.，叫一元二次方程的根。x 3x 20方程的解。一元二次方程的解也知識(shí)點(diǎn)四建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步驟是：審題、設(shè)未知數(shù)、列方程。注意：（1）審題過程是找出已知量、未知量及等量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)要帶單位；（3）建立一元二次方程模型的關(guān)鍵是依題意找出等量關(guān)系。例 如圖（1）,有一個(gè)面積為 150 H的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)一邊靠墻（墻長(zhǎng) 18m）,另三邊用竹籬笆圍成，若竹籬笆的長(zhǎng)為 35m,求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少？雞場(chǎng)（只設(shè)未知數(shù)，列出方程，并將它化成一般形式。）因式分解法、直接開平方法知識(shí)點(diǎn)一因式分解法解一元二次方程如果兩個(gè)因式的積等于 0,那么這兩個(gè)方程中至少有一個(gè)等于

5、0,即若pq=0時(shí)，則p=0或q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程的右邊化為 0; （2）將方程左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積。（3）令每個(gè)因式分別為0,得兩個(gè)一元一次方程。（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解。關(guān)鍵點(diǎn)：（1）要將方程右邊化為 0; （2）熟練掌握多項(xiàng)式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式 法（平方差公式，完全平方公式）等。例 用因式分解法解下列方程：22(3) x 6x 95 2x 。22（1） 5x2 4x ；（2x23）250 ；知識(shí)點(diǎn)二直接開平方法解一元二次方程2右x a a 0 ,則x叫做a的平萬根，表示為 xJa ,這種解一元

6、二次方程的方法叫做直接開平方法。(1) x2 a a 0 的解是 xVa- ； (2) x m 22c nmx n c m 0,且c 0的解是x mn n 0的解是xJnm ；（3）例用直接開平方法解下列一元二次方程(1) 9x2 16 0 ;(2) x 5 2160;(3)225 3x 1知識(shí)點(diǎn)三靈活運(yùn)用因式分解法和直接開平方法解一元二次方程2形如ax b k 0 k 0的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接開平方法解。例運(yùn)用因式分解法和直接開平方法解下列一元二次方程。22（1） 4 x 5360 ；（2） 1 2x 30知識(shí)點(diǎn)四用提公因式法解一元二次方程把方程左邊的多項(xiàng)式(方程右邊為0時(shí)

7、)的公因式提出，將多項(xiàng)式寫出因式的乘積形式，然后利用“若pq=0時(shí)，則p=0或q=0”來解一元二次方程的方法，稱為提公因式法。如：0.01t22t 0 ,將原方程變形為t 0.01t 20 ,由此可得出t 0或 0.0t 2 0,即 t10,t2200注意：在解方程時(shí)，千萬注意不能把方程兩邊都同時(shí)除以一個(gè)含有未知數(shù)的式子，否則可能丟失原方 程的根。知識(shí)點(diǎn)五形如“ x2 a b x b對(duì)于形如“ x2 a b x b將左邊分解因式，方程變形為x a x0 a, b為常數(shù)0 a,b為常數(shù)b 0 ,則 x”的方程的解法?！钡姆匠?或通過整理符合其形式的)，可a 0或 x b 0 ,即 x1a, x2

8、b。注意：應(yīng)用這種方法解一元二次方程時(shí)，要熟悉特征。例解下列方程：(1) x2 5x 60 ；x2 a b x b 0a,b為常數(shù)”型方程的(2) x2 x 120配方法知識(shí)點(diǎn)一配方法解一元二次方程時(shí)，在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，使得含未知數(shù)的 項(xiàng)在一個(gè)完全平方式里，這種方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接開平方法了，這樣解 一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程 x2 px q 0 ,當(dāng)對(duì)方程的左邊配方時(shí)，一定記住在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方后，還要再減去這個(gè)數(shù)。例用配方法解下列方程：(1) x2 6x 5 0;(2) x2 7

9、x 2 02知識(shí)點(diǎn)二用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的步驟：(1)在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)；(2)把原方程變?yōu)閤 m 2 n的形式。(3)若n 0,用直接開平方法求出x的值，若n<0,原方程無解。例解下列方程：x2 4x 30知識(shí)點(diǎn)三用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不是1的一元二次方程當(dāng)一元二次方程的形式為 ax2 bx c 0a 0,a 1時(shí)，用配方法解一元二次方程的步驟：(1)先把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1:方程的左、右兩邊同時(shí)除以二項(xiàng)的系數(shù)；(2)移項(xiàng)：在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，把原方程化為x mn的形

10、式;(3)若n 0,用直接開平方法或因式分解法解變形后的方程。 例用配方法解下列方程：(1) 3x2 9x 20；(2) x2 4x 30公式法知識(shí)點(diǎn)一 一元二次方程的求根公式一元二次方程ax2 bx c 0 a用求根公式法解一元二次方程的步驟是:0的求根公式是：xbb2 4ac2a(1)把方程化為ax2 bx c 0 a 0的形式，確定的值a,b.c (注意符號(hào))；(2)求出b24ac 的值；(3)若b2 4ac 0 ,貝Ua,b.把及 b2 4ac的值代人求根公式x b "b2 4aC ,求出xi,x2。 2a例用公式法解下列方程(1) 2x2 3x 1 0;(2) 2x x 應(yīng)

11、 1 0;(3) x2 x 25 0知識(shí)點(diǎn)二選擇適合的方法解一元二次方程直接開平方法用于解左邊的含有未知數(shù)的平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)或也是一個(gè)含未知數(shù) 的平方式的方程因式分解要求方程右邊必須是0,左邊能分解因式；公式法是由配方法推導(dǎo)而來的，要比配方法簡(jiǎn)單。注意：一元二次方程解法的選擇，應(yīng)遵循先特殊，再一般，即先考慮能否用直接開平方法或 因式分解法，不能用這兩種特殊方法時(shí)，再選用公式法，沒有特殊要求，一般不采用配方法， 因?yàn)榕浞椒ń忸}比較麻煩。例 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?、_2_ 一_22，一、(1) 2x39 2x3; (2) x28x 60 ; (3)x 2 (x 1)0知識(shí)點(diǎn)三一

12、元二次方程根的判別式一元二次方程ax2 bx c 0 a 0根的判別式 =b2 4ac運(yùn)用根的判別式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情況：(1) A=b2 4ac>0 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2) =4ac=0 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(3) A=b2 4ac <0 方程沒有實(shí)數(shù)根；利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：把所有一元二次方程化為一般形式;確定a,b.c的值；計(jì)算b2 4ac的值；根據(jù)b2 4ac的符號(hào)判定方程根的情況。例不解方程，判斷下列一元二次方程根的情況：(1) 2x2 3x 50;(2) 9x230 x 25; (3) x2 6x 100根的

13、判別式的逆用知識(shí)點(diǎn)四在方程ax2 bx c 0 a 。中,（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2 4ac>0（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b2 4ac =0（3）方程沒有實(shí)數(shù)根b2 4ac < 0注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為 0這一條件。例 m為何值時(shí)，方程2m 1 x2 4mx 2m 3 0的根滿足下列情況：（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)；（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）沒有實(shí)數(shù)根;知識(shí)點(diǎn)五一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系2bb右x1, *2是一兀一次方程ax bx c 0 a 0的兩個(gè)根，則有x1 x2- ,x1x2 一aa根據(jù)一元二次方程的

14、根與系數(shù)的關(guān)系求值常用的轉(zhuǎn)化關(guān)系：222xi x2(1)x1x2x1 x22x1 x2(2) xi x2x1x2x2 I = J x1 x2 22x24x1 x2(3) (x1a)(x2a)x1x2ax1x2a2;(4) I x1例已知方程2x2 5x 30的兩根為x1, x2,不解方程，求下列各式的值/ /、 22/ 一、2（1） x1 x2 ；（2） x） x2 。知識(shí)點(diǎn)六根據(jù)代數(shù)式的關(guān)系列一元二次方程利用一元二次方程解決有關(guān)代數(shù)式的問題時(shí)， 要善于用一元二次方程表示題中的數(shù)量關(guān)系 （即列出方程），然后將方程整理成一般形式求解，最后作答。例 當(dāng)x取什么值時(shí)，代數(shù)式x2 x 60與代數(shù)式3x

15、 2的值相等？一元二次方程的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟（1）審題，（2）設(shè)未知數(shù)，（3）列方程，（4）解方程，（5）檢驗(yàn)，（6）作答。關(guān)鍵點(diǎn)：找出題中的等量關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)二用一元二次方程解與增長(zhǎng)率（或降低率）有關(guān)得到問題增長(zhǎng)率問題與降低率問題的數(shù)量關(guān)系及表示法： （1）若基數(shù)為a,增長(zhǎng)率x為，則一次 增長(zhǎng)后的值為a 1 x ,兩次增長(zhǎng)后的值為a 1 x2； （2）若基數(shù)為a,降低率x為，則一次 降低后的值為a1 x ,兩次降低后的值為a1 x 20例 某農(nóng)場(chǎng)糧食產(chǎn)量在兩年內(nèi)由3000噸增加到3630噸，設(shè)這兩年的年平均增長(zhǎng)率為x,列出關(guān)于X的方程為知識(shí)點(diǎn)三用一元二次方程解與市場(chǎng)

16、經(jīng)濟(jì)有關(guān)的問題與市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)有關(guān)的問題：如：營(yíng)銷問題、水電問題、水利問題等。與利潤(rùn)相關(guān)的常用關(guān)系式有：(1)每件利潤(rùn)=銷售價(jià)-成本價(jià)；(2)利潤(rùn)率=(銷售價(jià)一進(jìn)貨價(jià))+進(jìn)貨價(jià)x 100%;(3)銷售額=售價(jià)X銷售量例 某商店如果將進(jìn)貨價(jià)為8元的商品每件10元售出，每天可售200件，現(xiàn)在采取提高售價(jià)，減少進(jìn)貨價(jià)的方法增加利潤(rùn)，已知這種商品每漲價(jià)0.5元，其銷量減少10件。(1)要使每天獲得700元，請(qǐng)你幫忙確定售價(jià)。(2)當(dāng)售價(jià)定為多少時(shí)，能使每天獲得的利潤(rùn)最多？并求出最大利潤(rùn)。第二章一元二次方程(補(bǔ)充)只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，且都可以化為 ax2 bx c 0 (a、b、c為常數(shù)，aw 0)的

17、形式，這樣的方程叫一元二次方程。 把a(bǔ)x2 bx c 0 (a、b、c為常數(shù)，a*0)稱為一元二次方程的一般形式，a為二次項(xiàng)系數(shù)；b為一次項(xiàng)系數(shù)；c為常數(shù)項(xiàng)。解一元二次方程的方法：配方法 < 即將其變?yōu)?x m)2 0的形式>b . b2 4ac一 ,一 、八公式法x 2a一(注意在找abc時(shí)須先把萬程化為一般形式)分解因式法 把方程的一邊變成0,另一邊變成兩個(gè)一次因式的乘積來求解。(主要包括“提公因式”和“十字相乘”)根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。如果一元二次方程ax2 bx c 0的兩根分別為x1、x2,則有：x1 x2x1 x2 aa一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用：(1)已知方程的一根，求另一根；(2)不解方程，求二次方程的根x1、x2的對(duì)稱式的值，特別注意以下公式：2 x22(xx2)2x1x21 1 x1 x2, ( x1 x2x1 x2(x x2)2(x12x2) 4x1x2| x1x2 |.(x1 x2)2 4x1x23x2(xx2)33x1x2(x1x2)(|x1| | x2 |)2 (x1 x2)2 2x1x2 2|xx2|