華東師范大學出版社九年級下冊數(shù)學知識點總結

1、華師大版九年級下冊數(shù)學知識點總結第二十六章二次函數(shù)一、二次函數(shù)概念：1、二次函數(shù)的概念：一般地，形如）=d+加+ c （“，b, C是常數(shù)，“H0）的函數(shù), 叫做二次函數(shù)。這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)心O ,而b, C可以為零。 二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)。2、二次函數(shù)y = il2+bx + c的結構特征：（1）等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量X的二次式，X的最高次數(shù)是2。（2）是常數(shù)，“是二次項系數(shù)，方是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項。二、二次函數(shù)的基本形式的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上y軸x>0時，y隨X的增大而增大；x<0時，y隨X的增大而減??；*0時，y有最

2、小值0。向下y軸QO時，y隨X的增大而減??； x<0時，y隨X的增大而增大； *0時，y有最大值0。1. 二次函數(shù)基本形式：尸E的性質(zhì)：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。2. y = Cix2 +c 的性質(zhì)：“的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)3y向上y軸x>0時，y隨X的增大而增大；x<0時，y隨X的增大而減??；白。的符丿口頂點Xd稱*0時,詁膏最小值c。4號方向坐標由x>0時，y隨X的增大而減?。?向下向上Xy=h軸X >潮時,>癩 OO ； ×<h 嘰 oflW -V t¾W>Mzls ；6Xi時，y有最小值0。的符號開口

3、向雨頂點坐標對稱x>力時，y隨X的增大而減??； 性質(zhì)X"時，y隨尤的增大而增大； 卜 V-Jx>力時，羅隨啪增斯R壤值OZ時,yUIWJJLX的增大而減??；X =力時，y有最小值代。向下X=hx>力時，y隨X的增大而減小；a-<, y隨 X的增大而增大；Xi時，y有最大值= (-A)' +k次函數(shù)a(x-hy象的平移1. 平移步驟:方法一：（I）將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式> = a-i）2÷a,確定其頂點坐標（爪 k）；（2）保持拋物線y=E的形狀不變，將其頂點平移到（爪燈處，具體平移方法如下：2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎上“力值正右

4、移，負左移；M直正上移，負下移”。 概括成八個字“左加右減，上加下減”。方法二：y = ax1 +bx + c沿y軸平移：向上(下)平移加個單位，y = ax + bx + c 變成 y = ax2 +bx + c + n (或 y = ax2 + bx + c-m )y = ax2 +bx+c沿軸平移：向左(右)平移加個單位,y = ax2 + bx + C 變成 y = a(x + m)2 + b(x + m) + c (或 y = a(x - m)2 + bx- m) + c )四、二次函數(shù)v = (-)2÷與 y = ax2 +bx +c 的比較從解析式上看，y = (x-力

5、)' + k與)'=亦+bx + c是兩種不同的農(nóng)達形式，后者通過 配方可以得到前者，即y=÷Af÷±i,其=-±,a=±o2a) 4a2a4a五、二次函數(shù) y = Cix2 +bx + c 圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y = axbx + c化為頂點式y(tǒng) = gm確 定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點 畫圖一-般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點(O，c)、以及(0, C)關于對 稱軸對稱的點(2h,c)、與X軸的交點(a-,0), (x2, 0)(若與X軸沒有交點，貝IJ取 兩組

6、關于對稱軸對稱的點).畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與X軸的交點，與y 軸的交點.六、二次函數(shù) y = ax' +bx +c 的性質(zhì)1.當Qo時，拋物線開口向上，對稱軸為2-上當心一仝時，y隨兀的增大而減??；當X>-仝時，y隨X的增大而增大；當*-仝 2c2c2c時，y有最小值竺土。2.當“<0時，拋物線開口向下，對稱軸為當時，y隨X的增大而增大；當>時，y隨X的增大而減小；當時,2x2a2ay有最大值屮。4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 般工I： y = ClxI + bx + C （ a , b , C 為常數(shù)，“工0）；2. 頂點式：y =

7、 u（x-h）2 +k （ a T h , R 為常數(shù)，"工0 ）；3. 兩根式：y = U（X-Xi）（X-X2） （<O, a-, X2是拋物線與X軸兩交點的橫坐標） 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與X軸有交點，即八4心0時，拋物 線的解析式才可以用交點式表示。二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互 化.八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關系1. 二次項系數(shù)。二次函數(shù)y = ca2 +hx + c I-I-I, 作為二次項系數(shù)，顯然心0。（1）當“>0時，拋物線開口向上的值越大，開口越小，反乙的值越小,開

8、口越大；（2）當“<o時，拋物線開口向下的值越小，開口越小，反之。的值越大, 開口越大?？偨Y起來，“決定了拋物線開口的大小和方向，°的正負決定開口方向，|“| 的大小決定開口的大小。2. 一次項系數(shù)b在二次項系數(shù)。確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸。（1）在">o的前提卜,當b>o時，2<o,即拋物線的對稱軸在,軸左側(cè)；2z當XO時，-？ = 0,即拋物線的對稱軸就是y軸；當b<0時，-丄>0,即拋物線對稱軸在y軸的右側(cè)。Ici'（2）在“<o的前提下，結論剛好與上述相反，即當 >0時，-丄>0,即拋物線的對稱軸

9、在y軸右側(cè)；2z當b = 0時，-2 = 0,即拋物線的對稱軸就是y軸；當b<0時，-2<0,即拋物線對稱軸在y軸的左側(cè)。加-總結起來，在。確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置?！钡姆柕呐卸ǎ簩ΨQ軸2-仝在y軸左邊則">0,在y軸的右側(cè)則2a”<0,概括的說就是“左同右異”總結：3. 常數(shù)項C（1）當c>0時，拋物線與y軸的交點在X軸上方，即拋物線與y軸交點的縱 坐標為正；（2）當C=O時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與）,軸交點的縱 坐標為0;（3）當c<0時，拋物線與）,軸的交點在X軸下方，即拋物線與y軸交點的縱 坐標為負?？偨Y起

10、來，c決定了拋物線與y軸交點的位置?？傊?，只要 CC都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的。二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法。用待定系數(shù)法 求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问?，才能使解題簡便。 一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標，-般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲担话氵x用頂點式；3. 已知拋物線與人軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式。九、二次函數(shù)圖象的對稱二次函數(shù)圖象的對稱-般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1. 關于X軸對稱y = 2

11、+ bx + C關于X軸對稱后，得到的解析式是y = -ax2 -bx-c ；y = a(x-h)2 + k關于x軸對稱后，得到的解析式是y = -a(x-h -k ;2. 關于y軸對稱y = Iix2 + bx + c關于y軸對稱后，得到的解析式是y = ax2 - bx + C ;y = a(x-h)2 + k關于y軸對稱后，得到的解析式是ya(x+h)1 +k ；3. 關于原點對稱y = ax2 +bx + c關于原點對稱后，得到的解析式是y = -ax2 +bx-c ;y = a(x-h) +k關于原點對稱后，得到的解析式是y = -fl(x + )2-k ;4. 關于頂點對稱(即：拋

12、物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180° )y = Cix2 +bx + c關于頂點對稱后，得到的解析式是y = -ax2 -bx + c-；2“y = a(x-h)2+k關于頂點對稱后，得到的解析式是y-a(x-h)2+k O5. 關于點(m, /1)對稱ya(x-h)2 +k關于點(加,“)對稱后，得到的解析式是y -a(x + h-2m)2 +2n-k根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生 變化，因此同永遠不變。求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或 方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線(或表達式已知 的拋物線)的頂點坐標及開口方向，再確定其對

13、稱拋物線的頂點坐標及開口方 向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式。十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關系(二次函數(shù)與X軸交點情況)：一元二次方程,÷V÷c = O是二次函數(shù)）="+加+ C當函數(shù)值尸0時的特殊情況. 圖象與尤軸的交點個數(shù)：仏>0時，圖象與X軸父于兩點A（A-1, 0）, B（x2 , 0） （XI A,）»其屮的首，吃是 一元二次方程X+bA+ = OWHO）的兩根。這兩點間的距離Ag = IA2-X11= 當“時，圖象與X軸只有一個交點； 當時，圖彖與X軸沒有交點.當QO時，圖象落在X軸的上方，無論X為任何實

14、數(shù)，都有“0；2, 當“<0時，圖象落在X軸的下方，無論X為任何實數(shù)，都有y<0。2. 拋物線y = +bx + c的圖象與,軸一定相交，交點坐標為（0,c）;3. 二次函數(shù)常用解題方法總結：（1）求二次函數(shù)的圖象與X軸的交點坐標，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；（2）求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為 頂點式；（3）根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y = ax2+bx + caf h, C的符號，或由二次函 數(shù), b, C的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結合；（4）二次函數(shù)的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的 點坐標，或已知與X軸的一個交點坐標，可由對

15、稱性求出另一個交點坐標.（5）與二次函數(shù)有關的還有二次三項式，二次三項式山+bx + c（心0）本身就是所 含字母X的二次函數(shù)；下面以QO時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元 二次方程Z間的內(nèi)在聯(lián)系：拋物線與兀軸有兩個交點二次三項式的值可止、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與X軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根拋物線與X軸無交點二次三項式的值恒為正i元二次方程無年數(shù) 根.參考:>-2<X-4)3,y-2(x4py-x2*2十一、函數(shù)的應用'剎車距離二汝:函數(shù)應用何時獲得最大利潤 最大面積是多少第二十七章：圓一、知識回顧圓的周長：C

16、=2r或C二rd、圓的面積：S= r2ISI環(huán)面積計算方法：S= R2- r2或S二(R2-r2) (R是大圓半徑，r是小圓半徑)二、知識要點一、圓的概念集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合;3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合 軌跡形式的概念：1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓;固定的端點O為圓心。連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑。 圓上任意兩點之間的部分叫做圓弧，簡稱弧。2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線；3

17、、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等 于定長的兩條直線;5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。點C在點在點A在圓內(nèi);圓上;圓外;二、點與圓的位置關系1 點在圓內(nèi)二* d <r =>2點在圓上=> d = r =>3 點在圓外=> d > r =>三、直線與圓的位置關系1、直線與圓相離=> d>r=>無交點;2、直線與圓相切=> d = r=>有一個交點;3、直線與圓相交> d&

18、lt;r=>有兩個交點;四、圓與圓的位置關系外離（圖1）=>無交點=>d > R + r;外切（圖2）=>有一個交點=>相交（圖3）=>有兩個交點=>R-r <d <R + r;內(nèi)切（圖4）=>有一個交點=>d = R_r；內(nèi)含（圖5）=>無交點=>d <R-r ;五、垂徑定理 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1： （1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧;（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧;（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦

19、所對的另一條弧以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理屮共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，SP：中任意2個條件推出其他3個結論。D相等。CD是直徑 AB丄CD CE = DE 弧BC=弧BD 弧AC=弧Ar）推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧即:在）O 中,V AB /.弧 AC=弧 BD六、圓心角定理頂點到心的角,叫圓心角。圓心角定理：同圓或等圓屮，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等, 弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個結論屮,只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結 即： ZAOB = ZDOE ; ® AB = DE;七.ISl周角定理b論,OC

20、 = OF ; 弧BA=弧BDrD r頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫圓周角。1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角 的一半。即：. ZAOB和ZACB是弧AB所對的圓心角和圓周角. ZAOB = 2ZACB2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧是等弧； 即：在o, zc、S都是所對的圓周角ZC = ZD推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所 對的弦是直徑。即：在G)O中，Tab是直徑或Vzc=90°/. ZC = 90o. A3 是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，

21、那么這個三角形是直角三角 形。即：在 ZA3c4j, ： OC = OA = OB：. ABC是直角三角形或ZC = 90。注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形屮斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。即：在Oo中,.四邊形A3CD是內(nèi)接四邊形.ZC+ZBAD = 180。Z5 + ZD= 180°九、切線的性質(zhì)與判定定理(1)切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：T MN丄OA且MW過半徑OA外端. MV是C)O的切線(2)性質(zhì)

22、定理：切線垂直于過切點的半徑(如上圖)推論1:過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件屮知道其中兩個條件就能推出最后一個。十、切線長定理R切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：T ¾、PB是的兩條切線 PA = PB幕定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在G）O中，.弦AB. CD相交于點P ,/. PA PB = PC PD（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分 直徑所成的兩

23、條線段的比例屮項。即：在G）O中，T直徑AB丄CD,A. CEL=AE BE（3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線, 切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比 例中項。即：在o,必是切線，PB是割線. PA2=PC PB（4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點 的兩條線段長的積相等（如上圖）。即：在G）O中，PB、PE是割線I PC pB = PD pE十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩的的公共弦。個圓B如圖：OQ2垂直平分AB。即：.)o ©0：相交于A、兩點002垂直平分AB十三、的公切線兩圓公切線長的計算公式：(

24、1) 公切線長：RtSOiO2C , 倍=Cq2 = JOQj -CO2?;(2) 外公切線長：Ca是半徑之差；內(nèi)公切線長：CqA是半徑之和。十四、圓內(nèi)正多邊形的計算(1) 正三角形在QO/XABC是正三角形，有關計算在RtABoD中進行：OD.BD.OB = :書：2；(2) 正四邊形同理，四邊形的有關計算在ROAE 進行，OE:AE:OA = I:1:72 :(3) 正六邊形同理，六邊形的有關計算在心ZXOAB中進行，A3:O3:OA = 1:75:2.十五、扇形、柱和圓錐的相關計算公式1、扇形:(1)弧長公式:nR扇形面積公式：S =鶉寸AH :圓心角R :扇形多對應的圓的半徑 /:扇形弧長S :扇形面積2、圓柱：(I) A圓柱側(cè)面展開圖> D