《圓》知識點歸納及相關(guān)題型整理[1]1

1、一、和圓有關(guān)的基本概念1圓：把線段0P的一個端點0固定，使線段 0P繞著點0在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)1周，另一個端點 P運動所形成的圖形叫 做圓。其中，定點0叫做圓心，線段0P叫做半徑。以點0為圓心的圓，記作 “O 0”讀作“圓0”圓是到定點的距離等于 定長的點的集合。2圓的內(nèi)部可以看作是到圓心的距離 小于半徑 的點的集合。3圓的外部可以看作是到圓心的距離 大于半徑 的點的集合。軌跡形式的概念：1、圓：至U定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；（補充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；3 、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個

2、角的平分線；4 、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5 、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。4直徑：經(jīng)過圓心的弦。5?。簣A上任意兩點間的部分。優(yōu)弧：大于半圓的弧。 劣?。盒∮诎雸A的弧。半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。6弦：連接圓上任意兩點的線段。7. 弦心距一一圓心到直線的距離8. 弓形一一弧與所對的弦所組成得圖形9. 同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓。10. 等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓。（圓心不同）11等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫

3、做等弧。（在大小不等的兩個圓中，不存在等弧。12. 圓心角：頂點在圓心的角。13. 圓周角：頂點在圓上，兩邊與圓相交的角。14. 圓的切線長：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長。15. 弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角16. 圓內(nèi)角、圓外角及性質(zhì)：頂點在圓外的角（兩邊與圓相交）的度數(shù)等于其所截兩弧度數(shù)差的一半頂點在圓內(nèi)的角（兩邊與圓相交）的度數(shù)等于其及其對頂角所截弧度數(shù)和的一半17. 正多邊形：定義：各邊相等、各角也相等的多邊形 對稱性：都是軸對稱圖形；有偶數(shù)條邊的正多邊形既是軸對稱圖形有是中心對稱圖形。18. 圓錐: ：母線：連接圓錐的頂點和底

4、面圓上任意一點的線段。：高：連接頂點與底面圓的圓心的線段。20. 三角形的外接圓：三角形三個頂點確定一個圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的 外切三角形。三角形的外心的性質(zhì)：三角形的外心到各個頂點的距離相等。三角形的內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到各個邊的距離相等21. 定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角二、圓的對稱性：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線；垂徑定理一一垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧 垂徑定理的推論 平分弦（

5、不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧 平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 在同圓或等圓中，兩條平行弦所夾的弧相等依據(jù)垂徑定理及其推論可概括為定理：對于一條直線和一個圓來說，如果具備下列五個條件中的任意兩個，那么也 具備其他三個：垂直弦過圓心平分弦平分弦所對的優(yōu)弧平分弦所對的劣弧5即：AB是直徑 AB CD CE DE 弧BC 弧BD弧AC弧AD中任意2個條件推出其他3個結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在O O 中，T AB / CD弧 AC圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心；其特有旋轉(zhuǎn)不變性。1

6、、圓心角、弧、弦、弦心距 之間相等關(guān)系定理一一在同圓或等圓中,角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個結(jié)論中,只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的 3個結(jié)論,即: AOB DOE : AB DE : OC OF :推論一一在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中 有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等2、圓周角與圓心角的關(guān)系：同弧或等弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即： AOB和 ACB是弧AB所對的圓心角和圓周角3、圓周角定理的推論:弧BDACBAOB 2推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，

7、相等的圓周角所對的弧是等弧;即：在O O中，TD都是所對的圓周角推論2 :半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的即：在O O中， AB是直徑 或 C 90C 90 AB是直徑推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：在 ABC中， OC OA OBABC是直角三角形或 C 90注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。4、圓的內(nèi)接四邊形定理即：在O O中,C BAD:圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形180B D 180DAE C三、確定圓的條件1.

8、 不在同一條直線上的三個點確定一個圓2. 經(jīng)過三角形三個頂點可以畫一個圓，并且只能畫一個這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。3. 經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心。4. 三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它到三角形三個頂點的距離相等。5. 三角形的外接圓的圓心是三邊的垂直平分線的交點，它到三角形三邊距離相等四、和圓有關(guān)的位置關(guān)系1點和圓：如果O O的半徑為r,點P到圓心0的距離為d，那么點P在圓內(nèi)點P在圓上點P在圓外2直線和圓：d<rd=rd>r 直線與圓有兩個公共點時，叫做 直線與圓有唯一公共點時，叫做 直線與圓沒有公共點

9、時，叫做直線與圓相交。直線與圓相切。這條直線叫做直線與圓相離。圓的切線，這個公共點叫做切點。如果O 0的半徑為r,圓心0到直線I的距離為d，那么直線I與O 0相交直線I與O 0相切直線I與O 0相離圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的是直線是圓的切線。從圓外一點引圓的兩條切線，他們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。3圓和圓： 兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離。 兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這 切，這個唯一的公共點叫做切點。 兩個圓有兩個公共點 時，叫做這

10、兩個圓相交。 兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這 切，這個唯一的公共點叫做切點。（兩個圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為 兩個圓相切。） 兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含。（兩圓同心 是兩圓內(nèi)含的一種特例。）如果兩圓的半徑分別為 R、r,圓心距為d,那么d<rd=rd>r兩個圓外兩個圓內(nèi)兩圓外離 兩圓外切 兩圓相交 兩圓內(nèi)切 兩圓內(nèi)含d>R+rd=R+rR-r<d<R+r(R > r)d=R-r(R>r)0< d<R-r(R>r)CLJA五、一些重要的圓的相關(guān)

11、定理圓幕定理(1)相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在O O中，弦 AB、CD相交于點P，二PA PB PC PD(2 )推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即:在O O 中，直徑 AB CD , CE2 AE BE點的兩條線(3)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交 段長的比例中項。即:在O O中，T PA是切線，PB是割線- PA2 PC PB(4)割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等(如上圖)即:在O O中， PB、PE是割線 PC PB PD PE

12、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。如圖：OQ2垂直平分 AB。即：TO Oi、O O2相交于A、B兩點- O1O2垂直平分AB圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：(1) 公切線長： Rt QO2C 中，AB2 CO12 . OiO2_CO22 ;(2) 外公切線長： CO2是半徑之差；內(nèi)公切線長：CO2是半徑之和六、和圓有關(guān)的計算1.多邊形和圓每個內(nèi)角的度數(shù)360°每個外角的度數(shù)：(等于中心角)正多邊形和圓的關(guān)系定理 ：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓, 對于一些特殊的正 n邊形，2.如正四邊形、正八邊形、這兩個圓是同心圓，因此可以采用 作

13、輔助圓的辦法，解決一些問題。正六邊形、正三角形、正十二邊形還可以用尺規(guī)作圖。扇形:面積公式：360hr23.弧長:弧長公式:3601804.圓錐：(圓錐的側(cè)面展開圖，是圓錐的側(cè)面積=S側(cè)=乂 2n r x a = n ra(圓錐的側(cè)面積與底面積的和稱為圓錐的全面積。個扇形。2、圓柱:(1 )圓柱側(cè)面展開圖S表S側(cè)2S底=2 rh 2 r2圓柱的體積：Vr2h(2 )圓錐側(cè)面展開圖S表s側(cè)S底=Rrr2圓錐的體積：V1 r 2h -r h3七、和圓有關(guān)的作圖1圓心做一個已知圓的圓心在圓上任意畫一條線，作垂直與這條線的直徑；再畫一條弦，繼續(xù)作垂直于這條弦的直徑；兩條直徑的交點就 是圓心。2三角形的

14、外接圓：已知銳角三角形 ABC，用直尺和圓規(guī) 作厶ABC的外接圓。 分別作邊 AB、AC的垂直平分線 DE、FG, DE與FC相交于點0 以0為圓心，0A為半徑作圓，O 0就是所求作的圓。3用直尺和圓規(guī) 做特殊的正多邊形：(1) 正四邊形 在O 0中作兩條互相垂直的直徑 AC、BD 依次連接A、B、C、D各點，四邊形 ABCD就是所求做的正四邊形。(2) 正六邊形 在O 0中任意做一條直徑 AD 分別以A、D為圓心，O 0的半徑作半徑作弧，與O 0相交于B、F和C、E 依次連接 A、B、C、D、E、F各點，六邊形 ABCDEF就是所求作的正六邊形。八、和圓有關(guān)的常作輔助線1.見弦作弦心距有關(guān)弦的問題，常作其弦心距(有時還需作出相應(yīng)的半徑)，通過垂徑定理來溝通結(jié)論與題設(shè)間的關(guān)系。2見直徑作圓周角在題目中若已