人口結(jié)構(gòu)模型

1、談研究年齡結(jié)構(gòu)之?dāng)?shù)學(xué)模型Leslie's Model許世壁對(duì)外搜尋關(guān)鍵話 .人口動(dòng)力學(xué) .固有值.固有向量.Primary decomposition Theorem.特征多項(xiàng)式.Frobenius.basis本文最主要的目的是介紹如何研究人口動(dòng)力學(xué)(Population Dynamics)里的一些有關(guān)年齡結(jié)構(gòu)(Age Strucure) 之問(wèn)題。舉個(gè)例來(lái)說(shuō)明：目前臺(tái)灣人口中05歲有xi 人，610歲有X2人，7680歲有X16人。試問(wèn)20年或100年后，這些人 口的變化如何？還有每一個(gè)年齡分類(lèi) (Age class)在總?cè)丝谏系谋壤龝?huì)不會(huì)很穩(wěn)定 地趨向某一個(gè)固定值？如果是的話，多快？

2、就社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)而言，這是一個(gè)很實(shí) 際而且值得研究的重要問(wèn)題。下面我們就要導(dǎo)出有關(guān)這個(gè)問(wèn)題之?dāng)?shù)學(xué)模型 Leslie's Model 。它同時(shí)也可以應(yīng)用到其他生物，如魚(yú)類(lèi)及昆蟲(chóng)等。首先，假設(shè)從現(xiàn)有的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，我們能選擇出一個(gè)適當(dāng)?shù)膯挝粫r(shí)間T,而后將人口分成A類(lèi)。令向量 代表在第N期時(shí)(時(shí)間為NT)人口里的女性年齡結(jié)構(gòu)(在此我們假設(shè)男性，女性人口數(shù)目相等)，簡(jiǎn)而言之令在此，分量Vkn, k= 1,，A代表年齡介于(k-1)T及kT中間之女性總?cè)藬?shù)。譬如 說(shuō)應(yīng)用到實(shí)際人口時(shí)，我們通常取 T=5年，而且將人口分成16類(lèi)，即A=16,V1,n =在第N期時(shí)，介于05歲之女性總?cè)藬?shù)。V2,N =在

3、第N期時(shí)，介于610歲之女性總?cè)藬?shù)。V16,N =在第N期時(shí)，介于7680歲之女性總?cè)藬?shù)。如果年齡超過(guò)80歲時(shí)，則我們不予討論。下一步我們要做的工作是如何找出第N+1期的年齡結(jié)構(gòu)向量(Age structurevector),與在第N期之年齡結(jié)構(gòu)向量之關(guān)系。假設(shè)下列的 bk及mk, k=1,，A為已知，奴=在單位畤Nl T的,第*便年噎眨女性平坳每人所生出的女我數(shù)目血上=第£倜年的分31能活謾星位T而爨成第k + 1年能分翻之百分比利用bn, mk及Vk,N之定義，我們可以導(dǎo)出下列關(guān)系式：*N+1 =加1%L l=2, £,三4(2)%,用41 = M%jv + ,，, +

4、 mVA,N其中(2)式說(shuō)明了從第N期到N+1期所出生之女孩總數(shù)。所以，如果我們假設(shè)加/用力及 皿"''，m"這些非負(fù)之實(shí)數(shù)均可由人口之統(tǒng)計(jì)資料得到，則我們有下列式子七州= bi%w +匕/小+3= ;V4,N+1 =或者用矩陣之表示法，(3)式可改寫(xiě)為V N+工L 鼠用、Mo dd.)瓦 電 771 工 00 TTLj 0 1 1 h(5) M =:口Wi0C匕-1 必口口 b 1 (Rffpioduenon Mitrix)0口E “工口 _如果，我們假設(shè)現(xiàn)在的年齡結(jié)構(gòu)向量。為已知，則由(4)式，我們得到:所以，我們將年齡結(jié)構(gòu)的問(wèn)題變成一個(gè)線性代數(shù)的問(wèn)題:

5、當(dāng)N很大時(shí)，向量如何變化？為了解決這個(gè)問(wèn)題，必須利用線性代數(shù)中有關(guān)固有值(eigenvalue) 及固有向量(eigenvector)之觀念及其重要定理 Primary decomposition Theorem (參考1)。首先我們考慮 A x A矩陣M之固有值 入。從固有值之定義，入為M之特征多 一 ,、fW = detfAf - VI = 0、，一 項(xiàng)式(characteristic polynomial)之根。通吊特征多項(xiàng)式很難算，但在這里矩陣M有其特殊形式(5),所以利用降級(jí)展開(kāi)行列式detM - M(),得到 /M = A-瓦/T 應(yīng)=0x>o fW > 0/(A)=o

6、因?yàn)閒(0) < 0而且當(dāng) 夠大時(shí)，所以必有一正實(shí)根。事實(shí)上，因?yàn)榫仃嘙里之系數(shù)皆大于或等于零，根據(jù)有名的Frobenius定理(參考2)An > 0|A| < Ao我們得知存在一周有值，而且其他A-1個(gè)固有值 入，滿足?，F(xiàn)在，我們假設(shè)矩陣 M滿足下列性質(zhì)：Ao > 0| A| < An(H)存在一周有值而且其他A-1個(gè)固有值滿足。匚一、一，/一、一 M 在假設(shè)(H)下，我們可以用數(shù)值分析之方法 Power Method實(shí)際地算出(參考品口貓-八、一人一一、，3)。有了 ，因?yàn)?潴足式，我們可以檢查一下下列為一對(duì)位于 入之固有向量；1札Ea c R?令Eo為由向量

7、所產(chǎn)生之一維子空間，。由線性代數(shù)的Primarydecomposition Theorem ,我們可將 RA寫(xiě)成RA0 3 , 其中E1是以對(duì)于固有值之固有向重 (eigenvectors)或廣義固有向重 (generalizedeigenvectors)為其基底(basis)所組成的A-1維子空間。為了討論方便起見(jiàn)，我們就假設(shè)矩陣M之固有值為 ，, 尸當(dāng) 大 而且令I(lǐng) _& 一 £ 工為對(duì)應(yīng)于之固有向量。所以任何 / RA ,可唯一表為量=知仲a +/工1 +現(xiàn)令 P為Eo上之投影算子(Projection operator onE0),即PE) = W 口人"=

8、 Q=I-P令。房)=CitZi + +£4-11?4-1則所以如果將表為F 口 =G砂口 + C1F1 +- + Cjt-l'tfji-l=(F + Q)M，f + q)%= FAfNp% + JWNQ%+ 4叱” 口 + QMnQ0從固有值，固有向量及 P,Q之性質(zhì)，可得PMnpVu = FAfN g口)=?切人土4口)M' qPJW"QV% = PMn (q舫 d- ca-ia-i)=尸(匚1入4出i +以一途1_】/人-1)=0=qsMFu)=0QM*Q 0口 = QMnc11 + + m 球&t)=Q門(mén)入T比工+ 1+i AST工"

9、;,ai) =Cl-1? 1 + ,+ Cj4_lAjf_j 1?Al所以，Af叩0 = s蜉寸口 +問(wèn)工手有1 力一口I Nx N=用醇+.甘 硝+ . +1寸4T工口Ao一八，、L |h| V id- z ,因?yàn)槲覀兗僭O(shè)，i=1,，A-1,所以當(dāng)N很大時(shí)8) AfP-吟s一口從(8)式，我們得到兩個(gè)結(jié)論“，一口而、.»“(1) 年齡結(jié)構(gòu)(Age distribution) 是以 之速率成長(zhǎng)(II)每個(gè)年齡分類(lèi)(Age class)對(duì)總?cè)丝谥壤欠€(wěn)定地趨向一固定值因?yàn)橛?8)式在第N期之第k他年齡分柔之健人鍛在第N 人口= /N a 娉Wu* = 物上X；二 1 %聲斕 &13口 j£：二1 j1 Smale & Hirsch :« Differential Equations,Dynamical System andLinear algebra » ,Academic Press 1974.2 S, Karlin & H. M. Taylor :«A first course in StochasticProcess » ,Academic Press 1975.3 K. Atkinson: «Anintroduction to Numer