人教版八年級數(shù)學(xué)下冊講義(中等班)19.1函數(shù)

1、第十九章一次函數(shù)19.1 函數(shù)/K娓識1 .常量和變量在一個變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化白量為變量，數(shù)值始終不變的量為 .(1)變量和常量是相對而言的，變化過程不同，它們可能發(fā)生改變，判斷的前提條件是“在同一個變化過程中”，當(dāng)變化過程改變時，同一個量的身份也可能隨之改變，例如，在s=vt中，當(dāng)s 一定時，v, t為變量，s為常量；當(dāng)t 一定時，s, v為變量，而t為常量.(2) “常量”是已知數(shù)，是指在整個變化過程中保持不變的量，不能認為式中出現(xiàn)的字母就是變量，如在一個勻速運動中的速度 v就是一個常量.(3)變量、常量與字母的指數(shù)沒有關(guān)系，如 S=M中，變量是“ S”和“ r”，常量是“?！?/p>

2、.(4)判斷一個量是不是變量，關(guān)鍵是看其數(shù)值是否發(fā)生變化.2 .函數(shù)的定義一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y,并且對于x的每一個確定的值，y都有 確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù).對函數(shù)定義的理解，主要抓住以下三點：(1)有兩個變量.(2)函數(shù)不是數(shù)，函數(shù)的本質(zhì)是對應(yīng)，函數(shù)關(guān)系就是變量之間的對應(yīng)關(guān)系，且是一種特殊的對應(yīng)關(guān)系，一個變量的數(shù)值隨著另一個變量數(shù)值的變化而變化.(3)函數(shù)的定義中包括了對應(yīng)值的存在性和唯一性兩重意思，即對自變量的每一個確定的值，函數(shù)有且只有一個值與之對應(yīng)，對自變量x的不同取值，y的值可以相同.在某個變化過程中處于主導(dǎo)地位的變量即為自變量

3、，隨之變化且對應(yīng)值有唯一確定性的另一個變量即為該自變量的函數(shù).3 .自變量取值范圍的確定使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體叫做 的取值范圍.當(dāng)用函數(shù)關(guān)系式表示實際問題時，自變量的取值不但要使函數(shù)關(guān)系式有意義，而且還必須使實際問題有意義.4 .函數(shù)解析式及函數(shù)值函數(shù)解析式：用關(guān)于自變量的數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，是描述函數(shù)的常用方法，這種式子叫做函數(shù)的.(1)函數(shù)解析式是等式.(2)函數(shù)解析式中指明了哪個是自變量，哪個是函數(shù)，通常等式右邊的代數(shù)式中的變量是自變量，等式左邊的變量表示函數(shù).(3)用數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)的方法叫做解析式法.函數(shù)值：對于自變量 x在取值范圍內(nèi)的某個確定的值 a,函數(shù)

4、y所對應(yīng)白值為b,即當(dāng)x=a, y=b時，b 叫做自變量x的值為a時的函數(shù)值.5.函數(shù)的圖象及其畫法一般地，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象.K知識參考答案：1 .常量2.唯一 3.自變量4.解析式束重點K一重點常量與變量的判斷，函數(shù)自變量取值范圍的確定，函數(shù)解析式及函數(shù)值的確定，函數(shù)的圖象及具畫法K 難點函數(shù)的定義的理解K易錯求自變量的取值范圍時，考慮不周出錯一、常量和變量常量和變量不是絕對的，必須根據(jù)具體的變化過程進行判斷.【例1】在圓的面積公式 S=u2中，是常量的是A. SB.兀C. rD. S和

5、r【答案】B【解析】在圓的面積公式 S=Ttr2中，兀是常量，S、r是變量，故選 B.二、函數(shù)的定義判斷一個關(guān)系是不是函數(shù)關(guān)系的方法：第一要看是不是一個變化過程；第二要看在這個變化過程中是不是有兩個變量；第三要看其中一個變量每取一個確定的值，另一個變量是否有唯一確定的值與它對應(yīng).【例2】下列變量之間的關(guān)系中，具有函數(shù)關(guān)系的有三角形的面積與底邊；多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)；圓的面積與半徑；y=,2X=1中的y與x.A.1個B.2個C. 3個D.4個【答案】C【解析】對于，設(shè)三角形的面積為 S,底邊為a,高為h,則有S=lah,由于h為變量，故不滿足函數(shù)關(guān)系;2對于，設(shè)多邊形的內(nèi)角和為V,邊數(shù)為n (n

6、3且n為整數(shù)則有y= (n-2)父180,滿足函數(shù)關(guān)系；對于，設(shè)圓的面積為 S,半徑為r,則有3=兀2；,滿足函數(shù)關(guān)系；對于，y = 辰=滿足函數(shù)關(guān)系，故具有函數(shù)關(guān)系的有三個，故選C.三、自變量取值范圍的確定函數(shù)關(guān)系式中有分式、二次根式、零指數(shù)哥等情況綜合時，自變量的取值范圍一定要滿足每一種情況，不 要出現(xiàn)遺漏.【例3】函數(shù)y= J3TX+中自變量x的取值范圍是x -2A. x 3B. x4+1=57 （米）.故選 C.五、函數(shù)的圖象（1）函數(shù)圖象上的任意點（x, y）中的x, y滿足函數(shù)解析式.（2）滿足函數(shù)解析式的任意一對（x, v）的值，所對應(yīng)的點一定在函數(shù)的圖象上.（3）利用函數(shù)國象可

7、以求方程的解、不等式的解集、方程組的解，還可以預(yù)測變量的變化趨勢.【例5】小明騎自行車上學(xué)，開始以正常速度勻速行駛，但行至中途自行車出了故障，只好停下來修車，車修好后，因怕耽誤上課，加快了騎車速度，下面是小明離家后他到學(xué)校剩下的路程s關(guān)于時間t的圖象，那么符合小明行駛情況的圖象大致是【答案】D【解析】因為開始以正常速度勻速行駛-停下彳車-加快速度勻駛，可得s先緩慢減小，再不變，在加速減小.故選D.【例6】如圖，圖象（折線 OEFPMN）描述了某汽車在行駛過程中速度與時間的函數(shù)關(guān)系，下列說法中錯誤的是A .第3分時汽車的速度是 40千米/時B .第12分時汽車的速度是 。千米/時C.從第3分到第

8、6分，汽車行駛了 120千米D.從第9分到第12分，汽車的速度從 60千米/時減少到0千米/時【答案】C【解析】橫軸表示時間，縱軸表示速度.當(dāng)?shù)?3分的時候，對應(yīng)的速度是 40千米/時，A對；第12分的時候，對應(yīng)的速度是 。千米/時，B對；從第3分到第6分，汽車的速度保持不變，是 40千米/時，行駛的路程為 40x,=2千米，C錯；20從第9分到第12分，汽車對應(yīng)的速度分別是 60千米/時，0千米/時，所以汽車的速度從 60千米/時減少到0千米/時，D對.綜上可得：錯誤的是 C.故選C.1 .在三角形面積公式 S= - ah, a=2中，下列說法正確的是2A. S, a是變量，,h是常量B.

9、S, h是變量，。是常量2 2C. S h是變量，一，a是常量D. S, h, a是變量，一是常量222 .某市居民用電價格是 0.58元/度，居民應(yīng)付電費為 y元，用電量為X度，其中A . 0.58, x是常量，y是變量B. 0.58是常量，x, y是變量C. 0.58, y是常量，x是變量D. x, y是常量，0.58是變量3 .關(guān)于變量x, y有如下關(guān)系：x-y=5;y2=2x;：y=|x|; y=.其中y是x的函數(shù)的是xA.B,C.D.21224,下列關(guān)系式： x2-3x=4；S=3.5t；y=2jx3；y=5x-3；C=2ttR； S=V0t+at2;2y+y2=0 其2中不是函數(shù)關(guān)

10、系的是A.B.C.D.5.函數(shù)y=Jx+2的自變量的取值范圍是A. x在 2B.x-2D.x3B , xW3C. x3D. x021.（2018 湖南永州）函數(shù) y = 中自變量x的取值范圍是x -3A. x3B , x0,即x2,故選A.6 .【答案】D【解析】掛上1 kg的物體后，彈簧伸長 0.5 cm,，掛上質(zhì)量為 x kg的物體后，彈簧伸長 0.5x cm,，彈簧的長度y=0.5x+8,故選D.7 .【答案】D【解析】小明同學(xué)出校門后發(fā)現(xiàn)道路擁堵使得車輛停滯不前，等了幾分鐘，他離南坪站的距離沒有變化，然后她步行前往地鐵站他離南坪站的距離y (km)隨時間x (h)的增大而減小，最后她乘

11、地鐵直達南坪站他離南坪站的距離y (km)隨時間x (h)的增大而減小，并且增加的速度更快了，符合以上的圖象是 D.故選D.8 .【答案】C【解析】橫軸表示時間，縱軸表示溫度.A、溫度最高應(yīng)找到函數(shù)圖象的最高點所對應(yīng)的x值與y值：為15時，38 C.故本選項正確;B、溫度最低應(yīng)找到函數(shù)圖象的最低點所對應(yīng)的x值與y值：為3時，22 C,故本選項正確；C、這天最高溫度與最低溫度的差應(yīng)讓前面的兩個y值相減，即38-22=16 C,故本選項錯誤;D、從圖象看出，這天 21時的溫度是30 C,故本選項正確.故選 C.9 .【答案】日期和電表讀數(shù)，日期，電表讀數(shù)【解析】表格中反映的變量是：日期和電表讀數(shù)，

12、自變量為日期，因變量為電表讀數(shù).故答案為：日期和電表讀數(shù)，日期，電表讀數(shù).10 .【答案】x2x-2 .0【解析】根據(jù)題意可得：，解得x2,故答案為:x2.x 3 : 011 .【答案】1【解析】.函數(shù) y=ax2-2x+2 過 M (3, 5) , /. 5=9a-2X3+2,解得 a=1 ,故答案為：1.12 .【解析】(1)該車平均每千米的耗油量為(45-30) +150=0.1 (L/km),行駛路程x (km)與剩余油量 Q (L)的關(guān)系式為 Q=45-0.1x.(2)當(dāng) x=280 時，Q=45-0.1 )280=17 .故當(dāng)x=280 km時，剩余油量 Q的值為17 L.13 .

13、【解析】(1)由題意得：x+x+y=180, .y=180-2x.(2)由 y0 得：x0, 故 0x90.14 .【解析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象可得：y的變化范圍為-24.(2)當(dāng) x=0 時，y=3;當(dāng) x=-3 時，y=1 .(3)當(dāng) y=0 時，Xi=-2.5, x2=-1.5, x3=3.5 .當(dāng) y=3 時，Xi=0, x2=2.(4)當(dāng)x=1時，圖象有最高點，此時 y最大.(5)當(dāng)x在-21時，函數(shù)圖象上升，y的值在不斷增加.15.【答案】A2x-1 2a-1【解析】函數(shù) y=中，當(dāng)x=a時的函數(shù)值為1,，=1 , 1-2a-1=a+2,a=3,故選A.x 2a 216 .【答案】C

14、【解析】如圖所示，過點 D作DE，BC于點E,C圖11則 Sadpb= - BP - DE ,即 y = DE x , 22由題圖中的信息可知，當(dāng)點P運動到點C時，y最大=7,此時x=BC=7,即3DEX7=7,解得DE=2,2在 4ABC 中，/ACB=90,點 D 是 AB 邊的中點，CD=DB,又DEBC于點E,CE=BE,又二點D是AB邊的中點，DE是 ABC的中位線，AC=2DE=4,故選C.17 .【答案】y=10-x (0x0, - 10-x0, x0,. 0x10 .y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式是 y=10-x, x 的取值范圍是 0x10 . 故答案為：y=10-x(0x0,解

15、得x3,故選C.21 .【答案】C【解析】根據(jù)題意得：X-3WQ解彳導(dǎo):x手、故選C.22 .【答案】D【解析】烏龜運動的圖象是一條直線，兔子運動的圖象路程先增大，而后不變，再增大，并且烏龜所 用時間最短.故選 D.23 .【答案】B【解析】設(shè)菱形的高為 h,有三種情況：當(dāng)P在AB邊上時，如圖1,y=1AP h, = AP隨x的增大而增大，h不變，y隨x的增大而增大，故選項 C不正確;2當(dāng)P在邊BC上時，如圖2,圖2y=-AD h, AD和h都不變，在這個過程中，y不變，故選項 A不正確;2當(dāng)P在邊CD上時，如圖3,1A出發(fā)沿A-B-C-Dy= 2PD h, PD隨x的增大而減小，h不變，y隨

16、x的增大而減小，: P點從點路徑勻速運動到點 D,，P在三條線段上運動的時間相同，故選項 D不正確，故選 B.24 .【答案】D【解析】已知一個長方體鐵塊放置在圓柱形水槽容器內(nèi)，向容器內(nèi)按一定的速度均勻注水，60秒后將容器內(nèi)注滿，因為長方體是均勻的，所以初期的圖象應(yīng)是直線，當(dāng)水越過長方體后，注水需填充的體積變大，因此此時的圖象也是直線，但斜率小于初期，綜上所述選D.25 .【答案】D【解析】A.根據(jù)圖象4時氣溫最低，故 A錯誤；B.最低氣溫為零下 3 C,故B錯誤；C.。點到14點之間氣溫先下降后上升，故C錯誤；D描述正確，故選 D.26 .【答案】D【解析】觀察函數(shù)圖象，可知：每月上網(wǎng)時間不

17、足25 h時，選擇A方式最省錢，結(jié)論 A正確；觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)每月上網(wǎng)費用大于等于 50元時，B方式可上網(wǎng)的時間比A方式多，結(jié)論B正確;設(shè)當(dāng)x2印寸,yA=kx+b,將（25, 30）、(55,120)代入 yA=kx+b,得25k b =3055kb =120b = -45yA=3x-45 (x25 ,B方式最省錢，結(jié)論 C正確;當(dāng)x=35時，yA=3x-45=6050, .每月上網(wǎng)時間為 35 h時，選擇設(shè)當(dāng) x5CB寸,yB=mx+n,50m n =50Jm = 3將(50, 50)、(55, 65)代入 yB=mx+n,得 _ ，解得/_, . . yB=3x-100 (xR 5

18、0,155m n 65 1n 100當(dāng) x=70 時，yB=3x-100=1100）,則選項c符合題意.故選 C.y -1330 .【答案】A【解析】由圖可得，甲步行的速度為：240F=60米/分，故正確，乙走完全程用的時間為：2400+ （16X60+12） =30 （分鐘），故錯誤，乙追上甲用的時間為：16-4=12 （分鐘），故錯誤，乙到達終點時，甲離終點距離是：2400- （4+30） X60=360米，故錯誤，故選 A.31 .【答案】B【解析】小明吃早餐用了（25-8） =17 min, A錯誤；小明讀報用了（ 58-28） =30 min, B正確；食堂到圖書館的距離為（0.8-

19、0.6） =0.2 km, C錯誤；小明從圖書館回家的速度為0.8/0=0.08 km/min, D錯誤，故選B.x-1 ,0【解析】由題意得W,解得：xl且XW2,故答案為:xl且XW2x-2 = 033.【答案】x*工且x、2【解析】根據(jù)題意得 2x+10, x-3wq解得xN1且xW3.故答案為：x工1且*3.2234 .【答案】12【解析】根據(jù)題意觀察圖象可得BC=5,點P在AC上運動時，BP_LAC時，BP有最小值，觀察圖象可得，BP的最小值為4,即BP_LAC時BP=4,又勾股定理求得 CP=3,因點P從點C運動到點A,根據(jù)函數(shù)的對稱性可得 CP=AP=3,所以AABC的面積是-x

20、(3+3p4=12,故答案為：12.235 .【解析】(1)結(jié)合題意和圖象可知，線段CD為小玲路程與時間函數(shù)圖象，折線O-A-B為為小東路程與時間圖象，則家與圖書館之間路程為 4000 m,小玲步行速度為 2000+10=200 m/s.(2)二,小東從離家 4000 m處以300 m/min的速度返回家，則 x min時，他離家的路程 y=4000- 300x,自變量x的范圍為0土40 .3(3)由圖象可知，兩人相遇是在小玲改變速度之前，4000- 300x=200x,解得x=8,.兩人相遇時間為第 8分鐘.102036 .【解析】(1)由題意得：甲的騎行速度為：21 . =240 (米/分

21、)， 14240 X (11- 1)e=1200 (米),則點M的坐標為(6, 1200),故答案為：240, ( 6, 1200).(2)設(shè)MN的解析式為：y=kx+b (kw。，,. y=kx+b (kO 的圖象過點 M (6, 1200)、N (11, 0),6k b =1200 ，11k b = 0k = -240解得i,b =2640直線MN的解析式為：y=-240x+2640.即甲返回時距 A地的路程y與時間x之間的函數(shù)關(guān)系式：y=-240x+2640.（3）設(shè)甲返回A地之前，經(jīng)過x分兩人距C地的路程相等,乙的速度：1200+20=60 （米/分），如圖 1 所示：AB=1200,

22、 AC=1020,. BC=1200- 1020=180,分5種情況:當(dāng) 03,3此種情況不符合題意;當(dāng)3vx21-1時，即3x 17 ,甲、乙都在 A、C之間,1020- 240x=60x- 180,21當(dāng) 一xW6時，甲在B、C之間，乙在 A、C之間,4 .240x- 1020=60x- 180,_14 21x= 3 6時，甲在返回途中,當(dāng)甲在 B、C 之間時，180-240 (x-1) - 1200=60x-180, x=6,此種情況不符合題意，當(dāng)甲在 A、C 之間時，240 （x- 1） -1200- 180=60x-180,x=8,綜上所述，在甲返回 A地之前，經(jīng)過4分鐘或6分鐘或8分鐘時兩人距 C地的路程相等.37 .【解析】（1）設(shè)步行同學(xué)每分鐘走 x千米，則騎自行車同學(xué)每分鐘走3x千米，根據(jù)題意，得：-=-6-+40, x 3x1x ,101經(jīng)檢驗，x = 是原方程的解，10一， 、一，一 1 一，答：步行同學(xué)每分鐘走 ,千米.10（2）騎車同學(xué)的速度快，即斜率大，故為線段AM;由（1）知，線段AM的斜率為：3x= ,10設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為：y=x+b,10將點A的坐標（30, 0）代入可得：b=-9 ,y=