全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題參考答案及評分標準

1、1.2.3.2008年全國高中數(shù)學聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題參考答案及評分標準、選擇題(本題滿分 30分，每小題6分)2如果頭數(shù)m, n, x, y滿足m的最大值為b. 、ab解由柯西不等式(mx ny)2mx ny v'ab ,當 m占八、4.f (x)為指數(shù)函數(shù)yf(x)與其反函數(shù)yA. PB. QC.(m22.2a b2222n )(x y )xa .在 P(1,1), Q(1,2),b ,其中a, b為常數(shù)，那么mx+ny,a2 b2D.2ab ;或三角換元即可得到mx nyM(2,3),答：B,ab .選 B.1_一四點中，函數(shù)41，、f ( x)的圖像的公共點只可能是點什1,，-

2、八一,、取a 一，把坐標代入檢驗,16N.選 D.C. MD. N答：D11 21611 416公共點只可能是在如圖的表格中，如果每格填上一個數(shù)后，每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列,那么A. 1C. 3第一、如果A.B.x y z的值為B. 2D. 4答:A0.5二行后兩個數(shù)分別為2.5, 3與1.251.選 A.1.5;第三、四、五列中的 x 0.55163z 一，16A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別是A2B2c2的三個內(nèi)角的正弦值，那么A1B1C1與 A2B2c2都是銳角三角形A1B1C1是銳角三角形，A2B2c2是鈍角三角形C. A1BC1是鈍角三角形，A2B2c2是銳角三角形答

3、：BD.AiB1C1與 A2B2c2都是鈍角三角形解兩個三角形的內(nèi)角不能有直角;AiBiCi的內(nèi)角余弦都大于零，所以是銳角三角形；若A2B2C2 是銳角三角形，則不妨設cos A =sin A2=coscos Bi =sin B2 =cos 2cosC1 =sin C2 =cosAiA2BiB2，Ci2 C2'AiBiCi32(A2B2C2），矛盾.選B.5.設ab是夾角為30 °的異面直線,則滿足條件“ a”的平面答：DA.不存在B.有且只有一對C.有且只有兩對D.有無數(shù)對任彳a的平面,可以作無數(shù)個.在b上任取一點的垂線.b與垂線確定的平面垂直于.選D.二、填空題（本題滿分

4、50分,每小題i0分)6.設集合A2xxx表示不大于x的最大整數(shù)，則i, 3 .2, x的值可取2,i,0,i.當x=2 ,則x2 0無解;當x= i ,則 x當x=0,則x22無解;2當x=i ,則 x7.同時投擲三顆骰子，于少有一顆骰子擲出6點的概率是-9iP （結果要求寫成既約2i6分數(shù)）.35解考慮對立事件，P i 一69i2i68.已知點O在 ABC內(nèi)部，OA 2OB 2OC0.解 由圖， ABC與 OCB的底邊相同,iWj是5 : i.故面積比是5: i.，一 2229.與圓x y 4x 0外切，且與y軸相切的動圓圓心的軌跡萬程為y 8x(x 0)或y 0(x 0).解 由圓錐曲線

5、的定義，圓心可以是以 (2,0)為焦點、x2為準線的拋物線上的點；若切點是原點，則圓心在x軸負半軸上.所以軌跡方程為 y28x( x 0),或y 0(x 0).10.在 ABC 中，若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,貝U解切割化弦，已知等式即sin Asin BcosAcosBsin AsinC sin BsinCcosAcosC cosBcosC、口門 sin Asin B sin( A B) sin Asin BcosC ab cosC /亦即 ,即2=1,即 2一 1.sin C cosCsin Cc2.222.2a b ca b所以，2 1,故2一2cc三、解答

6、題(本題滿分70分，各小題分別為 15分、15分、20分、20分)11.已知函數(shù)f (x)22x bx c在x 1時有最大值1, 0 m n,并且xm,n時，f(x)的取值范圍1 1為一，一.試求m, n的值.n m2解由題 f(x) 2(x 1)1,1f (x) 1, 一 1,即 m 1, f(x)在m,n 上單倜減, m2121f (m)2(m 1)2 1 且 f(n) 2(n 1)2 1 -.mn10分21m, n是方程f(x) 2(x 1)1 一的兩個解，方程即x(x 1)(2x2 2x 1)=0,解方程，得解為1 ，31 .3215分1.322 x12. A、B為雙曲線42 y 1上

7、的兩個動點，滿足 OA OB 09(I)求證： 一1-2L2為定值;OA OB(n)動點P在線段AB上，？足OP AB 0,求證：點P在定圓上(i)設點 A的坐標為（r cos , r sin),B 的坐標為(r cos ,r sin )，則 r13.所以Ob1 2 r由OA同理,所以(n)A在雙曲線上，則2. 2cos sinOB2|OA |20得OAOB,2cos42sin91.所以cos22sin22cos sin2cos. 2sin. 2sin2cos12|OB |21r'24 9 3610分由三角形面積公式,OPOA OB ,所以OP2旭2OA2 OB2,即OP2 OA2 1

8、°b即OPOA2 OB1OP221.36丁 TH,0P236即P在以O為圓心、615為半徑的定圓上.如圖，平面 M、N相交于直線l. A、D為l上兩點,射線15分DB在平面M內(nèi)，射線DC在平面N內(nèi).已知 BDCBDA都是銳角.求二面角M l N的平面角的余弦值（用解在平面M中，過A作DA的垂線,交射線DB于B點;在平面N中，過A作DA的垂線,交射線DC于C點.的三角函數(shù)值表示）設DA=1 ,則AB tanDB1cosAC tanDC1cos并且 BAC就是二面角M lN平面角.10分在DBC與 ABC中，利用余弦定理，可得等式2112BC2- - coscos cos cos cos2,2所以，2 tan tan cos tan tantan212- cos2ctan 2 tan tan cos122- coscos cos cos故得到cos2(cos cos cos )cos coscos cos cossin sin15分20分14.能否將下列數(shù)組中的數(shù)填入3與的方格表，每個小方格中填一個數(shù)，使得每行、每列、兩條對角線上的個數(shù)的乘積都相等？若能，請給出一種填法；若不能，請給予證明(I) 2,4,6,8,12,18,24,36,48 ; (II) 2,4,6,8,12,18,24,36,72.解(I )不能.5分因為若每行的積都相等，