簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞(教師用)

1、2011版高三數(shù)學(xué)一輪精品復(fù)習(xí)學(xué)案：第一章集合與常用邏輯用語1.3簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞【高考目標(biāo)定位】一、考綱點(diǎn)擊1、了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義；2、理解全稱量詞與存在量詞的意義；3、能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定。二、熱點(diǎn)、難點(diǎn)提示1、本部分高考考查的主要內(nèi)容是全稱量詞與存在量詞，全稱命題與特稱命題，特別是兩種命題的否定命題的寫法和判斷；2、在高考試題中多以選擇、填空題為主，一般不會(huì)出現(xiàn)解答題?！究季V知識(shí)梳理】1、命題的真假判斷“非p”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示： pp真假假真“p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：pqpq真真真真假假假真假假

2、假假“p且q”形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示：pqPq真真真真假真假真真假假假注：1°像上面表示命題真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式復(fù)合命題的真假與p的真假相反；“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為真時(shí)為真，其他情況為假；“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況為真；3°真值表是根據(jù)簡單命題的真假，判斷由這些簡單命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假，而不涉及簡單命題的具體內(nèi)容。2、全稱量詞和存在量詞（1）全稱量詞有：所有的，任意一個(gè)，任給，用符號(hào)“”表示；存在量詞有：存在一個(gè)，至少有一個(gè)，有些，用符號(hào)“”表示（2）含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題；“

3、對(duì)M中任意一個(gè)x，有p（x）成立”可用符號(hào)簡記為：讀作：“對(duì)任意x屬于M，有p（x）成立”。（3）含有存在量詞的命題，叫做特稱命題；“存在M中的元素x0，使p（x0）成立”可用符號(hào)簡記為： x0M，p（x0），讀作：“存在M中的元素x0，使p（x0）成立”。3、含有一個(gè)量詞的命題的否定命題命題的否定 x0M，p（x0） x0M，p（x0）注：全稱命題與特稱命題的否定有什么關(guān)系？（全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題）?！緹狳c(diǎn)難點(diǎn)突破】一、對(duì)“或”“且”“非”的理解1、相關(guān)鏈接（1）“或”與日常生活中的用語“或”的意義不同。對(duì)于邏輯用語“或”的理解我們可以借助于集合中的并集的概念；

4、在AB=x|xA或xB中的“或”是指“xA”與“xB”中至少有一個(gè)成立，可以是“”，也可以是 “”，也可以是 “”，邏輯用語中的“或”與并集中的“或”的含義是一樣的。（2）對(duì)“且”的理解，可以聯(lián)想到集合中的交集的概念；在AB=x|xA且xB中的“且”是指：“xA”、“xB”都要滿足的意思，即x既要屬于集合A，又要屬于集合B。（3）對(duì)“非”的理解，可以聯(lián)想到集合中的補(bǔ)集的概念：若將命題p對(duì)應(yīng)集合P，則命題非p就對(duì)應(yīng)著集合P在全集U中的補(bǔ)集，對(duì)于非的理解，還可以從字意上來理解，“非”本身就具有否定的意思。一般地，寫一個(gè)命題的否定，往往需要對(duì)正面敘述的詞語進(jìn)行否定。2、“Pq”、“ pq”、“ p”

5、 形式命題真假的判斷步驟（1）確定命題的構(gòu)成形式；（2）判斷其中命題P 、q的真假；（3）確定“Pq”、“ pq”、“ p”形式命題的真假。3、例題解析例1寫出由下述各命題構(gòu)成的“Pq”，“ pq”，“ p”形式的復(fù)合命題，并指出所構(gòu)成的這些復(fù)合命題的真假（1）p：9是144的約數(shù)，q：9是225的約數(shù)（2）p：方程x21=0的解是x=1，q：方程x21=0的解是x=1；（3）p：實(shí)數(shù)的平方是正數(shù)，q：實(shí)數(shù)的平方是0.解析：由簡單命題構(gòu)成復(fù)合命題，一定要檢驗(yàn)是否符合“真值表”如果不符要作語言上的調(diào)整Pq：9是144或225的約數(shù)； pq：9是144與225的公約數(shù)，（或?qū)懗桑?是144的約數(shù)，

6、且9是225的約數(shù)）； p：9不是144的約數(shù). p真，q真，“Pq”為真，“pq” 為真，而“p”為假.（2）Pq：方程x21=0的解是x=1,或方程x21=0的解是x=1（注意，不能寫成“方程x21=0的解是x=±1”，這與真值表不符）；pq：方程x21=0的解是x=1,且方程x21=0的解是x=1；· p：方程x21=0的解不都是x=1（注意，在命題p中的“是”應(yīng)理解為“都是”的意思）；· p假，q假，“Pq”與，“pq” 均為假，而“p”為真.（3）Pq：實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)或?qū)崝?shù)的平方都是0； pq：實(shí)數(shù)的平方都是正數(shù)且實(shí)數(shù)的平方都是0； p：實(shí)數(shù)的平方不

7、都是正數(shù)，（或：存在實(shí)數(shù)，其平方不是正數(shù)）； p假，q假，“Pq”與“pq” 均為假，而“p”為真.注：在命題p或命題q的語句中，由于中文表達(dá)的習(xí)慣常常會(huì)有些省略，這種情況下應(yīng)作詞語上的調(diào)整。二、全（特）稱命題及真假判斷1、相關(guān)鏈接（1）要判斷一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定的集合M中的每一個(gè)元素x，驗(yàn)證p(x)成立.（2）要判斷一個(gè)全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)x=x0，使得p(x0)不成立即可；（3）要判斷一個(gè)特稱命題是真命題，只要在限定的集合M中，至少能找到一個(gè)x=x0，使p(x0)成立即可，否則這一特稱命題就是假命題。2、例題解析例試判斷下列命題的真假（1） （2）（3）

8、（4）分析：明確變量的范圍，然后判斷等式或不等式是否成立，從而得到命題的真假。解答：（1）由于，都有，因而有，即。所以命題“”是真命題。（2）（3）：（4）三、全（特）稱命題的否定1、相關(guān)鏈接（1）全稱命題（特稱命題）的否定與命題的否定有著一定的區(qū)別，全稱命題（特稱命題）的否定是其全稱量詞改為存在量詞（或存在量詞改為全稱量詞），并把結(jié)論否定，而命題的否定則直接否定結(jié)論即可，從命題形式上看，全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題。（2）常見詞語的否定形式有：原語句是都是>至少有一個(gè)至多有一個(gè)對(duì)任意使真否定形式不是不都是一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)存在使假2、例題解析例1寫出下列命題的否

9、定，并判斷命題的否定的真假，指出命題的否定屬全稱命題還是特稱命題。（1）所有的有理數(shù)是實(shí)數(shù)；（2）有的三角形是直角三角形；（3）每個(gè)二次函數(shù)的圖象與軸相交；（4）分析：否定量詞否定判斷詞寫出命題的否定判斷命題真假。解答：（1）p：存在一個(gè)有理數(shù)不是實(shí)數(shù)。為假命題，屬特稱命題；（2）p：所有的三角形都不是直角三角形。為假命題，屬于全稱命題；（3）p：為真命題，屬特稱命題。例2寫出下列命題的否定并判斷其真假（1）p：存在一些四邊形不是平行四邊形；（2）p：所有的正方形都是矩形；（3）p：至少有一個(gè)實(shí)數(shù)，使；（4）p：解答：四、與邏輯聯(lián)結(jié)詞、全（特）稱命題有關(guān)的參數(shù)問題例1（12分） 分析：（1）已

10、知的兩個(gè)命題是全稱命題和特稱命題；（2）根據(jù)“p且q”是真命題來確定a的不等式，從而求出a的取值范圍。解答：由“p且q” 是真命題，則p為真命題，q也為真命題.若p為真命題,ax2恒成立,x1,2,a1.若q為真命題,即x2+2ax+2-a=0有實(shí)根,=4a2-4(2-a)0,即a1或a-2,綜上所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a-2或a=1.注:含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題要先確定構(gòu)成命題的(一個(gè)或兩個(gè))命題的真假,求出此時(shí)參數(shù)成立的條件,再求出含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題成立的條件.例2已知兩個(gè)命題r(x):sinx+cosx>m,s(x):x2+mx+1>0.如果對(duì)xR,r(x)與s(x)有且僅有一個(gè)是

11、真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 分析：由已知先求出對(duì)xR,r(x) ，s(x)都是真命題時(shí)m的范圍，再由要求分情況討論出所求m的范圍.解答：sinx+cosx=當(dāng)r(x)是真命題時(shí)，m<.又對(duì)xR，s(x)為真命題，即x2+mx+1>0恒成立，有=m2-4<0,-2<m<2.當(dāng)r(x)為真，s(x)為假時(shí)，m<.同時(shí)m-2或m2，即m-2，當(dāng)r(x)為假，s(x)為真時(shí)，m且-2<m<2，即m<2.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m-2或m<2.注：解決這類問題時(shí)，應(yīng)先根據(jù)題目條件，推出每一個(gè)命題的真假（有時(shí)不一定只有一種），然后再求出每個(gè)命題

12、是真命題時(shí)參數(shù)的取值范圍，最后根據(jù)每個(gè)命題的真假情況，求出參數(shù)的取值范圍?！靖形蚋呖颊骖}】1.（2009江西卷文）下列命題是真命題的為 A若,則 B若,則 C若,則 D若,則 答案：A【解析】由得,而由得,由,不一定有意義,而得不到 故選A2.（2009遼寧卷文）下列4個(gè)命題 1/2x>1/3x1/2x 1/3x其中的真命題是（A） （ B） （C） （D）【解析】取x,則1/2x1,1/3xlog321,p2正確 當(dāng)x(0,)時(shí),()x1,而1/3x1.p4正確【答案】D3.（2009天津卷理）命題“存在R，0”的否定是（A）不存在R, >0 （B）存在R, 0 （C）對(duì)任意的R

13、, 0 （D）對(duì)任意的R, >0【考點(diǎn)定位】本小考查四種命題的改寫，基礎(chǔ)題。解析：由題否定即“不存在，使”，故選擇D。4.5. （2010湖南理數(shù)）2.下列命題中的假命題是A,2x-1>0 B. ,C , D. ,6. （2010安徽文數(shù)）(11)命題“存在，使得”的否定是 11.對(duì)任意，都有.【解析】特稱命題的否定時(shí)全稱命題，“存在”對(duì)應(yīng)“任意”.【誤區(qū)警示】這類問題的常見錯(cuò)誤是沒有把全稱量詞改為存在量詞，或者對(duì)于“>”的否定用“<”了.這里就有注意量詞的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”.7. （2010四川文數(shù)）（16）設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子

14、集.若對(duì)任意，都有，則稱S為封閉集。下列命題：集合Sabi|（為整數(shù)，為虛數(shù)單位）為封閉集；若S為封閉集，則一定有；封閉集一定是無限集；若S為封閉集，則滿足的任意集合也是封閉集.其中真命題是 （寫出所有真命題的序號(hào)）解析：直接驗(yàn)證可知正確.當(dāng)S為封閉集時(shí)，因?yàn)閤yS，取xy，得0S，正確對(duì)于集合S0，顯然滿足素有條件，但S是有限集,錯(cuò)誤取S0，T0,1，滿足,但由于011ÏT，故T不是封閉集，錯(cuò)誤答案：【考點(diǎn)精題精練】一、選擇題1判斷下列全稱命題的真假，其中真命題為（ B ）A所有奇數(shù)都是質(zhì)數(shù) BC對(duì)每個(gè)無理數(shù)x，則x2也是無理數(shù) D每個(gè)函數(shù)都有反函數(shù)2將“x2+y22xy”改寫成全

15、稱命題，下列說法正確的是（ A ）A，都有 B，都有C，都有 D，都有3判斷下列命題的真假，其中為真命題的是（D）A BC D4下列命題中的假命題是（ B ）A存在實(shí)數(shù)和，使cos(+)=coscos+sinsinB不存在無窮多個(gè)和，使cos(+)=coscos+sinsinC對(duì)任意和，使cos(+)=coscossinsinD不存在這樣的和，使cos(+) coscossinsin5. 命題“方程的解是”中，使用邏輯詞的情況是（ B ） A.沒有使用邏輯聯(lián)結(jié)詞 B.使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或” C. 使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“且” D. 使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與“且”6已知命題，則的否定形式為 （ C ）

16、 A BC D7.“”的含義為（ A ）A不全為0 B 全不為0 C至少有一個(gè)為0 D不為0且為0，或不為0且為0提示: ,于是就是對(duì)即都為0的否定, 而“都”的否定為“不都是”或“不全是”,所以應(yīng)該是“不全為0”.8命題“存在一個(gè)三角形，內(nèi)角和不等于1800”的否定為（ B ）A存在一個(gè)三角形，內(nèi)角和等于1800 B所有三角形，內(nèi)角和都等于1800C所有三角形，內(nèi)角和都不等于1800 D很多三角形，內(nèi)角和不等于1800提示:該命題是一個(gè)“存在性命題”,于是“存在” 否定為“所有”;“不等于” 否定為“都等于”. 9. 給出命題：xR，使x3<1； $xQ，使x2=2；"xN，

17、有x3>x2； "xR，有x2+1>0其中的真命題是：（ A ）ABCD提示:方程 x2=2的解只有無理數(shù),所以不存在有理數(shù)使得方程 x2=2成立,故為假命題;比如存在,使得,故為假命題.10. 命題p：“不等式的解集為”；命題q：“不等式的解集為”，則 （ D ）Ap真q假Bp假q真C命題“p且q”為真D命題“p或q”為假提示：不等式的解集為,故命題p為假;不等式的解集為,故命題q為假.于是命題“p或q”為假.11、命題則在下述判斷：p或q為真；p或q為假；p且q為真；p且q為假；非p為真；非q為假其中正確的的個(gè)數(shù)為（ C ） A2 B.3 C.4 D5 提示: 正確.

18、12、下列說法錯(cuò)誤的是： （ C ）A命題“”的逆否命題是：“”.B“x>1”是“”的充分不必要條件.C若且為假命題，則均為假命題.D命題 ，則.提示: 若且為假命題，則與的真假包括兩種情況：其中可以有一個(gè)是真命題，或者與都是假命題二、填空題 13、命題“有”的否定是 有 .14、 用符號(hào)“”與“”表示含有量詞的命題: （1）實(shí)數(shù)的平方大于等于0_;（2）存在一對(duì)實(shí)數(shù)，使2x3y3>0成立_15、對(duì)于下列語句（1） （2） （3） （4）其中正確的命題序號(hào)是 （2）（3） 。（全部填上）16、已知命題p:“”，命題q:“”若命題“p且q”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.提示： 由命題“p且q”是真命題可知命題p與命題q都成立.則有，可解得三、解答題17、 已知命題p：不等式|x1|>m1的解集為R，命題q：f(x)=(52m)x是減函數(shù)，若p或q為真命題，p且q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解答：不等式|x1|<m1的解集為R，須m1<0即p是真 命題