空間向量與立體幾何__學習.探究.診斷(選修2_1)

1、第三章 空間向量與立體幾何測試十一 空間向量及其運算AI 學習目標1 會進行空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算.2會利用空間向量根本定理處理向量共線，共面問題以及向量的分解.3會進行空間向量數(shù)量積的運算，并會求簡單的向量夾角.n 根底性訓練、選擇題1.在長方體 ABCD AiBiCiDi 中，BA BC=()(B) DiB11(A)ab c22(C)1 a1b c22(A) Di Bi(C) DBi(D) BDi2.平行六面體 ABCD AiBiCiDi中，M為AC和BD的交點，假設AB a, AD b, AA C ,那么以下式子中與 BiM相等的是()3在平行六面體 ABCD AiBiCiDi中

2、，向量 ABpAD.BD是()(A)有相同起點的向量(B)等長的向量(C)共面向量(D)不共面向量4. 空間的基底i, j, k，向量 a= i + 2j + 3k, b= 2i + j + k, c= i + mj nk,假設向 量c與向量a, b共面，那么實數(shù) m+ n=()(A)1(B) 1(C)7(D) 75. 在長方體 ABCD AiBiCiDi 中，AB = 1, AD = 2, AAi = 3,貝U BD AC1 ()(A)1、填空題(B)0(C)3(D) - 36. 在長方體 ABCD AiBiCiDi 中，化簡 AB AD AA1.7. 向量i ,j ,k不共面，且向量a =

3、 mi + 5j k, b= 3i + j + rk，假設a /r =.&平行六面體 ABCD AiBiCiDi中，所有的棱長均為 2,且AB CC>=；異面直線 AB與CCi所成的角的大小為 .9. i, j, k是兩兩垂直的單位向量，且 a = 2i j + k, b = i+ j 310. 平行六面體 ABCD AiBiCiDi中，所有棱長均為 i ,且/ AiAB = AD，貝U ACi的長度為.三、解答題ii.如圖，平行六面體 ABCD AiBiCiDi 中，AB a, AD b,AAb,那么實數(shù)m=,2，貝U AB, CCik,貝U a b =./ AiAD = 60

4、°, AB 丄C , E為AiDi中點，用基底a, b, c表示以下向量(1) DBi, BE, AF ；(2)在圖中畫出DDi DB CD化簡后的向量.i2.向量 a = 2i + j + 3k, b = i j + 2k, c= 5i + 3j + 4k,求證向量a, b, c共面.i3.正方體 ABCD AiBiCiDi中，棱長為i , E為CCi中點,B(i)求 ABi BC ;(2)求 AB BE, cos ABBE川拓展性訓練14. 如圖，點 A是厶BCD所在平面外一點， G是厶BCD的重心,一 1 - 一 一 求證：AG -(AB AC AD).3(注：重心是三角形三條

5、中線的交點，且CG : GE= 2 : 1)第三章 空間向量與立體幾何測試十一 空間向量及其運算A1. D-1 1 112. CB1MB,BBMc-BDc- (ADAB)-a-bc.2 2223. C / AD1 AR B1D1 BD, AB1>AD1>BD共面.4. B c= a+ b = i + 3j + 4k = i + mj nk, m= 3, n= 4, m+ n= 1.5. C BD AC1 (AD AB) (AB AD AA) AD2 AB2 (AD AB) AA,| AD |2 |AB |2 0 3 .6.AB ADAAAC AA AC7.m 15, r15&

6、;120° 60°9.2.10. 5;|AC |2(ABh 2AD AA)22 2 2AB2 AD2 AA 2AB AD 2AD AA 2AB AA=1 + 1 + 1 + 0 + 2cos60°+ 2cos60°= 5.11. (1) DB1a bc;BE BA AA AE1a c2AB11a -2b c ；AFABBF AB BR B1F a1c -(BC2BB1)1a -2b -c2(2) DD1DBCD DD1 (CD DB)DD1 CBDD1D1A1DA,.12.解：設c：=ma+nb，那么2m3mn 5，解得 m 2，所以c= 2a b，所以

7、向量a, b, c共面.n 12n13. AB1BC1(AB BBi) (BC CG)AB BC1AB CC1 BB1 BC BB1 CC1 0 0 0AB1 BE(ABBB) (BC CE)AB BC ABCE BB1BC BB1CEIAB1I 2,|BE| wcosAB1,BEAB1 BE|AB；|BE|,10百.5i + 3j + 4k = m(2i + j + 3k) + n( i - j + 2k) =(2m n) i + (m n)j + (3m + 2n)k,14證明 AG AC CGCG iCEAGAC1 1 -(CB CD) -(CA AB 33 1 -(2CA AB AD)

8、 (AB AC AD).332 1 K(CB CD)1 -3CA AD)測試十二 空間向量及其運算1.2.3.I 學習目標 會進行向量直角坐標的加減，數(shù)乘，數(shù)量積的運算. 掌握用直角坐標表示向量垂直，平行的條件. 會利用向量的直角坐標表示計算向量的長度和兩個向量的夾角.n 根底性訓練、選擇題3) , c = (0, 0, 2)，貝U a+ 6b 8c =()(B)( 14, 3, 35)(D)( 14, 3, 3)1. a = (2, 3, 1), b = (2, 0, (A)( 14, 3, 3)(C)( 14, 3, 12)2. 以下各組向量中不平行的是(3.(A)a = (1, 2, 2

9、) , b= ( 2, 4 ,(C) e= (2 , 3, 0) , f = (0 , 0 , 0) 向量 a= (2 , 1, 3) , b = ( 4 ,4)(A)2(B) 2(B) c= (1 , 0 , 0), d = ( 3 , 0 , 0)(D)g = ( 2 , 3, 5), h= (16 , 24 , 40) x),假設 a丄 b,貝U x=(C) 234.與向量一1, 2 , 2共線的單位向量是/ A /1 2 Z1(D)(A),-)和(,3 3 33122、十/1(C)(,)和(一，3 3 3385. 假設向量a= (1,入2) , b= (2, - 1, 2)，且a與b的

10、夾角余弦為一，那么入等于()922(A)2(B) 2(C) 2 或(D)2 或-5555二、填空題6. 點A(3, 2，1)，向量AB = (2, 1,5),那么點B的坐標為 , | AB |=7. 3(2, 3, 1) 3x= ( 1, 2, 3)，那么向量 x =.8. 假設向量 a= (2, 1, 2) , b= (6, 3, 2)，那么 cos<a, b> =.9. 向量a= (1,1, 0), b = ( 1, 0, 2)，且ka + b與2a b互相垂直，貝U k值是10. 假設空間三點 A(1, 5, 2) , B(2, 4, 1) , C(p , 3 , q+ 2)

11、共線，那么 p=, q =三、解答題11向量 a = (1, 1, 2) , b= ( 2 , 1, 1) , c= (2 , 2 , 1),求(1) ( a+ c) a;(2) | a 2b+ c|;(3) cos a+ b , c>.12. 向量 a = (2 , 1 , 0), b= (1 , 2, 1),(1) 求滿足 m丄a且m丄b的所有向量 m.(2) 假設|m | 2 30 ,求向量m .13. 向量 a = ( 2 , 1, 2) , b= (1 , 2, 1) , c= (x , 5 , 2),假設 c與向量 a , b 共面, 數(shù)x的值.14. 直三棱柱 ABC A1

12、B1C1 的底面 ABC 中，CA = CB = 1, / BCA = 90°,棱 AA1 = 2 , M、N分別是A1B1 , A1A的中點。如圖，建立空間直角坐標系.BiAf(1)求BN的坐標及BN的長;求cos Ba1,Cb1的值;(3)求證：AjB丄C1M .測試十二 空間向量及其運算BAD b =- 2a a/ b; d = - 3c d/ c;而零向量與任何向量都平行.C 4. A,a b682Ccos a,b:c2或|a|b|3、25955f71157(5,1, 6),307. x(,-,0)8.cos a,b9.-33215p= 3, q = 2(a c) a 12;

13、| a 2b c |.99 ； cos a b, c2x yx 2y，設 x= a,貝U y= 2a, z= 5a, 0m a 0(1)設m= (x, y, z)由得m b 0所以 m= (a, 2a, 5a)( a R).(2) | m | . a2 4a2 25a2 2.30，得 a=± 2,所以 m= (2, 4, 10)或 m = ( 2,- 4,- 10).因為c與向量a, b共面，所以設 c= ma + nb(m, n R)x2m nm 3(x, 5,2) = m(-2, 1,-2) + n(1,2, 1),5m 2n ,所以n 422m nx 10(1)解:依題意得B(

14、0,1, 0) , N(1,0 , 1), BN(1, 1,1)|BN| .(10)2(0 1)2 (10)2. 3 .解:A1(1, 0,2),B(0, 1, 0),C(0 , 0 , 0),B1(0 , 1 , 2),1.2.3.5.6.10.11.12.13.14. BA CB, 31 BA, I J6,|CB | y/5cos BA, CB,BA, CB,|BA,|CB1|30To-、 (3)證明：。(0, o, 2), m(2,2,2),一 一- A,B ( 口，2),C,M(了3，°) A,B GM 0 AB丄OM .測試十三 直線的方向向量與直線的向量方程I 學習目標會

15、寫出直線的向量參數(shù)方程以及利用它確定直線上點的坐標.2會用向量共線定理處理四點共面問題.3會利用直線的方向向量和向量共線定理證明線線平行、線面平行，線線垂直、線面 垂直.4會利用向量求兩條異面直線所成的角.n 根底性訓練一、選擇題向量OA= ，2, 0, OB = -，0, 6點C為線段AB的中點，那么點C的坐標為2.3.(A)(0 , 2, 6)點A( 2, 2,A2,普以下條件中，使點(B)( 2, 2 , 6)(C)(0, 1, 3)2 -4) , B( 1 , 5, 1),假設 OC - AB,那么點3 c 14 10142, , )(C) (2，333B , C一定共面的是()(D)

16、( - X- , 3)C的坐標為(A) DM 2OA(C) MA 2MB(B)(10)(D)(2,鶉)M與點A,OB OC(B) DMOA53OBoc2MC 0(D) OMOA OB OC 04.AD(D)-3正方體 ABCD 人怕心心,中，棱長為2, O是底面 ABCD的中心，E, F分別是 C6 的中點，那么異面直線 OE與FD,所成角的余弦值為A(0, 0, 0) , B(1 , 1 , 1) , C(1 . 2, 1)，以下四個點中在平面 ABC的點是( (A)( 2, 3, 1)(B)( 1, 1, 2)(C)( 1, 2, 1)(D)( 1 , 0 , 3)二、填空題6. 點 A(

17、1, 2, 0) , B( 2, 1, 3)，假設點P(x, y, z)為直線 AB上任意一點，那么直線AB的向量參數(shù)方程為(x, y, z) =，假設AP 2BP時，點P的坐標為 .12_7. A，B，C三點不共線，0是平面外任意一點，假設有 OP -OA -OB OC確定53的點與A, B, C三點共面，那么入=.&假設直線li/ 12,且它們的方向向量分別為a = (2, y, 6), b = ( 3, 6, z)，那么實數(shù)y +9. 正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為2, M是DC的中點，點 N在CC1上，且 D1M丄AN ,那么NC的長度為10. 正三棱柱 ABC A

18、1B1C1中，AB= AA1 = 2,貝U A1C與BC1所成角的余弦值為 三、解答題11.直三棱柱ABC A1B1C1 中，/ ACB = 90°, AC = BC = CC1 = 1.EF丄平面PCD.(1)求異面直線AC 1與CB1所成角的大小;證明：BC1丄AB1 .12. 如圖，四棱錐 P ABCD的底面為正方形，PA丄平面ABCD , PA = AD, E, F分別是AB, PC的中點.求證:13. 如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AC = BC= CC1,AC丄BC,點D是AB的中點.(1)求證：ACi /平面 CDBi；(2)求異面直線ACi與BiD所成的

19、角的大小.BB1D1D .14. 正方體 ABCD AiBiCiDi中，M , N分別是 AB, AiDi的中點，求證：MN /平面Ol測試十三 直線的方向向量與直線的向量方程i. C 2. B 3. C MC MA 2MB .4. B如圖，建立空間直角坐標系D xyz, FDi ( i,0,2),OE(1,1,1),|cosFDi,OE |.155. D AD 2AB AC所以向量AD,AB, AC共面，點(1, 0, 3)在平面ABC.6. (x,y,z)= (1, 2,0) +1( 3, 1, 3) ; ( 5,0, 6)，此時 t = 2.2127. -；因為1$1.1553&

20、 5. 9. 1.110. 如圖，建立空間直角坐標系 O xyz,4那么 CA (31,2),BG( . 31,2), 1| cos CAi, BCi |4(1) ACi( 1,0,1),CBi(0,1,1),1)cos AC1, BC1異面直線AC1與CB1所成角為60° BG(0, 1,1), AB1( 1,1,1),得 BC1 AB10，所以 BC1 丄 AB1. E為AB的中點，F(xiàn)為PC的中點, E(1 , 0, 0) , F(1, 1, 1), EF(0,1,1)0) , P(0, 0, 2), CD ( 2,0,0), CD EF ( 2,0,0) (0,1,1) 0 E

21、F 丄 CD ./ PD (0,2, 2),PD EF (0,2, 2) (0,1,1) = 0 /. EF 丄 PD.因為PD n CD = D,. EF丄平面 PCD .13.解：如圖，建立空間直角坐標系C xyz.設 AC= BC= CCi= 2，那么 C(0, 0, 0) , A( 2, 0, 0),B(0, 2, 0) , Ci(0, 0, 2) , Bi(0, 2, 2), D(1 , 1 , 0).(1) 設BC1與B1C的交點為E,那么E(0, 1 , 1).- DE ( 1,0,1),AC1( 2,0,2),1_二 DE AG, DE / AC1.2DE 平面 CDB1, A

22、C1 平面 CDB1,. AC1 / 平面 CDB1.(2) 設異面直線AC1與B1D所成的角為，AG =( 2, 0, 2) , B1D =( 1 , 1, 2),COS| cos AG ,B1D |-2,所以=30°異面直線AC1與B1D所成的角為30°c b -(b a)2 2BD AA ,214.設 AB a, AD b,AA c那么 MN MA AA AN因為MN 平面BB1D1D ,所以MN /平面BB1D1D .測試十四 平面的法向量和平面的向量表示I 學習目標1. 會求平面的法向量.2 .會利用平面的法向量證明兩個平面平行和垂直問題.n根底性訓練一、選擇題1

23、. 過點 A(2 , 5 , 1)且與向量a = ( 3 , 2 , 1)垂直的向量()(A)有且只有一個(B)只有兩個且方向相反(C)有無數(shù)個且共線(D)有無數(shù)個且共面2. 設平面 兩個向量的坐標分別為(1 , 2 , 1), ( 1, 1, 2),那么以下向量中是平面 的法 向量的是()(A)( 1, 2 , 5)(B)( 1 , 1, 1) (C)( 1 , 1 , 1)(D)( 1, 1, 1)都垂直，且|a | ：3，那么a=()4.5.6.7.9.(A)( 1 ,1,1)(C)( 1, 1, 1) 丄，平面=()(A)-3平面的法向量為(A)AB、填空題 /,平面z),貝U z=如

24、圖，在正三棱錐(B)( 1 , 1 , 1)(D)( 1, 1, 1)或(1 , 1, 1)與平面的法向量分別為 m= (1, 2 ,(B) I7(C)33) , n = (2, 3 入，4)，那么入(D) 3m，假設向量AB(B) AB /m，那么直線AB與平面的位置關(guān)系為()(C) AB或 AB/(D)不確定與平面的法向量分別為m , n ,且m = (1, 2, 5) , n = ( 3, 6,ABC的一個法向量可以是S ABC中，點 O是厶ABC的中心，,平面SAD的一個法向量可以是點D是棱BC的中點，那么平面假設 A(0, 2, 1) , B(1 , 1 , y , z),貝U x

25、: y : z=如圖AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓O上非A , B的任意一點, 那么圖中直角三角形共有的三點，設平面的法向量a = (x ,三、解答題10.正方體ABCD A1B1C1 D1(1)在圖中找出平面 ABCD,平面ADD 1A1 ,平面BDD1B1的一個法向量;11. 如圖，四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD為矩形，PD丄底面 ABCD , AD = PD = 2. AB =4, E, F分別為CD,PB的中點.求平面AEF的一個法向量的坐標.12. 如圖，在正四棱柱 ABCD AiBiCiDi 中，AB = 2, AAi= 4, E, F , M , N

26、分另是 AiDi, DiD, BC, BBi 的中點.求證：平面EFCi/平面AMN .13. 正方體 ABCD AiBi C1D1 中，P, M , N 分別是 DC , CCi, BC 中點. 求證：平面PAiA丄平面MND .測試十四 平面的法向量和平面的向量表示1. D 2. B 3. D 4. C 5. C 6. 157. OS； BC& x : y : z= 2 : 1 : 3 9. 4 個， PAC,A FAB, ABC, PBC10.解：(1)由正方體可得：DDi丄平面ABCD , AB丄平面ADD1A1 ,平面ABCD的一個法向量為 DD1 ,平面ADD 1A1的一個

27、法向量為 AB ,連接AC, AC丄BD , AC丄BB1，得AC丄平面BB1D1D ,平面BDD1B1的一個法向量為 AC .(2)如圖，建立空間直角坐標系可得 D1(0, 0, 2) , A(2, 0, 0) , B(2, 2, 0) , C(0, 2, 0).DD1(0,0,2), AB(0,2,0), AC ( 2,2,0)11.如圖，建立空間直角坐標系2,2),AE(2, 2,0), AF (2, 1,1),2x2x2y 0，令 x= 1,得 y= 1, z= 1, m = (1, 1, 1).y z 012.如圖,建立空間直角坐標系D xyz,可得 A(0, 2, 0) , B(4

28、,E(2, 0, 0) , F(2, 1, 1).平面AEF的一個法向量為 m = (x, y, z),4),可得A(2,Di(O, 0,M(1 , 2, 0) , N(2, 2, 2).平面EFCi的一個法向量為m = (x, y, z),ECi( 1,2,0), EF (1,0, 2),ECi m 0x 2y 0一，所以，EF m 0x 2z 0令 y = 1,得 x= 2, z=- 1, m = (2, 1, 1). 設平面AMN的一個法向量為 n = (a, b, c).a 2b 0AM ( 1,2,0), AN (0,2,2)，所以 “ c c2b 2c 0令 b = 1,得 a =

29、 2, c= 1, n= (2, 1, 1). 因為m= n,所以平面 EFC1/平面AMN .13.如圖，建立空間直角坐標系D xyz，設AB= 2,c.4,代ok;.以A 8rVf占可得 A(2, 0, 0) , B(2, 2, 0), C(0, 2, 0) , B1(2 , 2 , 2),C1(0 , 2 , 2) , P(0 , 1, 0) , M(0 , 2 , 1), N(1 , 2 , 0).平面PA1A的一個法向量為 m= (x , y , z),AA (0,0,2), AP ( 2,1,0),2z 0,令 x= 1,得 y = 2 , m= (1, 2 , 0),2x y0同

30、理，平面 AMN的一個法向量為 n = (a , b , c),a 2b 0DN(120),DM陽)，所以 2b c 0令 b = 1,得 a =-2, c=- 2, n = ( 2, 1, - 2). 因為m n = 0，所以m丄n ,所以平面 PAiA丄平面MND .測試十五 直線與平面的夾角、二面角I 學習目標1. 會利用定義求直線與平面的夾角，二面角.2. 會利用平面的法向量求直線與平面的夾角，二面角.3. 會根據(jù)所給的幾何體，合理的建立空間直角坐標系解決相關(guān)角度問題.n 根底性訓練、選擇題n1假設直線I與平面 成角為一，直線a在平面3a所成的角的取值圍是(A) (0,33B自，且直線

31、I與直線a異面，那么直線I與直線c【n nDo,m2 .二面角一l -n的大小為一，異面直線a, b分別垂直于平面3b所成角的大小為)nnn(A)-(B)-(C)632,，那么異面直線(D)a,3.正方體 ABCD -A1B1C1D1中，BC1與平面BDD1B1所成角的大小為nnnnABCD 64324.正方體 ABCD - A1B1C1D1中，點E為BB1中點，平面 A1EC與平面ABCD所成二面角的 余弦值為5.A乎abcd為正方形, B重合后的點為E是AB中點，將 DAE和厶CBE折起，使得P,D¥AE與BE重合，記A,a n6二、填空題6.設ni, n2分別為一個二面角的兩個

32、半平面的法向量，假設m 3 n，那么此二面角的&9.大小為.7.棱長為i的正方體 ABCD AiBiCiDi, P是棱CCi上一點，CP = m,且直線 AP與平面2/2BBiDiD所成的角的正弦值為薩，貝V m =.正四棱錐的底面邊長為 4,側(cè)棱長為3，那么側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為 .在三棱錐 O ABC中，三條棱 0A, OB, OC兩兩互相垂直，且 OA= OB = OC , M是AB 的中點，貝U OM與平面ABC所成角的余弦值是 .iO.如圖，正三棱柱 ABC AiBiCi的所有棱長都相等， D是AiCi的中點，那么直線 AD 與平面BiDC所成角的正弦值為三、解答題A

33、i EC B的余弦值.12正方體11.正方體 ABCD AiBiCiDi的棱長為2, E, F分別為 AD, AB的中點，求BCi與平面 AiEF 所成角的大小.13. 正三棱柱 ABC AiBiCi中，AB= BBi , D是BC的中點,(1) 求直線BBi與平面ACiD所成的角余弦值;(2) 求二面角C ACi D的大小.(1) 求AC與平面SBC所成角的大小.(2) 求二面角 A SC B的大小.測試十五直線與平面的夾角、二面角i. C 2. B3. A 建立空間直角坐標系，平面 BDDiBi的法向量為 AC .4. C5. C EP 丄 PD , EP 丄 PC,/ DPC 是二面角

34、D PE C 的平面角，且 PD = PC = CD，二面n角的平面角的大小為-.36.7.m 丄.建立空間直角坐標系2D xyz，設 P(0, i, m)，得 AP = ( i, i, m)，平面BBiDiD的法向量為 AC =( i , i , 0)，設AP與平面BBiDiD所成角為，貝U sin =10.那么 Ai(2,0),Ci(0, 2,2), BG( 2,0,2),EF(1,1,0),AE (1,0, 2).設平面A1EF的法向量為m = (x.y, z),|cos AP,AC I 22務2Jm 232 59.-33 以為原點，OA, OB, OC分別為x, y, z軸建立空間直角

35、坐標系，設OA = 2,得3OM = (1, 1, 0)，平面 ABC 的法向量為 m = (1, 1, 1)，那么 |cos OM,m | 64511. 解：如圖,那么x y 0x 2z 0令 z= 1,那么 x=- 2, y= 2，所以m= ( 2, 2, 1).設BC1與平面A1EF所成角為 <2那么 sin |cos m,BC1 |,BC1與平面A1EF所成角的大小為因為DD1丄平面EBC,13.設平面AiEC的法向量為 m= (x, y, z),EC ( 2,1,0), AE (0,1, 2)，那么y令 z= 1,那么 y= 2, x= 1,所以 m= (1,2x y 02z

36、02 , 1), cos m,DD1因為二面角 A1 EC B為鈍角，所以二面角 A1 EC B的余弦值為|m|DD1|66 解：取BC的中點D,設 AB= BB1= 2,AC. 3,0,0) , B(0, 1, 0) , C(0, 1, 0) , C1(0 , - 1, 2), (1)設平面AC1D的法向量為m = (x, y, z),da (一 3,0,0),DC(0, 1,2),那么 0令 z= 1,那么 y= 2,所以 m= (0 , 2 , 1).y 2z 0設直線BB1與平面AC1D所成的角為,Bq (0,0,2),那么 sin | cos m, BB1m BB1| 1|m|BB1

37、|半，所以AC與平面SBC5所成角的余弦值出25(2)設平面ACC1的法向量為n = (x, y, z)AC (3, 1,0),CC1(0,0,2)，那么3x y 0z 0令 x= 1,那么 y . 3 ,所以 n (1, .3,0),cos m, nm n|m| n|155因為二面角c AC1 D為銳角，所以二面角 a sc b余弦值為書514. 解：如圖，建立空間直角坐標系 B xyz，設AB= 1 ,那么 B(0, 0, 0) , A(0, 1 , 0) , C(1, 0, 0) , S(0, 1 , 1).(1)設平面SBC的法向量為 m = (x, y, z),SB (0,1,1),

38、BC(1,0,0)m = (0, 1, 1).那么丫 z 0 令z= 1，那么y= 1，所以x 0設AC與平面SBC所成角為，AC (1, 1,0),那么 sin | cosm, ACm AC|m|AC|nAC與平面SBC所成角為一.6(2)設平面ASC的法向量為n = (x,y，z)，AS (0,0,1), AC (1, 1,0)那么令 x= 1，貝U y= 1，所以 m= (1, 1,0),cos m, nm n|m| n|n因為二面角A SC B為銳角，所以二面角 A SC B為3測試十六距離(選學)I 學習目標1. 掌握點到直線距離，點到平面的距離的向量公式.2. 會求兩點之間的距離，

39、點到直線的距離，點到平面的距離，直線到平面的距離.n 根底性訓練3.、選擇題a , A(A) m> n正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為1, 長為()(A) g(B)2，點A到平面 的距離為m,點A到直線a的距離為n,那么(C) mW nM是棱A1A的中點，(B) m> n(C)、2矩形 ABCD 中，AB = 3, BC = 4, PA丄平面 ABCD , FA= 1 ,(D) m v nO是BD1的中點,v'6(D)g那么P到矩形對角線)MO的BD的距離()131711(A)(B)(C).29(D)1295525 '4. 直線a/平面 ，且a與平面 的距

40、離為d,那么到直線a的距離與到平面的距離 都等于d的點的集合是()(A) 一條直線(B)三條平行直線(C)兩條平行直線 (D)兩個平面5. 如圖，正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為1, O是底面 A1B1C1D1的中心，貝U O到平面ABC1D1的距離為()1(A)-2Db(C)¥(D)-3、填空題6棱長為4的正方體一點P,它到共頂點的三個面的距離分別為1 , 1 , 3,那么點P到正方體中心0的距離為.7.線段AB在平面 夕卜，A, B兩點到平面 的距離分別為1和3，那么線段AB的中點C到 平面的距離為.&二面角 一I 為60°,點A ,且點A到平面 的距

41、離為3,那么點A到棱I的距離為9. 正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為a，那么直線BC到平面AB1C1的距離為 .10. 如圖，正方體的棱長為 1, C, D分別是兩條棱的中點， A, B, M是頂點，那么點 M到截面ABCD的距離是三、解答題11.正四棱柱ABCD A1B1C1D1 中，AB= 2, BB1 = 4,點 E, F 分別是 CC1,A1D1的中點.(1) 求EF的長；(2) 求點A到直線EF的距離.(1) 求證：BD /平面EFG，并求出直線 BD到平面EFG的距離;(2) 求點C到平面EFG的距離.13. 長方體 ABCD AiBiCiDi 中，AD= 1 , AB=

42、 2, BBi= 3. 求兩個平行平面 ABiDi與平面BDCi之間的距離.14. 如下圖的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面 AECiF所截面而得到的，其中AECiF 為平行四邊形且 AB = 4, BC = 2, CCi= 3, BE= 1 .(1) 求BF的長；(2) 求點C到平面AECiF的距離.測試十六 距離(選學)1. C 2. B 3. A 4. C 5. B6. 3以共頂點的三條棱為坐標軸建立空間直角坐標系，可得點P的坐標為(1, 1, 3),中心 O 的坐標為(2，2，2)，所以 PO (1,1, 1),|PO |,3 .7.1或2分A, B兩點在平面 同側(cè)和異側(cè)兩種情況

43、討論.9.10.2 a2 -如圖，建立空間直角坐標系，可得AM =(0, 1, 0)，平面ABCD的法向量為m =3(2, 2, 1),d |AM m| 2|m|311.解:22( 2)23.那么 A(2, 0, 0) , E(0, 2, 2) , F(1 , 0, 4).EF =(0, 2, 2)，所以 | EF |. 12AF(1,0, 4), | cos AF, EF1 3717 .所以 sin AF EF2、263J7，d |AF|sin AF,EF | V，即點A到直線EF的距離為2 . 26 3J7312.解：1因為E, F分別為棱 AB, AD的中點，所以EF / BD .又EF

44、 平面EFG , BD 平面EFG，所以BD /平面 EFG .如圖建立空間直角坐標系，那么 A( .2 , 0, 0) , B(0,、2 , 0),D(0 ,-.2 , 0),一 、22 m匚/2.2 °、S(0, 0,.2 ) , E(-0),F(-, ,0),222242逅、G(0,).2 2設平面EFG的法向量為m= (x , y , z),EF(0,2,0),EC¥，o，¥可得 m= (1, 0, 1),EB 孚，#,。，所以點B到平面EFG的距離為d 1 EB m 1-22，|m|2即直線BD到平面EFG的距離-.2EC攀 $0，d|EC m| 3|m

45、|213.如圖，建立空間直角坐標系D xyz，那么 A(1, 0, 0) , B(1 , 2, 0) , Bi(1, 2, 3) , Di(0,0, 3) , Ci(0, 2,3),設平面 ABiDi 與平面 BDCi 的一個法向量為 m = (x, y, z) , AD1 (1, 0, 3), DB1 = (1 , 2, 0).x 3z 0nt，設 x= 6，貝U y= 3, z= 2,x 2y 0所以 m = (6, 3, 2).平面AB1D1與平面BDC1之間的距離等于點到 B平面AB1D1的距離，AB = (0, 2, 0),所以d 1 AB m 16 .平面ABiDi與平面BDCi之

46、間的距離等于 -|m|7714.解:那么 D(0, 0, 0) , B(2, 4, 0),ni= (x, y, z).A(2, 0, 0) , C(0, 4, 0) , E(2, 4, 1) , Ci(O, 4, 3). 設，F(xiàn)(0, 0, z). AECiF為平行四邊形，- AF ECi , ( 2, 0, z) = ( 2, 0, 2) z= 2. F(0, 0, 2) . BF = ( 2, 4, 2) , | BF | 2 6 .由厲niAEAF0 ,得 4y z 0,02x 2x,設 y= i,貝U x= 4, z= 4 ,0(2) 設ni為平面AECiF的法向量，顯然 ni不垂直于

47、平面 ADF , 所以設又 CCi (0,0,3), d|ni |4-33 C到平面 AECiF的距離為4. 33測試十七角和距離的綜合運算(選學)I 學習目標會建立適當?shù)淖鴺讼堤幚斫嵌群途嚯x的綜合問題.n 根底性訓練解答題1 如圖，長方體 ABCD AiBiCiDi 中，AB= BC = 1 , BBi = 2,連接 BiC,過 B 作 BiC 的垂 線交CCi于E,交BiC于F,(1) 求證：AiC丄平面EBD;(2) 求點A到平面AiBiC的距離：(3) 求直線DE與平面AiBiC所成角的正弦值.2. 四棱錐 P ABCD的底面為直角梯形， AB / DC,/ DAB = 90°

48、;, PA丄底面ABCD , 且 FA = AD = DC = AB i , M 是 PB 的中點。(1) 證明：平面 FAD丄平面PCD ;(2) 求AC與PB所成的角的余弦值；(3) 求平面AMC與平面PMC所成二面角的余弦值.3. 如圖，在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，/ ABC= 90°, AB = BC = BBi= i,點 D 是 AiC 的 中占I 八、(i) 求AiBi與AC所成的角的大小;(2) 求證：BD丄平面ABiC;(3) 求二面角C- ABi- B的余弦值.(2) 求二面角A- AiD B的余弦值;(3) 求點C到平面AiBD的距離.5. 在三棱錐 S

49、 ABC中， ABC是邊長為 4的正三角形，平面 SAC丄平面 ABC, SA= SC(1) 證明：AC丄SB;(2) 求二面角N CM B的余弦值;PB 丄 BC, PD 丄 CD，且等？假設存在，確定點5(3) 求點B到平面CMN的距離.6. 如圖，四棱錐 P ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形, PA= 2, E為PD中點.(1) 求證：PA丄平面(2) 求二面角E AC D的余弦值;(3) 在線段BC上是否存在點F，使得點E到平面PAF的距離為F的位置；假設不存在，請說明理由.測試十七角和距離的綜合運算選學1解：如圖建立空間直角坐標系A xyz.1(1) A(0, 0, 0,

50、) , Ai(0, 0, 2) , E(1, 1 , - )B(1, 0, 0), D(0, 1, 0) , C(1, 1 , 0),21AC (1,1, 2),BE(0,1,2),DE(1,0,二).AC BE 0,AC DE 0,AC BE,ACDE,即 A1C丄BE , A1C丄 DE . BE n DE = E 所以 A1C 丄平面 EBD .2設平面A1B1C的一個法向量為 m = x, y, z,那么，竺mB1C m0，令 z= 1,得 m= (0, 2, 1).2zAA=(0, 0,2),所以，所求的距離為|AA m|m|55.(3)由(2)知，m= (0, 2, 1) . ED1,0,2),設ED與m所成角為，那么 sin|cos m, ED|m ED|m|ED|1所以直線ED與平面A1B1C所成角的正弦值為 一 52.解一：1 / FA 丄底面