初中數(shù)學(xué)_一元一次方程應(yīng)用題分類講評

1、一元一次方程應(yīng)用題分類講評湖北省黃石市下陸中學(xué) 宋毓彬一元一次方程應(yīng)用題是初一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點，也是一個難點。主要困難體現(xiàn)在兩個方面：一是難以從實際問題中找出相等關(guān)系，列出相應(yīng)的方程；二是對數(shù)量關(guān)系稍復(fù)雜的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知數(shù)的式子來表示出這些基本量的相等關(guān)系，導(dǎo)致解題時無從下手。事實上，方程就是一個含未知數(shù)的等式。列方程解應(yīng)用題，就是要將實際問題中的一些數(shù)量關(guān)系用這種含有未知數(shù)的等式的形式表示出來。而在這種等式中的每個式子又都有自身的實際意義，它們分別表示題設(shè)中某一相應(yīng)過程的數(shù)量大小或數(shù)量關(guān)系。由此，解方程應(yīng)用題的關(guān)鍵就是要“抓住基本量，找出相等關(guān)系”。F面就一元一

2、次方程中常見的幾類應(yīng)用題作逐一講評，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考。1.行程問題行程問題中有三個基本量：路程、時間、速度。關(guān)系式為：路程=速度x時間；速路程路程度=邙;時間=丄二?？蓪ふ业南嗟汝P(guān)系有：路程關(guān)系、時間關(guān)系、速度關(guān)系。在不同的問題中，相等關(guān)系是靈活多變的。如相遇問題中多以路程作相等關(guān)系，而對有先后順序的問題卻通常以時間作相等關(guān)系，在航行問題中很多時候還用速度作相等關(guān)系。航行問題是行程問題中的一種特殊情況，其速度在不同的條件下會發(fā)生變化：順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（無風(fēng)）速度+水流速度（風(fēng)速）；逆水（風(fēng)）速度 =靜水（無風(fēng)）速度 -水流速度（風(fēng)速）。由此可得到航行問題中一個重要等量關(guān)系：順?biāo)L(fēng)）速度

3、-水流速度（風(fēng)速）=逆水（風(fēng)）速度 +水流速度（風(fēng)速） =靜水（無風(fēng)）速度。例1 某隊伍450米長，以每分鐘90米速度前進，某人從排尾到排頭取東西后，立即 返回排尾，速度為 3米/秒。問往返共需多少時間？講評：這一問題實際上分為兩個過程： 從排尾到排頭的過程是一個追及過程， 相當(dāng)于 最后一個人追上最前面的人；從排頭回到排尾的過程則是一個相遇過程， 相當(dāng)于從排頭走 到與排尾的人相遇。在追及過程中，設(shè)追及的時間為x秒，隊伍行進（即排頭）速度為90米/分=1.5米/秒, 則排頭行駛的路程為 1.5x米；追及者的速度為 3米/秒，則追及者行駛的路程為 3x米。由 追及問題中的相等關(guān)系“追趕者的路程一被

4、追者的路程=原來相隔的路程”，有：3x1.5x=450/ x=300在相遇過程中，設(shè)相遇的時間為y秒，隊伍和返回的人速度未變，故排尾人行駛的路程為1.5y米，返回者行駛的路程為3y米，由相遇問題中的相等關(guān)系“甲行駛的路程+乙行駛的路程=總路程”有：3y+1.5y=450/ y=100故往返共需的時間為x+y=300+100=400 （秒）例2汽車從A地到B地，若每小時行駛 40km,就要晚到半小時：若每小時行駛45km,就可以早到半小時。求 A、B兩地的距離。講評：先出發(fā)后到、后出發(fā)先到、快者要早到慢者要晚到等問題，我們通常都稱其為“先后問題”。在這類問題中主要考慮時間量，考察兩者的時間關(guān)系，

5、從相隔的時間上找出相等關(guān)系。本題中，設(shè) A B兩地的路程為x km ,速度為40 km/小時，則時間為I為45 km/小時，則時間為二j小時，又早到與晚到之間相隔1小時，故有XU小時；速度x = 360例3 一艘輪船在甲、乙兩地之間行駛，順流航行需 水流速度每小時 2 km。求甲、乙兩地之間的距離。6小時，逆流航行需 8小時，已知講評：設(shè)甲、乙兩地之間的距離為小時，由航行問題中的重要等量關(guān)系有:x km，則順流速度為km/小時，逆流速度為L km/r -2 = 1 +22.工程問題工程問題的基本量有：工作量、工作效率、工作時間。關(guān)系式為：工作量=工作效率工作量工作量X工作時間。工作時間=上 ，

6、工作效率 二二-日。工程問題中，一般常將全部工作量看作整體1如果完成全部工作的時間為t，則工作1效率為一。常見的相等關(guān)系有兩種：如果以工作量作相等關(guān)系，部分工作量之和=總工作量。如果以時間作相等關(guān)系，完成同一工作的時間差=多用的時間。在工程問題中，還要注意有些問題中工作量給出了明確的數(shù)量，這時不能看作整體1，此時工作效率也即工作速度。例4.加工某種工件，甲單獨作要20天完成，乙只要10就能完成任務(wù)，現(xiàn)在要求二人在12天內(nèi)完成任務(wù)。問乙需工作幾天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù)？講評：將全部任務(wù)的工作量看作整體1，由甲、乙單獨完成的時間可知，甲的工作效率丄丄為；），乙的工作效率為il ,設(shè)乙需

7、工作x天，則甲再繼續(xù)加工（12-x）天，乙完成的工込1.2-x 12-x作量為，甲完成的工作量為工，依題意有 + II =1 x =82例5.收割一塊麥地，每小時割 4畝，預(yù)計若干小時割完。收割了 J后,改用新式農(nóng)具 收割，工作效率提高到原來的1.5倍。因此比預(yù)計時間提前 1小時完工。求這塊麥地有多少畝？講評：設(shè)麥地有x畝，即總工作量為 x畝，改用新式工具前工作效率為4畝/小時，割完x畝預(yù)計時間為小時，收割畝工作時間為2 /4= r小時；改用新式工具后，工作11XX-X- X一效率為1.5 X 4=6畝/小時，割完剩下匚 畝時間為-/6= 一一小時，則實際用的時間為（I+二）小時，依題意“比預(yù)

8、計時間提前1小時完工”有 x =36例6. 一水池裝有甲、乙、丙三個水管，加、乙是進水管，丙是排水管，甲單獨開需10小時注滿一池水，乙單獨開需6小時注滿一池水， 丙單獨開15小時放完一池水。 現(xiàn) 在三管齊開，需多少時間注滿水池？丄 丄講評：由題設(shè)可知，甲、乙、丙工作效率分別為ii、 1_=（進水管工作效率看作正數(shù)，排水管效率則記為負(fù)數(shù)），設(shè)X小時可注滿水池，則甲、乙、丙的工作量分別X X孟忑 X X為：丨，、一二，由三水管完成整體工作量1,有：1+，二=1 x = 53. 經(jīng)濟問題與生活、生產(chǎn)實際相關(guān)的經(jīng)濟類應(yīng)用題，是近年中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題中的一個突出類型。經(jīng)濟類問題主要體現(xiàn)為三大類：銷售利潤問題

9、、優(yōu)惠（促銷）問題、存貸問題。這三類 問題的基本量各不相同，在尋找相等關(guān)系時，一定要聯(lián)系實際生活情景去思考，才能更好地理解問題的本質(zhì)，正確列出方程。銷售利潤問題。禾U潤問題中有四個基本量：成本（進價）、銷售價（收入）、禾U潤、利潤率?；娟P(guān)系式有：利潤=銷售價（收入）成本（進價）【成本（進價）=銷售價（收利潤入）一利潤】；利潤率 =1.； 上.【利潤=成本（進價）x利潤率】。在有折扣的銷售問題中，實際銷售價 =標(biāo)價X折扣率。打折問題中常以進價不變作相等關(guān)系。優(yōu)惠（促銷）問題。日常生活中有很多促銷活動，不同的購物（消費）方式可以得到 不同的優(yōu)惠。這類問題中，一般從“什么情況下效果一樣分析起”。并

10、以求得的數(shù)值為基準(zhǔn)，取一個比它大的數(shù)及一個比它小的數(shù)進行檢驗，預(yù)測其變化趨勢。存貸問題。存貸問題與日常生活密切相關(guān)，也是中考命題時最好選取的問題情景之一。存貸問題中有本金、利息、利息稅三個基本量，還有與之相關(guān)的利率、本息和、稅率等量。 其關(guān)系式有：利息=本金X利率X期數(shù)；利息稅 =利息乂稅率；本息和（本利）=本金+利息一利息稅。例7.某商店先在廣州以每件 15元的價格購進某種商品 10件，后來又到深圳以每件12.5 元的價格購進同樣商品 40件。如果商店銷售這種商品時，要獲利12%，那么這種商品的銷售價應(yīng)定多少？講評：設(shè)銷售價每件 x元，銷售收入則為（10+40） x元，而成本（進價）為（5

11、X 10+40 X 12.5 ），利潤率為12%，利潤為（5X 10+40 X 12.5 ）X 12%。由關(guān)系式有（10+40） x（ 5X 10+40X 12.5 ） = （ 5X 10+40X 12.5 ） X 12% x=14.56例8.某種商品因換季準(zhǔn)備打折出售，如果按定價七五折出售，則賠25元，而按定價的九折出售將賺20元。問這種商品的定價是多少？講評：設(shè)定價為x元,七五折售價為75%x,利潤為25元，進價則為75%x （-25） =75% x+25;九折銷售售價為 90%x，利潤為20元，進價為90% x 20。由進價一定，有75 % x+25=90% x 20/ x = 300例

12、9.李勇同學(xué)假期打工收入了一筆工資，他立即存入銀行，存期為半年。整存整取，年利息為2.16 %。取款時扣除20%利息稅。李勇同學(xué)共得到本利504.32元。問半年前李勇同學(xué)共存入多少元？講評：本題中要求的未知數(shù)是本金。設(shè)存入的本金為x元，由年利率為 2.16 %，期數(shù)為0.5年，則利息為0.5 X 2.16 %x，利息稅為20%x 0.5 X 2.16 % x,由存貸問題中關(guān)系式 有 x +0.5 X 2.16 % x 20%X 0.5 X 2.16 %x=504.32 / x = 500例10.某服裝商店出售一種優(yōu)惠購物卡，花200元買這種卡后，憑卡可在這家商店8折購物，什么情況下買卡購物合算

13、？講評：購物優(yōu)惠先考慮“什么情況下情況一樣”。設(shè)購物x元買卡與不買卡效果一樣，買卡花費金額為（200+80% x）元，不買卡花費金額為 x元，故有200+80% x = x/ x = 1000當(dāng)x 1000時，如x=2000 買卡消費的花費為：200+80%X 2000=1800 （元）不買卡花費為：2000 （元）此時買卡購物合算。當(dāng)x V 1000時，如x=800買卡消費的花費為：200+80%X 800=840 （元）不買卡花費為：800 （元）此時買卡不合算。4. 溶液（混合物）問題溶液（混合物）問題有四個基本量：溶質(zhì)（純凈物）、溶劑（雜質(zhì)）、溶液（混合物）、溶質(zhì)濃度（含量）。其關(guān)系式

14、為：溶液 =溶質(zhì)+溶劑（混合物=純凈物+雜質(zhì)）；濃度=M#：x浴質(zhì)純浄物純掙物100% = 溶質(zhì)+溶劑 X 100 %【純度（含量）X 100 % = 純凈物+雜質(zhì) X 100%】；由可得到：溶質(zhì)=濃度X溶液=濃度X （溶質(zhì)+溶劑）。在溶液問題中關(guān)鍵量是 “溶質(zhì)” “溶質(zhì)不變”，混合前溶質(zhì)總量等于混合后的溶質(zhì)量，是很多方程應(yīng)用題中的主要等量關(guān)系。例11.把1000克濃度為80%的酒精配成濃度為 60%的酒精，某同學(xué)未經(jīng)考慮先加了 300 克水。試通過計算說明該同學(xué)加水是否過量？如果加水不過量，則應(yīng)加入濃度為20 %的酒精多少克？如果加水過量，則需再加入濃度為95%的酒精多少克？講評：溶液問題中

15、濃度的變化有稀釋（通過加溶劑或濃度低的溶液，將濃度高的溶液的濃度降低）、濃化（通過蒸發(fā)溶劑、加溶質(zhì)、加濃度高的溶液，將低濃度溶液的濃度提高） 兩種情況。在濃度變化過程中主要要抓住溶質(zhì)、溶劑兩個關(guān)鍵量，并結(jié)合有關(guān)公式進行分析，就不難找到相等關(guān)系，從而列出方程。本題中，加水前，原溶液 1000克，濃度為80%，溶質(zhì)（純酒精）為 1000X 80%克； 設(shè)加x克水后，濃度為60%，此時溶液變?yōu)椋?000+x ）克，則溶質(zhì)（純酒精）為（1000+x） X 60 %克。由加水前后溶質(zhì)未變，有（ 1000+x）x 60% =1000 X 80%1000 x = 300該同學(xué)加水未過量。設(shè)應(yīng)加入濃度為 20

16、%的酒精y克，此時總?cè)芤簽椋?000+300+y ）克，濃度為60%，溶質(zhì) （純酒精）為（1000+300+y）X 60%;原兩種溶液的濃度分別為 1000X 80%、20%y,由混合前后溶質(zhì)量不變，有（1000+300+y ）X 60% =1000 X 80% +20% y=505. 數(shù)字問題數(shù)字問題是常見的數(shù)學(xué)問題。一元一次方程應(yīng)用題中的數(shù)字問題多是整數(shù)，要注意數(shù)位、數(shù)位上的數(shù)字、數(shù)值三者間的關(guān)系：任何數(shù)=刀（數(shù)位上的數(shù)字X位權(quán)），如兩位數(shù)丄.=10a+b; 三位數(shù) J=100a+10b+c。在求解數(shù)字問題時要注意整體設(shè)元思想的運用。例12. 一個三位數(shù)，三個數(shù)位上的和是17,百位上的數(shù)比

17、十位上的數(shù)大7,個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的 3倍。求這個數(shù)。講評：設(shè)這個數(shù)十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為 3x，百位上的數(shù)字為（x+7）,這個三位數(shù)則為 100 （x+7） +10x+3x。依題意有（x+7） +x+3x=17 x=2 100 （ x+7） +10x+3x=900+20+6=926例13. 一個六位數(shù)的最高位上的數(shù)字是1，如果把這個數(shù)字移到個位數(shù)的右邊，那么所得的數(shù)等于原數(shù)的3倍，求原數(shù)。講評：這個六位數(shù)最高位上的數(shù)移到個位后，后五位數(shù)則相應(yīng)整體前移1位，即每個數(shù)位上的數(shù)字被擴大10倍，可將后五位數(shù)看成一個整體設(shè)未知數(shù)。設(shè)除去最高位上數(shù)字1后的5位數(shù)為x，則原數(shù)為10-+X,

18、移動后的數(shù)為10x+1，依題意有10x+仁10 一 +x x = 42857則原數(shù)為1428576. 調(diào)配（分配）與比例問題調(diào)配與比例問題在日常生活中十分常見，比如合理安排工人生產(chǎn)，按比例選取工程材料，調(diào)劑人數(shù)或貨物等。調(diào)配問題中關(guān)鍵是要認(rèn)識清楚部分量、總量以及兩者之間的關(guān)系。在調(diào)配問題中主要考慮“總量不變”；而在比例問題中則主要考慮總量與部分量之間的關(guān)系，或是量與量之間的比例關(guān)系。例14.甲、乙兩書架各有若干本書，如果從乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上的書比乙架上所剩的書多 5倍，如果從甲架上拿100本書放到乙架上，兩架所有書相等。問原來 每架上各有多少書？講評：本題難點是正確設(shè)未知數(shù)，

19、并用含未知數(shù)的代數(shù)式將另一書架上書的本數(shù)表示出來。在調(diào)配問題中，調(diào)配后數(shù)量相等，即將原來多的一方多出的數(shù)量進行平分。由題設(shè)中“從甲書架拿100本書到乙書架，兩架書相等”，可知甲書架原有的書比乙書架上原有的書 多200本。故設(shè)乙架原有 x本書，則甲架原有（x+200）本書。從乙架拿100本放到甲架上， 乙架剩下的書為（x 100）本，甲架書變?yōu)椋▁+200） +100本。又甲架的書比乙架多 5倍， 即是乙架的六倍，有（x+200） +100=6 （x 100） x=180 x+200=380例15.教室內(nèi)共有燈管和吊扇總數(shù)為13個。已知每條拉線管 3個燈管或2個吊扇，共有這樣的拉線5條，求室內(nèi)燈

20、管有多少個？講評：這是一道對開關(guān)拉線的 分配問題。設(shè)燈管有x支，則吊扇有（13x ）個，燈管拉線為匚條，吊扇拉線為2 條，依題意“共有5條拉線”，有 匚+ 1=5A x=9例16.某車間22名工人參加生產(chǎn)一種螺母和螺絲。每人每天平均生產(chǎn)螺絲120個或螺母200個，一個螺絲要配兩個螺母，應(yīng)分配多少名工人生產(chǎn)螺絲，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好配套？講評：產(chǎn)品配套（工人調(diào)配）問題 ，要根據(jù)產(chǎn)品的配套關(guān)系（比例關(guān)系）正確地找到它們間得數(shù)量關(guān)系，并依此作相等關(guān)系列出方程。本題中，設(shè)有x名工人生產(chǎn)螺母，生產(chǎn)螺母的個數(shù)為200x個，則有（22 x）人生產(chǎn)螺絲，生產(chǎn)螺絲的個數(shù)為120 （22

21、x）個。由“一個螺絲要配兩個螺母”即“螺母的個數(shù)是螺絲個數(shù)的2倍”，有 200x=2 X 120 （22 x） x=1222 x=10例17.地板磚廠的坯料由白土、沙土、石膏、水按25 : 2 : 1 : 6的比例配制攪拌而成?，F(xiàn)已將前三種料稱好，公5600千克，應(yīng)加多少千克的水?dāng)嚢瑁壳叭N料各稱了多少千克？講評：解決比例問題的一般方法是：按比例設(shè)未知數(shù)，并根據(jù)題設(shè)中的相等關(guān)系列出方 程進行求解。本題中，由四種坯料比例25 : 2 : 1 : 6,設(shè)四種坯料分別為25x、2x、x、6x千克，由前三種坯料共 5600千克，有25x+2x+x=5600x=200 25x=50002x=400 x=

22、200 6x=1200例18.蘋果若干個分給小朋友，每人m個余14個，每人9個，則最后一人得6個。問小朋友有幾人？講評：這是一個分配問題。設(shè)小朋友x人，每人分m個蘋果余14個，蘋果總數(shù)為mx+14, 每人9個蘋果最后一人6個，則蘋果總數(shù)為 9 (x1) +6。蘋果總數(shù)不變，有17mx+14= 9 (x 1) + 6x=： - 二 /x、m均為整數(shù) / 9 m=1x=17例19.出口 1噸豬肉可以換5噸鋼材，7噸豬肉價格與4噸砂糖的價格相等， 現(xiàn)有288噸砂 糖，把這些砂糖出口，可換回多少噸鋼材？講評：本題可轉(zhuǎn)換成一個 比例問題。由豬肉：鋼材=1 : 5,豬肉：砂糖=7 : 4,得豬肉： 鋼材：

23、砂糖=7 : 35 : 4,設(shè)可換回鋼材 x噸，則有 x : 288=35 : 4 x=26207. 需設(shè)中間(間接)未知數(shù)求解的問題一些應(yīng)用題中，設(shè)直接未知數(shù)很難列出方程求解，而根據(jù)題中條件設(shè)間接未知數(shù)，卻較容易列出方程，再通過中間未知數(shù)求出結(jié)果。例20.甲、乙、丙、丁四個數(shù)的和是43,甲數(shù)的2倍加8,乙數(shù)的3倍，丙數(shù)的4倍，丁數(shù)的5倍減去4,得到的4個數(shù)卻相等。求甲、乙、丙、丁四個數(shù)。講評：本題中要求4個量，在后面可用方程組求解。若用一元一次方程求解，如果設(shè)某 個數(shù)為未知數(shù)，其余的數(shù)用未知數(shù)表示很麻煩。這里由甲、乙、丙、丁變化后得到的數(shù)相等，X-8x + 4故設(shè)這個相等的數(shù)為 x，則甲數(shù)為2，乙數(shù)為匚，丙數(shù)為，丁數(shù)為5 ，由四個數(shù)x-8 x x + 4的和是43,有1+_-+ +5=43 x = 36x-8込Xx + 41=14J =12- =95 =8例21.某縣中學(xué)生足球聯(lián)賽共賽10輪(即每隊均需比賽 10場)，其中勝1場得3分，平1場得1分，負(fù)1場得0分。向明中學(xué)足球隊在這次聯(lián)賽中所負(fù)場數(shù)比平場數(shù)少3場，結(jié)果公得19分。向明中學(xué)在這次聯(lián)賽中勝了多少場？講評：本題中若直接將勝的場次設(shè)為未知數(shù)，無法用未知數(shù)的式子表示出負(fù)的場數(shù)和平的場數(shù)，但設(shè)平或負(fù)的場數(shù)，則可表示出勝的場數(shù)。 故設(shè)平x場，則負(fù)x 3場，勝10 (x+