【學(xué)生講義】巧解外接球問題

1、快速解決巧解外接球問題如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體,這個(gè)球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球 的問題,是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn),也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn).考查學(xué)生的空間想象水平 以及化歸水平.研究多面體的 外接球問題,既要運(yùn)用多面體的知識(shí),又要運(yùn)用球的知識(shí),并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系,而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會(huì)起到至關(guān)重要的作用一、直接法公式法1、求正方體的外接球的有關(guān)問題【例1】上海中學(xué)假設(shè)棱長為 3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,那么該球的外表積為【例2】交大附中一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上,假設(shè)該正

2、方體的外表積為24 ,那么該球的體積為.2、求長方體的外接球的有關(guān)問題【例3】復(fù)興高級(jí)中學(xué)一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上,且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長分別為1,2,3 ,那么此球的外表積為 .【例4】七寶中學(xué)各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4,體積為16,那么這個(gè)球的外表積為A. 16B. 20C. 24D. 323.求多面體的外接球的有關(guān)問題【例5】上海實(shí)驗(yàn)中學(xué)一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形,其側(cè)棱垂直于底面,該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,且該六棱柱的體積為8 ,底面周長為3,那么這個(gè)球的體積為二、構(gòu)造法補(bǔ)形法1、構(gòu)造正方體【例6】2022年上海高考題假設(shè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且側(cè)棱長均為那

3、么其外接球的外表積是【例71上海中學(xué) 假設(shè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直,且側(cè)棱長均為那么其外接球的外表積是一般地,假設(shè)一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且其長度分別為a、b、C ,那么就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體,于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑2.22為R,那么有2RJab c出現(xiàn)墻角結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí),聯(lián)系長方體.【原理】長方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為,那么體對角線長為幾何體的外接球直徑為【例8】：在四面體0口2R體對角線長,即中,共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直,其長度分別為,假設(shè)該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,求這個(gè)球的外表積.【例9】建平中學(xué)一個(gè)四面體的所

4、有棱長都為J2,四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上,那么此球的外表積為A. 3DABB. 43、3C.D. 6【例10】華二附中在等腰梯形 ABCD中,AB=2DC=2 , DAB=60,E為AB的中點(diǎn),將ADE與BEC分布沿ED、EC向上折起,使A、B重合于點(diǎn)P ,那么三棱錐P-DCE的外接球的體積為4,3A.方,6B. 2C. 86D. 24D假設(shè)該方法的實(shí)質(zhì)圖3AB BC【例11交大附中球 O的面上四點(diǎn) A、B、C、da=ab=bc= 73,那么球o的體積等于四.尋求軸截面圓半徑法圖5【例14】西南位育中學(xué)正四棱錐S ABCD 的底面邊長和各側(cè)棱長都為寸2 ,點(diǎn)S、A、B、C、D都在同一球面上,那么此

5、球的體積【小結(jié)】 根據(jù)題意,我們可以選擇最正確角度找出含有正棱錐特征元 素的外接球的一個(gè)軸截面圓,于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑 此題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法,就是通過尋找外接球的一個(gè)軸截面圓,從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾 何問題來研究.這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí)五.確定球心位置法【例15】上海第二中學(xué)在矩形 ABCD中,AB 4, BC 3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B ACD ,那么四面體ABCD的外接球的體積為125125A.而B.V125125C.至D.W【原理】：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半.球心為直角三角形斜邊中點(diǎn)【例16復(fù)旦附中三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球-S"7,P* $,1 -. 1 u ,求球Q的體積【總結(jié)】斜邊