圓壓軸八大模型題-圓內(nèi)接等邊三角形

1、圓壓軸題八大模型題(四)瀘州市七中佳德學(xué)校 易建洪引言：與圓有關(guān)的證實(shí)與計(jì)算的綜合解做題,往往位于許多省市中考題中的倒數(shù)第二題的位置上,是試卷中綜合性與難度都比擬大的習(xí)題.一般都是在固定習(xí)題模型的根底上變化與括展,本文結(jié)合近年來各省市中考題,整理了這些習(xí)題的常見的結(jié)論,破題的要點(diǎn), 常用 技巧.把握了這些方法與技巧,就能臺(tái)階性幫助考生解決問題.類型4圓內(nèi)接等邊三角形如圖,點(diǎn)P為等邊 ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn).(1)求證：PA= PB+ PC;(2)設(shè)PA、BC交于點(diǎn)M,假設(shè)BP= 4, PC= 2,求CM的長(zhǎng)度. 假設(shè)AB= 4, PC= 2,求CM的長(zhǎng)度.【分析】 證實(shí)：連結(jié) CD .在P

2、A上截取PD=PC ,證得 ACD 9& BCP ,AD=PB ,又 DP=PC ,因此 PA=PB+PC.(2).O中 ABMACPM,PC 也 1 ,上世AB MA 2 AB MA設(shè) MC=x 貝U AM=2x,MN=2-x,又 AN=2.3 ,在RtAAMNJ,由勾股定理得 CM=x= 2 2后3圖(1)圖(2)(1)可得 AP=BP+CP=4+2=6,Rn PCE(2)過點(diǎn)C作C已AP于E,過點(diǎn)A作AN! BC于點(diǎn)N.由中 PE=1,CE=y3 ,那么 AE=5,AC=2",因此 AB=AC=2",由(2)可得 CM=R73【典例】(2022 湖南常德)如圖

3、,. O是等邊三角形 ABC的外接圓,點(diǎn) D在圓上,在CD的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn) F,使DF= DA, AE/ BC交CF于E.(1)求證：EA是.的切線；(2)求證：BD= CF.【分析】(1)連結(jié)OA后,由/ OAC= 30°, BC/ AE得 /CAE= / BCA= 60°,因此/ OAE= 90°證彳導(dǎo) AE 是.O 的切線.(2) / ADF= / ABC= 60°,且 DF= DA 得等邊 ADF,且 ABC也是等邊三角形,可得 ADB0 AFQ 因此BD= CF.【解答】證實(shí)：(1)連接OD,. O O是等邊三角形 ABC的外接圓, ./ OA

4、C= 30° , / BCA= 60° , AE/ BC,EAC= / BCA= 60° ,/OAE= / OAC+ Z EAC= 30° +60° =90° , .AE是O O的切線；圖4-1圖a(2) .ABC 是等邊三角形,AB=AC, / BAC= Z ABC= 60° ,. A、B、C、D 四點(diǎn)共圓,.ADF= Z ABC= 60° ,. AD=DF, ADF是等邊三角形,AD= AF, / DAF= 60° , / BAO / CAD= / DAF+ / CAD,即/ BAF= / CAF在

5、8人口和4 CAF中,AB=AC ZBAD=ZCAf, BA4 CAF,AD=AF.BD=CF.【點(diǎn)撥】等邊三角形的邊等角等易構(gòu)造三角形全等和相似, 的連線之間的關(guān)系探究,可以運(yùn)用延長(zhǎng)法與截短法；含 借相交弦或平行線得三角形相似,作等邊三角形的高,是關(guān)鍵.圓上一點(diǎn)與圓內(nèi)接等邊三角形三頂點(diǎn)60°角三角形,知兩邊求第三邊；借比例線段和勾股定理建方程求線段【變式運(yùn)用】1. 2022 瀘州如圖,點(diǎn) P為等邊4ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn).(1)求/BPC的度數(shù)；(2)求證：PA= PB+ PC;(3)設(shè)PA BC交于點(diǎn) M,假設(shè)AB= 4, PC= 2,求CM的長(zhǎng)度.(1)解：: ABC 為等

6、邊三角形,./ BAC = 60°, 點(diǎn)P為等邊 ABC外接圓劣弧 BC上一點(diǎn), 四邊形ABPC是圓的內(nèi)接四邊形 ./ BPC+/ BAC=180°, . BPC=120°,(2)證實(shí)：連結(jié) CD.在PA上截取 PD = PC, . AB=AC=BC, ./ APB = /APC = 60°, .PCD為等邊三角形, ./ PCD =/ACB = 60°, CP=CD, / PCD / DCM =/ ACB / DCM ,即/ ACD =/ BCP , 在AACD和 BCP中,AC BCACD BCP,: ACD BCP ,CP CD .AD

7、= PB,PA = AD+ DP , DP=PC, .PA = PB+ PC; 3)解：: PCD和AABC都為等邊三角形, ./MDC =/ACM = 60 °, CD = PC,又DMC =/ CMA, .CDM ACM, AB = 4, PC=2, .CM: AM = DM : MC = DC: AC = PC : AC=2: 4=1: 2, 設(shè) DM=x,那么 CM = 2x, BM = 4 2x, PM =2 x,AM = 4x, AD=AM DM =4x x=3xBMP = / CMA , / PBM = / CAM , ABPMA ACM , .BP: AC=PM: C

8、M,即 3x: 4= (2 x) : 2x,解得x= 1 屈(舍去負(fù)號(hào)),那么x=1 瓦,.CM :2 2 后33圖4-22.如圖, AD是4ABC外角/ EAC的平分線,交 的外接圓于點(diǎn)F,連結(jié)FR FC.(1)求證：FB= FC;(2) FB2= FA- FD;(3)假設(shè)AB是 ABC的外接圓的直徑,/ EAC= 120° , BC= 6cm,求 AD 的長(zhǎng).BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D,延長(zhǎng)DA交 ABC證實(shí)：(1) AD 平分/ EAC,3EAD = Z DAC. 四邊形AFBC內(nèi)接于圓,DAC = Z FBC. . / EAD = Z FAB = Z FCB, ./ FBC = Z

9、 FCB,.FB = FC.(2) . / FAB = Z FCB = Z FBC, Z AFB = Z BFD, . FBAs FDB,里生FD FB.FB2=FA - FD.(3)解：: AB是圓的直徑, ./ACB=90° . . / EAC=120° ,圖4-3 ./ DAC= 1Z EAC = 60° .2 四邊形ACBF內(nèi)接于圓, .Z DAC = Z FBC = 60° ,又 FB=FC, . BFC 是等邊三角形,/ BAC=/BFC = 60° ,.Z D=30° . BC=6, AC=2V3 ,.AD = 2AC=

10、4 V3 .3. (2022 德陽)如圖,點(diǎn)D是等邊三角形 ABC外接圓上一點(diǎn).M是BD上一點(diǎn),且滿足DM = DC,點(diǎn)E是AC與BD的交點(diǎn).(1)求證：CM/ AD;(2)如果AD=1, CM=2.求線段BD的長(zhǎng)及 BCE的面積.解：(1) ABC是正三角形,AB= BC, ./ ADB= / BDC= 60° , 又.DM=DC,CDM是等邊三角形,即 DM = CM=CD, ,/DMC=60° ,ADB= /DMC=60° ,.CM / AD ；(2) . / DAC= / DBC, /BMC=/ADC= 120° , 而 AC= BC,AD8 BMC,BM = AD=1,.BD=BM+ MD= 1 + 2 = 3由(1)可得,AD AECM CEAD® CME,而 AD= 1 , CM=2,DE 1ME 2又 MD =2, DE= 2, ME =4, 33,. A|=1,且點(diǎn) E在線段 AC上,AE=TAC,CE 23. / BAC= / BDC= 60° , /ABD= / ACD,cDC ECABE DCE =, 'AB BE,2AB-AC 3_ 1