數(shù)學(xué)建模作業(yè)2

1、正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)摘要早在第一次世界大戰(zhàn)期間，F(xiàn). W. Lanchester就提出了幾個預(yù)測戰(zhàn)爭結(jié)局的數(shù)學(xué)模型。正規(guī)戰(zhàn)爭模型便是其中的一種。本題運(yùn)用函數(shù)積分等方法來對于雙方都是采用正規(guī)部隊作戰(zhàn)方式進(jìn)行分析。第一問中甲方士兵人數(shù)減少了ay，同理，甲方可以將乙方士兵殺死，乙方人數(shù)減少了bx。在此條件下分析只考慮減員率，哪一方剩余人數(shù)多或者說哪一方殺死的人多即獲得勝利。第二問即在雙方在戰(zhàn)爭時，甲方在戰(zhàn)斗開始有后備部隊來增援，雖然有士兵戰(zhàn)死，但與此同時有相應(yīng)的士兵替補(bǔ)，在后備部隊以r的速率增加士兵時，根據(jù)一般戰(zhàn)爭模型列出微分方程，最終可求出甲乙雙方某時刻剩余的士兵數(shù)，通過比較士兵數(shù)量來推算出最后哪一方將

2、會獲得勝利。關(guān)鍵詞: 一般戰(zhàn)爭模型 正規(guī)部隊 減員率一、 問題重述甲乙雙方進(jìn)行戰(zhàn)爭，用建模的思路和方法來判斷整個戰(zhàn)爭的結(jié)局。二、問題假設(shè)一般戰(zhàn)爭模型 用x(t)和y(t)表示甲乙交戰(zhàn)雙方時刻t的兵力，不妨視為雙方的士兵人數(shù)，假設(shè)：1、 每一方的戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力，甲乙方的戰(zhàn)斗減員率分別用f(x,y)和g(x,y)表示。2、 每一方的非戰(zhàn)斗減員率（由疾病、逃跑等因素引起）只與本方的兵力成正比。3、 甲乙雙方的增援率是給定的函數(shù)，分別用u(t)和v(t)表示。由此可以寫出關(guān)于x(t),y(t)的微分方程為X(t) = -f(x,y) mx +u(t), m>0y(t) = -

3、g(x,y) nx +v(t),n>0（1）4、 1）忽略非戰(zhàn)斗減員情況2）忽略由于生病或其他情況引起的人員減少3）忽略交戰(zhàn)雙方的政治、經(jīng)濟(jì)、社會等因素三、問題分析甲乙雙方都用正規(guī)部隊作戰(zhàn)，我們只需分析甲方的戰(zhàn)斗減員率f(x,y)。甲方士兵公開活動，處于乙方每一個士兵的監(jiān)視和殺傷范圍之內(nèi)，一旦甲方某個士兵被殺傷，乙方的火力立即集中在其余士兵，所以甲方的戰(zhàn)斗減員率只與乙方兵力有關(guān)，可以簡單地設(shè)f與y成正比，即f=ay.a表示乙方平均每個士兵對甲方士兵的殺傷率（單位時間的殺傷數(shù)），稱乙方的戰(zhàn)斗有效系數(shù)。a可以進(jìn)一步分解為a=rypy，其中ry是乙方的射擊率（每個士兵單位時間的射擊次數(shù)），py

4、是每次射擊的命中率。類似地，有g(shù)=bx,且甲方的戰(zhàn)斗有效系數(shù)b=rxpx,rx和px是甲方的射擊率和命中率，于是，在這個模型中方程（1）化為X = -ay mx + u(t)y = -bx ny + v(t)（2）在分析戰(zhàn)爭結(jié)局時忽略非戰(zhàn)斗員一項（與戰(zhàn)斗減員相比，這項很?。?，并且假設(shè)雙方都沒有增援，記雙方的初始兵力分別是x0和y0，方程（2）簡化為X = -ayY = -bx（3）X(0) = x0, y(0) = y0由方程（3）可知，雙方兵力x(t),y(t)都是單調(diào)減函數(shù)，不妨認(rèn)為兵力先減至0的一方為負(fù)方。為了得到雙方勝負(fù)的條件，不必直接求解方程（3），而在相平面上討論相軌線的變化規(guī)律。

5、由方程（3）可得dydx=bxay （4）其解為ay2 bx2 = k（5）注意到方程（3）的初始條件，有k=ay02-bx02（6）如果k>0,軌線將與y軸相交。就是說存在某時刻t1,使x(t1)=0,y(t1)=ka>0,即當(dāng)甲兵力為0時乙方兵力為正值，表明乙方獲勝。同理可知，當(dāng)k<0時甲方獲勝，而當(dāng)k=0時雙方平戰(zhàn)。進(jìn)一步分析某一方比如乙方取勝的條件，由（6）式并注意到a,b的含義，乙方獲勝的條件可表示為：（y0x0）2>ba = rxpxrypy（7）所要解決的問題：可以說明，雙方初始兵力之比y0/x0以平方關(guān)系影響著戰(zhàn)爭的結(jié)局。現(xiàn)設(shè)乙方與甲方的戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比

6、a/b=4，初始兵力x0,y0相同。（1） 問乙方取得勝時剩余兵力是多少，乙方取得的勝利如何確定？（2） 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率r增援，重新建立模型，討論如何判斷雙方的勝負(fù)？四、模型的建立與求解針對第一問，可根據(jù)題意，甲方減少人數(shù)為ay,乙方減少人數(shù)為bx，甲方初始人數(shù)為x0，乙方初始人數(shù)為y0,用x(t)，y(t)表示在t時刻交戰(zhàn)時甲乙雙方的人數(shù)，可得：dxdt=-aydydt=-bxX(0)=x0,y(0)=y0求得乙方取勝時的剩余兵力為：Y(t1) = ay02-bx02a = 32y0乙方取勝時間t1,需求解方程（3），解得X(t)=x0-y0abeabt+x0+y0

7、abe-abt/2令 x(t1)=0, a/b=4, 解得t1=In34b針對第二問，因?yàn)榧追接性鲈?，且以r的速率增加，列出相應(yīng)方程如下：dxdt=-ay+rdydt=-bxX(0)=x0,y(0)=y0由此可得dxdy=-ay+r-bx,即bxdx=aydy-rdy,通過積分可得相軌線為ay2-2ry-bx2 = k, ay02-2ry-bx02 = k將此方程化為a(y-ra)2-bx2-r*ra = k乙方取得勝利的條件為k>0,即a(y-ra)2 - bx2-r*r a > 0五、模型的推廣與評價5.1、模型優(yōu)點(diǎn)該模型可以簡單方便的反應(yīng)在正規(guī)作戰(zhàn)情況下，忽略其他次要因素來判斷作戰(zhàn)雙方誰會獲得勝利。5.2、模型缺點(diǎn)該模型僅適用于正規(guī)作戰(zhàn)，但實(shí)際生活中往往不是如此，很多其他因素會不可避免的影響作戰(zhàn)情況，也不一定雙