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文檔簡介
1、正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)摘要早在第一次世界大戰(zhàn)期間,F(xiàn). W. Lanchester就提出了幾個預測戰(zhàn)爭結(jié)局的數(shù)學模型。正規(guī)戰(zhàn)爭模型便是其中的一種。本題運用函數(shù)積分等方法來對于雙方都是采用正規(guī)部隊作戰(zhàn)方式進行分析。第一問中甲方士兵人數(shù)減少了ay,同理,甲方可以將乙方士兵殺死,乙方人數(shù)減少了bx。在此條件下分析只考慮減員率,哪一方剩余人數(shù)多或者說哪一方殺死的人多即獲得勝利。第二問即在雙方在戰(zhàn)爭時,甲方在戰(zhàn)斗開始有后備部隊來增援,雖然有士兵戰(zhàn)死,但與此同時有相應的士兵替補,在后備部隊以r的速率增加士兵時,根據(jù)一般戰(zhàn)爭模型列出微分方程,最終可求出甲乙雙方某時刻剩余的士兵數(shù),通過比較士兵數(shù)量來推算出最后哪一方將
2、會獲得勝利。關(guān)鍵詞: 一般戰(zhàn)爭模型 正規(guī)部隊 減員率一、 問題重述甲乙雙方進行戰(zhàn)爭,用建模的思路和方法來判斷整個戰(zhàn)爭的結(jié)局。二、問題假設(shè)一般戰(zhàn)爭模型 用x(t)和y(t)表示甲乙交戰(zhàn)雙方時刻t的兵力,不妨視為雙方的士兵人數(shù),假設(shè):1、 每一方的戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力,甲乙方的戰(zhàn)斗減員率分別用f(x,y)和g(x,y)表示。2、 每一方的非戰(zhàn)斗減員率(由疾病、逃跑等因素引起)只與本方的兵力成正比。3、 甲乙雙方的增援率是給定的函數(shù),分別用u(t)和v(t)表示。由此可以寫出關(guān)于x(t),y(t)的微分方程為X(t) = -f(x,y) mx +u(t), m>0y(t) = -
3、g(x,y) nx +v(t),n>0(1)4、 1)忽略非戰(zhàn)斗減員情況2)忽略由于生病或其他情況引起的人員減少3)忽略交戰(zhàn)雙方的政治、經(jīng)濟、社會等因素三、問題分析甲乙雙方都用正規(guī)部隊作戰(zhàn),我們只需分析甲方的戰(zhàn)斗減員率f(x,y)。甲方士兵公開活動,處于乙方每一個士兵的監(jiān)視和殺傷范圍之內(nèi),一旦甲方某個士兵被殺傷,乙方的火力立即集中在其余士兵,所以甲方的戰(zhàn)斗減員率只與乙方兵力有關(guān),可以簡單地設(shè)f與y成正比,即f=ay.a表示乙方平均每個士兵對甲方士兵的殺傷率(單位時間的殺傷數(shù)),稱乙方的戰(zhàn)斗有效系數(shù)。a可以進一步分解為a=rypy,其中ry是乙方的射擊率(每個士兵單位時間的射擊次數(shù)),py
4、是每次射擊的命中率。類似地,有g(shù)=bx,且甲方的戰(zhàn)斗有效系數(shù)b=rxpx,rx和px是甲方的射擊率和命中率,于是,在這個模型中方程(1)化為X = -ay mx + u(t)y = -bx ny + v(t)(2)在分析戰(zhàn)爭結(jié)局時忽略非戰(zhàn)斗員一項(與戰(zhàn)斗減員相比,這項很?。?,并且假設(shè)雙方都沒有增援,記雙方的初始兵力分別是x0和y0,方程(2)簡化為X = -ayY = -bx(3)X(0) = x0, y(0) = y0由方程(3)可知,雙方兵力x(t),y(t)都是單調(diào)減函數(shù),不妨認為兵力先減至0的一方為負方。為了得到雙方勝負的條件,不必直接求解方程(3),而在相平面上討論相軌線的變化規(guī)律。
5、由方程(3)可得dydx=bxay (4)其解為ay2 bx2 = k(5)注意到方程(3)的初始條件,有k=ay02-bx02(6)如果k>0,軌線將與y軸相交。就是說存在某時刻t1,使x(t1)=0,y(t1)=ka>0,即當甲兵力為0時乙方兵力為正值,表明乙方獲勝。同理可知,當k<0時甲方獲勝,而當k=0時雙方平戰(zhàn)。進一步分析某一方比如乙方取勝的條件,由(6)式并注意到a,b的含義,乙方獲勝的條件可表示為:(y0x0)2>ba = rxpxrypy(7)所要解決的問題:可以說明,雙方初始兵力之比y0/x0以平方關(guān)系影響著戰(zhàn)爭的結(jié)局?,F(xiàn)設(shè)乙方與甲方的戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比
6、a/b=4,初始兵力x0,y0相同。(1) 問乙方取得勝時剩余兵力是多少,乙方取得的勝利如何確定?(2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊以不變的速率r增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負?四、模型的建立與求解針對第一問,可根據(jù)題意,甲方減少人數(shù)為ay,乙方減少人數(shù)為bx,甲方初始人數(shù)為x0,乙方初始人數(shù)為y0,用x(t),y(t)表示在t時刻交戰(zhàn)時甲乙雙方的人數(shù),可得:dxdt=-aydydt=-bxX(0)=x0,y(0)=y0求得乙方取勝時的剩余兵力為:Y(t1) = ay02-bx02a = 32y0乙方取勝時間t1,需求解方程(3),解得X(t)=x0-y0abeabt+x0+y0
7、abe-abt/2令 x(t1)=0, a/b=4, 解得t1=In34b針對第二問,因為甲方有增援,且以r的速率增加,列出相應方程如下:dxdt=-ay+rdydt=-bxX(0)=x0,y(0)=y0由此可得dxdy=-ay+r-bx,即bxdx=aydy-rdy,通過積分可得相軌線為ay2-2ry-bx2 = k, ay02-2ry-bx02 = k將此方程化為a(y-ra)2-bx2-r*ra = k乙方取得勝利的條件為k>0,即a(y-ra)2 - bx2-r*r a > 0五、模型的推廣與評價5.1、模型優(yōu)點該模型可以簡單方便的反應在正規(guī)作戰(zhàn)情況下,忽略其他次要因素來判斷作戰(zhàn)雙方誰會獲得勝利。5.2、模型缺點該模型僅適用于正規(guī)作戰(zhàn),但實際生活中往往不是如此,很多其他因素會不可避免的影響作戰(zhàn)情況,也不一定雙
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