第8章靜電場中的導體與電介質(zhì)

1、第八章 靜電場中的導體與電介質(zhì) 問題8-1有人說：某一高壓輸電線的電壓有500kV，因此你不可與之接觸”。這句話 是對還是不對？維修工人在高壓輸電線路上是如何工作的？解這種說法不正確，可以利用空腔導體的靜電屏蔽原理，使維修工人穿上導電性 能良好的屏蔽服，電場不會深入到人體，從而可以保證維修工人的安全。8-2將一個帶電小金屬球與一個不帶電的大金屬球相接觸，小球上的電荷會全部 轉移到大球上去嗎？解不會。帶電小金屬球與不帶電的大金屬球相接觸后會達到靜電平衡，內(nèi)部電場 強度為零。若小球上的電荷全部轉移到大球上去，則兩球組成的整體內(nèi)部電場強 度不可能為零。8-3在高壓電器設備周圍，常圍上一接地的金屬柵網(wǎng)

2、，以保證柵網(wǎng)外的人安全， 試說明其道理。解這是利用空腔導體的靜電屏蔽作用。金屬柵網(wǎng)就是一個金屬殼體，將柵網(wǎng)接 地，柵網(wǎng)外部將不受柵網(wǎng)內(nèi)部電場的影響。8-4在絕緣支柱上放置一閉和的金屬球殼，球殼內(nèi)有一人，當球殼帶電并且電荷 越來越多時，他觀察到的球殼表面的電荷面密度、球殼內(nèi)的場強是怎樣的？當一 個帶有跟球殼相異電荷的巨大帶電體移近球殼時，此人又將觀察到什么現(xiàn)象？此 人處在球殼內(nèi)是否安全？解帶電金屬球殼由于靜電平衡，電荷分布于球殼表面，當電荷越多，球殼表面的 電荷面密度增大，球殼內(nèi)場強為零。當帶有異號電荷的巨大帶電體移近球殼時， 會發(fā)生放電現(xiàn)象，由于靜電屏蔽作用，球殼空間電場不受外部空間場強的影響

3、， 所以人處于球殼內(nèi)不會有危險。8-5電介質(zhì)的極化現(xiàn)象和導體的靜電感應現(xiàn)象有些什么區(qū)別？ 解導體的靜電感應現(xiàn)象是在外電場作用下導體中的自由電荷作定向運動而使自由 電荷重新分布；電介質(zhì)的極化現(xiàn)象是在外電場的作用下介質(zhì)表面產(chǎn)生極化電荷。 二者有著實質(zhì)的區(qū)別，靜電感應所產(chǎn)生的電荷是導體內(nèi)部的自由電荷，而極化現(xiàn) 象中出現(xiàn)在介質(zhì)表面上的電荷則是束縛電荷；而且它們形成的方式也不同，靜電 感應是導體內(nèi)部自由電荷的運動，而極化實質(zhì)是電介質(zhì)內(nèi)部電偶極矩的產(chǎn)生。8-6在下列情況下，平行平板電容器的電勢差、電荷、電場強度和所貯的能量將 如何變化。（1）斷開電源，并使極板間距加倍，此時極板間為真空；（2）斷開電源，并

4、使極板間充滿相對電容率 & r=2.5勺油；（3）保持電源與電容器兩極相 連，使極板間距加倍，此時極板間為真空；（4）保持電源與電容器兩極相連， 使極板間充滿相對電容率£ r=2.的油。解設最初平行平板電容器的電容為 C、電勢差為U、電荷為Q、電場強度為E、 所貯的能量為We,我們可以根據(jù)C=£ sd C=Q、E=Qs、1We=QU等來判斷不同情況下各物理量的變化.2（1）斷開電源，極板間距加倍即d變?yōu)?d，電荷Q不變，電場強度E不變，電 勢差2U,所貯的能量增為2We.（2） 斷開電源，并使極板間充滿相對電容率£ r=2.的油，電荷Q不變，電場強 度E減

5、為Er，電勢差減少為U£ r所貯的能量減少為 W£ r.（3）保持電源與電容器兩極相連，使極板間距加倍，極板間為真空，電容器電 容變?yōu)樵瓉淼囊话?，電勢差不變，電荷減少為原來的一半，電場強度減少為原來 的一半，所貯的能量也減少為原來的一半.（4） 保持電源與電容器兩極相連，極板間充滿相對電容率 £ r=2.5勺油，電容器 的電容為原來的£倍，即2.5C，電勢差不變，電荷增為原來的 £倍，所貯的能 量增加為原來的£倍.8-7 一平行板電容器被一電源充電后，將電源斷開，然后將一厚度為兩極板間距 一半的金屬板放在兩極板之間，試問下述各量如何變

6、化？ （1）電容；（2）極板上面電荷；（3）極板上的電勢差；（4）極板間的電場強度；（5）電場的能 量。解設極板間距為d,斷開電源后電容器帶電為 Q,插入金屬板達到靜電平衡后， 金屬板與電容器極板相對應的兩表面分別帶上大小為Q的異種感應電荷。此時的電容器可以看作是兩個帶電為 Q、間距為d4的平行板電容器的串聯(lián)。則插入金 屬板后的電容為2 £ 0sd即為原來的兩倍；極板上電荷不變；極板上的電勢差為 原來的2;極板內(nèi)除金屬板內(nèi)電場強度為零，剩余空間場強不變；電場能量減少 為原來的2.8-8如果圓柱形電容器的內(nèi)半徑增大，使兩柱面之間的距離減為原來的一半，此 電容器的電容是否增大為原來的兩倍

7、？解不是.圓柱形電容器電容C=2£ 06其中RB為外半徑，RA為內(nèi)半InRBRA 徑，設兩柱面間距為d,即RB-RA=d，當兩柱面之間的距離減為原來的一半，即 RB-RA=d2，此時 C'工 2C.8-9 （1） 一個帶電的金屬球殼里充滿了均勻電介質(zhì)，外面是真空，此球殼的電勢 是否等于Q?為什么？（ 2）若球殼內(nèi)為真空，球殼外是無限大均勻電介4 n£ 0 £ rR1質(zhì)，這時球殼的電勢為多少？ Q為球殼上的自由電荷，R為球殼半徑，£為介質(zhì) 的相對電容率。解（1）此時球殼內(nèi)的電勢等于1Q；（2）若均勻電介質(zhì)充滿球殼外空間，4冗£ 0R 球殼

8、電勢為Q. 4 n£ 0 £ rR18-10把兩個電容各為C1和C2的電容器串聯(lián)后進行充電，然后斷開電源，把它們 改成并聯(lián)，問它們的電能是增加還是減少？為什么？解兩電容器串聯(lián)后電容器等效電容為 C1C2,小于之前兩電容器的電容，C1+C2 并聯(lián)后兩電容器的等效電容為 C1+C2，大于之前電容器的電容，可見兩電容器并 聯(lián)后的等效電容大于串聯(lián)后的等效電容，又因為充電后斷開電源，串聯(lián)與并聯(lián)的 兩種1Q2情況電容器電荷總量Q不變，由We二可知，改為并聯(lián)之后電能減少。2C習題8-1 一真空二極管，其主要構件是一個半徑R仁5.0?10-4m的圓柱型陰極和一個套在外、半徑為R2=4.5?

9、10-3m的同軸圓筒型陽極。陽極電勢比陰極電勢高 300V，陰極和陽極的長均為L=2.5?10-2m.假設電子從陰極射出時的初速度為零, 求：（1）該電子到達陽極時所具有的動能和速率；（2）電子剛從陰極射出時所受的 力。解由于二極管內(nèi)圓柱半徑遠遠小于圓柱長（R1<<L），所以可將兩極看作兩無限 長同軸圓柱面，兩極之間的電場呈軸對稱分布。（1）電子從陰極射出，初速度為零，經(jīng)過兩極電場受到電場力的作用，到達陽 極時所獲得的動能等于電場力所作的功，即電勢能的減少，所以Ek=-EP=eV=4.8? 10-17J此時，電子所具有的速度為v=1.03? 107m? s-1（2） 由高斯定理可知

10、，兩極間距離中心軸為 r的一點處電場強度為E=- 兩極間的電勢差為 V" er 2 n£ 0rRlb2<Z n£ 0r2 n £ RRR1E? dr=?-R1R2 其中負號表示陰極電勢比陽極電勢低由上可知，陰極附近的電場強度為 E=VRR1l n2R1er其中 V=-300V所以電子剛從陰極射出時所受的電場力為F=-eE=4.37? 10-14erN8-2 一導體球半徑為R1,外罩一半徑為R2的同心薄導體球殼，外球殼所帶總電 荷為Q，而內(nèi)球的電勢為V0，求此系統(tǒng)的電勢和電場分布。解假設內(nèi)球帶電量為q,當達到靜電平衡后，兩球電荷分布如圖所示，由于導體

11、球殼電荷分布呈球對稱，我們可以取半徑為r同心球面為高斯面。由高斯定理 q ? E? dS無qsO可得此系統(tǒng)各區(qū)域的電場分布為 E1(r)=r<R1E2(r)=E3(r)=q4 n£ 0r2 R1<r<R2 q+Q r>R2 4 n£ 0r2利用電勢與電場強度的積分關系，可得各區(qū)域電勢分布如下：當r<R1時V1(r)=? rE? dl=? E1? dl+? E2? dl+? E3? dl rR1R2R1R2 q4 n£ 0R1+Q 4 n£ 0R2當 R1<r<R2 時V2(r)=? %rE? dl=? E2? d

12、l+? E3? dl rR2R2=qQ +4 n£ 0r4 n£ 0R2當 r>R2 時 V3(r)= ?rE? dl=? E3? dl=r q+Q 4 n£ 0rq4 n£ 0R1R1Q R2+Q 4冗& 0R又由題意可得，內(nèi)球的電勢為 V0，即V仁V0二所以內(nèi)球帶電量為 q=4n& 0RV1 0將q值帶入到各區(qū)域電場、電勢表達式中可得當r<R1時E仁0, V仁V0 ;當 R1<r<R2 時 E2=RV(r-R1)Q ; RVR1Q1010，-V=+2r24n& 0R2r2r4 n£ 0R2r當

13、 r>R2 時 E3=(R2-R1)Q，V=RV(R2-R1)Q. RV1010+3r24 n£ 0R2r2r4 n£ 0R2r8-3在兩塊面積均為S且相互平行帶電薄導體板 A、B之間，平行插入兩塊不帶電薄導體板C、D如圖(a)，其中A和C、C和D、D和B的間距均為d3，已 知C、D未插入時，A、B之間的電勢差為U.（1）分析各導體板上的電荷分布，求 各區(qū)域的電場強度和電勢差 UAC、（2）用導線將C、D相連后如圖（b）， UCD、UDB ；將導線撤去，再求（1）；（ 3）最后用導線將A、B相連如圖（c），然后斷 開，再求（1）.A C q1q2 q1 -q1q2-q

14、q-qq-q（a） （b） （ c）q解（1）根據(jù)靜電平衡條件，設板 A內(nèi)表面帶電為q,則平衡后電荷分布如（a）所 示，各板間電場為勻強電場且電場強度相同。所以有U 3UE1=E2=E3=E=d& SU q=c S=E£ 0S=0 dUAB=UCD=UDB=2）用導線將 C、D 相連后斷開，貝U UCD=0，此時電荷分布如圖（b）所示。由于C、D板電勢相等，所以C、D之間 電場強度為零，既E2=0.由靜電平衡知，A與C、D與B相對的表面電荷分布不 變，所以這兩個區(qū)域內(nèi)的電勢與場強分布不變，即UAC=UDB=U E仁E3=13U d用導線將A、B相連后斷開，則UAB=0，靜電平

15、衡后電荷分布如圖（c）所 示。由于導體板C、D分別所帶的電荷仍不變，即q1+q2=q=又因為A、B電勢差為零，即& 0SUd（ 1）UAB=由（1）（ 2）式可得 q1dq2dq1d-+=0 （2）& 0S3& 0S3& 0S32 & 0SU 3dq1= & 0S3dU， q2=所以C、D之間的電場強度與電勢差為 E2=-2U2，UCD=-U 3d9U1， UAC=UDB=U 3d9A 與C、D與B之間的電場強度和電勢差分別為 E仁E3=8-4如圖所示，在真空中將半徑為R的金屬球接地，在與球心 0相距為r （r>R）處 放置一點電荷q,不計

16、接地導線上電荷的影響，求金屬球表面上的感 應電荷總量。解由題可知，金屬球為等勢體，且電勢為零。設金屬球表面感應電荷總量為 q',其內(nèi)任意一點的電勢等于球外點電荷q與球面上感應電荷q在球心0激發(fā)的電勢的疊加。 又感應電荷在球心0處激發(fā)的電勢為 V'=qq'，球外點電荷在球心 0激發(fā)的電勢為V=.4n& 0r4 n£ OR qq'+=0 4 n£ 0r4 n£ ORRq r由上分析可知在球心 O的電勢為VO=所以,金屬球表面的感應電荷總量為q'=-8-5有一個平板電容器，充電后極板上電荷面密度為（T 0=4.510-5C

17、?m-2,現(xiàn)將兩極板與電源斷開，然后再把相對電容率為& r=2.（的電介質(zhì)插入兩極板之間。此時電介質(zhì)中的D和E各為多少？解電容器沖電后斷開電源，插入電介質(zhì)，極板上自由電荷面密度不變，由介質(zhì)中的高 斯定理可得介質(zhì)中的電位移矢量大小為D=c 0=4.5> 10-5C? m-2其方向由正極板指向負極板由D=£ 0 & r可得介質(zhì)中的電場強度大小為 E=D& 0 & r=2.506V? m-1其方向也是由正極板指向負極板8-6在一半徑為R1的長直導線外套有氯丁橡膠絕緣護套，護套外半徑為 R2，相 對電容率為&，設沿軸線單位長度上導線的電荷密度為

18、入試求介質(zhì)層內(nèi)的D和E.a |解我們可將此導線看作無限長、且自由電荷均勻分布 于表面。導線上自由電荷密度為 入同時在絕緣介質(zhì)層內(nèi)、 外表面分別有極化電荷產(chǎn)生，且呈軸對稱分布。由電荷分布的對稱性，我們可以取與導線同軸、半徑為 r、 長為L的圓柱面為高斯面（如圖），由介質(zhì)中的高斯定理有? D?dS=D?2n rL=入 L S 即D=X2 n rer由D=& 0& r可得介質(zhì)層內(nèi)的電場強度為E=De 0 & r=入 er 2 n& 0 & rr8-7地球和電離層可當作一個球形電容器，它們之間相距約為100km,試估算地球- 電離層系統(tǒng)的電容設地球與電離層之間為

19、真空解地球相當于球形電容器的內(nèi)殼層，電離層相當于電容器的外殼層，即R1=6.37? 106m, R2=1.00? 105m+R1=6.47? 106m由球形電容器電容公式可得 C=4冗£08-8兩線輸電線的導線半徑為3.26mm,兩線中心相距0.50m.輸電線位于地面上空 很高處，因而大地影響可以忽略.求輸電線單位長度的電容.解 由教材8-4節(jié)例4可知兩輸電線的電勢差為 U=R1R2=4.58? 10-2F R2-R1X（-Rln n£ 0R所以，輸電線單位長度的電容為 n£ 0 UlndRR又導線半徑遠小于兩線間距（R<<d）,所以C=X =cn&#

20、163;0=4.86? 10-12F dl nR8-9如圖所示，兩塊相距為0.50mm的薄金屬板A、B構成的空氣平板電容器，被 屏蔽在一個金屬盒K，金屬盒上、下兩壁與 A、B分別相距0.25mm,金屬板面積 為30? 40mm2求:被屏蔽后的電容器電容變?yōu)樵瓉淼膸妆?；?）若電容器的一 個引腳不慎與金屬屏蔽盒相碰，問此時的電容又為原來的幾倍。解（1）薄金屬板A、 B與金屬盒一起相當K于三個電容器串聯(lián)構成的一個回路（如圖（a），其中C1為A、B板構成,C2為 A板與金屬盒上壁構成，C3由B板與金屬盒X下壁構成.A、B間的等效電容相當 于C2、C3串聯(lián)之后再與C1并聯(lián)所得的電容.又A B(a)A

21、Bd1=2d2=2d3,所以 C2=C3=2C1,因此 A、B間的總電容為C=C2? C3+C1=2C1C2+C3 （b）即被屏蔽后電容器電容增大為原來的2倍.（2）若電容器的一個引腳不慎與金屬屏蔽盒相碰，相當于C2或C3極板短接（如圖（b）,被短接的電容為零.則總電容為C'=3C1即被屏蔽后電容器電容增大為原來的3倍.8-10如圖所示，在點A和點B之間有五個電容器，其連接如圖所示。（1）求 A、B兩點之間的等效電容；（2）若A、B之間的電勢差為12V4求 UAC、UCD、UDB.解（1）由電容器的串、并聯(lián)可得AC之間電容為CAC=C1+C2=12 FCD之間電容為CCD=C3+C4=

22、8 F所以AB之間電容滿足1111 =+CABCACCCDC5由上可知，AB之間等效電容為CAB=4gF（2）由于 UAB=QABAB , UAC=QACCAC ,UCD=QCDCCD, UDB=QDBDB根據(jù)A、B、C、D各處電流相等可知 QAB=QAC=QCD=QDB,所以有UAC=CABUAB=4V CACCABUAB=6V CCDCABUAB=2V CDBUCD= UDB=8-11 一片二氧化鈦晶片，其面積為1.0cm,厚度為0.10mm,把平行平板電容器的 兩極板緊貼在晶片兩側。求（1）電容器的電容；（2）電容器兩極加上12V電壓 時，極板上的電荷為多少，此時自由電荷和極化電荷的面密

23、度各為多少？ （3）求電容器內(nèi)的電場強度。解（1）二氧化鈦相對電容率為£ r=173將平行板電容器充滿此介質(zhì)后，其電2容C= £ 0 £ rSd=1.53? 10-9F（2）若在電容器兩極加上12V電壓，極板上的電荷 Q=CU=1.84? 10-8C此時極板上 自由電荷面密度（T 0=晶片表面極化電荷面密度為CT 0'=（3）電容器內(nèi)的電場強度E=8-12如圖所示，球形電極浮在相對電容率為 £ r=3.0勺油槽中，球的一半浸沒在油 中，另一半在空氣中，已知電極所帶凈電荷 Q0=2.0? 10-6C，問球的上下兩部分 各有多少電荷？解由于球形導體一

24、半浸在油中，一半在空氣中,球面電荷不再是均勻分布，上下兩部 分電荷也不相同，但由于靜電平衡，導體為一個等勢體，我們可以將導體球等效為 兩個孤立半球電容器的并聯(lián)，這兩個半球電容器分別處于空氣和油中.處于空氣中的上半球的電容為C1=2n& OR處于油中的下半球的電容為 Q=1.84? 10-4C? m-2 S? 1- &?-4-2? c 0=1.83 10C? m? &?U=1.2? 105V?m-1 dC2=2 n£ 0 & rR設這上、下兩個半球所帶電荷分別為 Q1、Q2,則Q1+Q2=Q0又兩個半球電勢相等，即 Q11=Q2C2由以上兩式可得上下兩半

25、球所帶的電荷分別為Q仁C11Q0=Q0=0.50? 10-6C C1+C2& r+1C2£ Q0=rQ0=1.5 10-6C C1+C2& r+1Q2=8-13如圖，有一空氣平板電容器極板面積為S,間距為d,現(xiàn)將該電容器接在端電壓為U的電源上充電。當（1）充足電后；（2）然后平行插入一塊面積相同， 厚度為S （ S <d）f對電容率為&的電介質(zhì)板；（3）將上述電介質(zhì)換為相同大小 的導體板時，分別求極板上的電荷 Q,極板間的電場強度E和電容器的電容C. 解（1）空氣平板電容器電容 C0=£ 0Sd U將電容器接在電源上充電，兩極板間電勢差等于為電

26、源端電壓充電后，極板上的電荷為Q0=C0U=極板間電場強度為E0=Ud & 0SdU（2）插入電介質(zhì)板后，兩極板間電勢差保持不變，設極板上電荷為Q1,則有U=Q1Q（d- S ）+1 S & 0S£ 0 £ rS此時電容器電容為 3= Q1毛0 £ rS S +-S極板上電荷為 Q1=c 0 £ rSU S +-SrQ1& rU=& 0SS +£§極板間空氣中電場強度為 E仁 介質(zhì)中電場強度為E1'=Q1£ 0 £ rS=U 5-+£ rd(3)若將介質(zhì)換為導體板，

27、達到靜電平衡后，導體為等勢體，此時的電容器相 當于極 板間距減少為(d- S )其電容和極板上的電荷分別為 C2=£ OS d S£ S Q2=0U<SU d- S空氣中電場強度為E2=導體中電場強度為E2'=08-14如圖所示，在平板電容器中填入兩種介質(zhì)，每一種介質(zhì)各占一半體積。試證 其電容為C=£ r1+ £ r2 £ OS2d證明此電容器可視為極板面積均為S2,分別充滿相對電容率為£ r1 £ r的兩個平板電容器的并 聯(lián)。這兩個平板電容器的電容分別為C1=C2=所以原平板電容器的電容為 £ 0

28、£ r1S2d £ 0 £ r2S2dC=C1+C2=£ r1+ £ r2 £ 0S2d8-15為了實時檢測紡織品、紙張等材料的厚度(待測材料可視為相對電容率為£r的電介質(zhì))，通常在生產(chǎn)流水線上設置如圖所示的傳感裝置，其中A、B為平板電容器的導體極板，d0為兩極板間的間距。試說明檢測原理，并推出直接測量量 電容C與間接測量量厚度d之間的函數(shù)關系。如果要檢測銅板等金屬材料的厚 度，結果又將如何？解將待測材料(厚度為d)平行放置于平板電容器兩極板間。由 8-13題第(2) 問可知，此時電容器的電容與材料厚度之間的關系式為C=&#

29、163; 0£ rS d0+ Grd0)£rS1C當我們直接測得電容 C,由上式即可得到待測材料 的厚度d= £r£ -1d0-以此判斷待測材料是否符合要求。如果要檢測金屬材料的厚度，同樣將材料平行放于電容器兩極板間。由8-13題第(3) 問可知，此時電容器的電容與材料厚度之間的關系為C=£ 0SdO-d d=dO-& OSC8-16有一平行平板電容器，兩極板間被厚度為 0.01mm的聚四氟乙烯薄膜所隔 開。求該電容器的額定電壓。解聚四氟乙烯的擊穿電場強度為 Eb=1.9? 107V? m-1,所以此電容器兩極板間的電 場強度應滿足E< Eb,同時極板間所能承受的最大電壓、即額定電壓的大小為U=Ebd=190V8-17 一空氣平板電容器，空氣層厚1.5cm,兩極間電壓為40kV，這電容器會被擊 穿嗎？現(xiàn)將一厚度為0.30cm的玻璃板插入此電容器，并與兩板平行，若該玻璃 的相對電容率& r=7.0擊穿電