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1、實(shí)驗(yàn)與探究三角形中邊與角之間的不等關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)(一)讓學(xué)生探究三角形中邊與角之間的不等關(guān)系,即在一個(gè)三角形中“大邊對(duì)大角” 和“大角對(duì)大邊”。(二)通過(guò)對(duì)上面兩個(gè)問(wèn)題的探究知道利用相等關(guān)系來(lái)解決不等關(guān)系是研究幾何問(wèn)題常 用的方法。(三)通過(guò)“觀(guān)察-猜想-操作-探究-論證”等一系列活動(dòng),培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí),合作學(xué) 習(xí)和探究性學(xué)習(xí)的能力。(四)滲透轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。二、學(xué)情分析三角形中邊與角之間的不等關(guān)系是在學(xué)過(guò)等腰三角形的性質(zhì)和判定之后的拓展內(nèi)容,它既是以前幾何知識(shí)和幾何思想方法的綜合應(yīng)用,又為將來(lái)學(xué)好幾何不等問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。三、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)是三角形中邊與角之間的不等關(guān)系及其探究
2、過(guò)程。難點(diǎn)是一個(gè)三角形中“大邊對(duì)大角”及“大角對(duì)大邊”的論證過(guò)程,并引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線(xiàn)。四、教具準(zhǔn)備三角形紙片、剪刀、圓規(guī)、三角板等。五、教學(xué)過(guò)程(一)知識(shí)回顧1 .等腰三角形具有什么性質(zhì)?2 .如何判定一個(gè)三角形是等腰三角形?從這兩條結(jié)論來(lái)看,今后要在同一個(gè)三角形中證明兩個(gè)角相等,可以先證 明它們所對(duì)的邊相等;同樣要證明兩條邊相等可以先證明它們所對(duì)的角相等。(二)引入新課問(wèn)題:學(xué)習(xí)了等腰三角形,我們知道:在一個(gè)三角形中,相等的邊所對(duì)的角 相等;反過(guò)來(lái),相等的角所對(duì)的邊也相等。那么,不相等的邊所對(duì)的角之間有怎樣的大小關(guān)系呢?大邊所對(duì)的角也大嗎?不相等的角所對(duì)的邊之間大小關(guān)系 又怎樣呢?是不是大
3、角所對(duì)的邊也大呢?這就是我們今天將要探究的問(wèn)題。(三)探究新知實(shí)驗(yàn)與探究1:如圖,在?ABC中,如果ABAC /C與/B大小關(guān)系怎樣?1 .動(dòng)手實(shí)驗(yàn),觀(guān)察猜想請(qǐng)同學(xué)們制作不等邊三角形(統(tǒng)一制作?ABC且ABAQ 猜想/C與/B大小關(guān)系如何?2 .驗(yàn)證猜想生:(1)量角器測(cè)量(2)折紙。師:幾何畫(huà)板演示3 .歸納猜想:生:猜想:在一個(gè)三角形中,如果兩條邊不等,那么它們所對(duì)的角也不等, 大邊所對(duì)的角較大。4、證明猜想:已知:如圖,在?ABC中,ABAC求證:/ OZ Bo想一想:證明角的不等關(guān)系的依據(jù)是什么?(三角形的外角大于任何一個(gè)與它不 相鄰的內(nèi)角)追問(wèn):怎么將/ C轉(zhuǎn)化為/ B所在三角形的外
4、角呢?師啟發(fā)引導(dǎo)分析后,學(xué)生動(dòng)手操作:在4ABC中,因?yàn)锳BAC那所以我們可以將 ABC折疊,使邊AC落在AB邊上, 點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)D處,折痕交BC于點(diǎn)E,則/ ADE=/ C,冉禾1J用/ AED是 BDE的外角的關(guān)系得到/ ADE/ B,從而得到/ CZ B。追問(wèn):由上面的操作過(guò)程得到哪些啟示?你能寫(xiě)出證明過(guò)程嗎?證法一:證明:作/ BAC的平分線(xiàn)AE,在AB邊上取點(diǎn)D,使AD=AC連結(jié)DE在4ADE和4ACE中AD=AC / BAE = / CAE AE = AE AADE AACE ./ADE = /C.4 . /ADEZ B/ C/ B師:從上面的過(guò)程可以看出,利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),
5、可以把研究邊與角之間的不等 問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為“一個(gè)角為另一個(gè)角所在三角形的外角”的問(wèn)題。這種轉(zhuǎn)化思想是 研究幾何問(wèn)題的常用方法。思考:是否還有不同的方法來(lái)證明這個(gè)結(jié)論?證法二:證明:作/ BAC的平分線(xiàn)AE,延長(zhǎng)AC到點(diǎn)D,使AD=AB,連結(jié)DE在4ABE和4ADE中,AB=AD,/ BAE = / DAE, AE = AE AABE AADE/ B= ZD./ACB玄 D/ACB玄 B方法總結(jié):利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)(截長(zhǎng)補(bǔ)短)構(gòu)造全等三角形,將角進(jìn)行轉(zhuǎn)移,轉(zhuǎn) 化為“一個(gè)角為另一個(gè)角所在三角形的外角”從而證明角的不等關(guān)系。證法三:; AD = AC, / 1 = / 2。/ ACB之 1 ,/ ACB
6、玄 2。: / 2 / B ,/ACB玄 Bo想一想:本題還可以延長(zhǎng)小邊來(lái)證明嗎?方法總結(jié):將邊與角之間的不等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為邊與角之間的相等問(wèn)題解決。形成結(jié)論1 :在一個(gè)三角形中,如果兩條邊不等,那么它們所對(duì)的角也不等,大 邊所對(duì)的角較大。(簡(jiǎn)寫(xiě)成“大邊對(duì)大角”)應(yīng)用格式:如圖.在?ABC中,ABAC/C/ Bo (大邊對(duì)大角)實(shí)驗(yàn)與探究2:在?ABC中,如果/ C/ B, AB與AC大小關(guān)系怎樣?AB大于AC嗎?生猜想:ABAC師幾何畫(huà)板演示想一想:證明線(xiàn)段不等關(guān)系的依據(jù)是什么?(三角形任意兩邊的和大于第三邊)追問(wèn):怎樣把AB轉(zhuǎn)化為兩條線(xiàn)段并與線(xiàn)段 AC圍成三角形呢?師啟發(fā)引導(dǎo)分析后,學(xué)生動(dòng)手操
7、作:我們可以將 ABC沿BC的垂直平分線(xiàn)DE折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)C上,即/ DCB=/ B,于是D B =D C ,這樣 A B =A D +D B =A D +D C A C。由上面的操作過(guò)程得到哪些啟示?請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程證明:在較大的角/ ACB內(nèi)作/ DCB之B,CD交AB于點(diǎn)D,DB=DCAB=AD+DB=AD+DCAC.師:方法總結(jié):利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),可以把研究邊與角之間的不等問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為 較大量的一部分與較小量相等的問(wèn)題。這是幾何中研究不等問(wèn)題的常用方法。形成結(jié)論2:在一個(gè)三角形中,如果兩個(gè)角不等,那么它們所對(duì)的邊也不等,大 角所對(duì)的邊較大。應(yīng)用格式:如圖.在?ABC中,/ACBZ A
8、BC,ABAC (大角對(duì)大邊)歸納:在一個(gè)三角形中,等邊所對(duì)的角相等;反過(guò)來(lái),等角所對(duì)的邊也相等。在不等邊 的三角形中,大邊對(duì)大角,小邊對(duì)小角;大角對(duì)大邊,小角對(duì)小邊。(四)應(yīng)用新知利用上述的兩個(gè)結(jié)論,回答下面問(wèn)題:1 .在4ABC中,已知BCABA(CfB么/A、/ B、/C有怎樣的大小關(guān)系?2 .如果一個(gè)三角形中最大的邊所對(duì)的角是銳角,那么這個(gè)三角形一定是銳角三角形嗎?為什么?3 .直角三角形的哪一條邊最大?為什么?(五)課堂小結(jié)1 .本節(jié)課通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究的方式得到哪兩個(gè)結(jié)論?(1)在一個(gè)三角形中,如果兩條邊不等,那么它們所對(duì)的角也不等,大邊 所對(duì)的角較大。(2)在一個(gè)三角形中,如果兩個(gè)角不等,那么它們所對(duì)的邊也不等,大角 所對(duì)的邊較大。2 .從實(shí)驗(yàn)探究的過(guò)程學(xué)到哪些方法?(1)可以利用圖形的翻折、旋轉(zhuǎn)等方法來(lái)研究幾何圖形中的邊和角的大小 關(guān)系。(2)利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),可以把研究邊與角之間的不等問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為較大 量的一部分與較小量相等的問(wèn)題。(六)布置作業(yè)1 .基礎(chǔ)鞏固如圖,在ABC, / BAC=90 , ABAC AD為高,求證:(1 ) / DAB2 DAC(2 )若/ BAC=90改為/ BAE任意角(1 )中結(jié)論成立嗎?2 .拓廣延伸如圖I,在 ABC中,D是BC中點(diǎn) ,ABAG(1 )判斷/ DAB與/ DAC的大小關(guān)系,并給予證明。(2)求證: AB+AC2
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