專題：應用性問題

1、文科數(shù)學專題復習資料-應用性問題一、數(shù)學建模分析的步驟：1. 讀懂題目。應包括對題意的整體理解和局部理解，以及分析關(guān)系、領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)。 “整體理解”就是弄清題目所述的事件和研究對象； “局部理解”是指抓住題目中的關(guān)鍵字句，正確把握其含義； “分析關(guān)系”就是根據(jù)題意，弄清題中各有關(guān)量的數(shù)量關(guān)系； “領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)”是指抓住題目中的主要問題、正確識別其類型。 2. 建立數(shù)學模型。將實際問題抽象為數(shù)學問題，建模的直接準備就是審題的最后階段從各種關(guān)系中找出最關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系，將此關(guān)系用有關(guān)的量及數(shù)字、符號表示出來，即可得到解決問題的數(shù)學模型。 3. 求解數(shù)學模型。根據(jù)所建立的數(shù)學模型，選擇合適的數(shù)學方法，設計合理

2、簡捷的運算途徑，求出數(shù)學問題的解，其中特別注意實際問題中對變量范圍的限制及其他約束條件。 4. 檢驗。既要檢驗所得結(jié)果是否適合數(shù)學模型，又要評判所得結(jié)果是否符合實際問題的要求，從而對原問題作出合乎實際意義的回答。二、解題指導：1要注意應用性總是的實際意義；2解決函數(shù)應用題的基本方法是先建立函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)、基本不等式、換元法、導數(shù)法或函數(shù)的單調(diào)性等方法求函數(shù)的最值；3 解決不等式應用題，主要是利用基本不等式或線性規(guī)劃知識，借助不等式與方程的相互關(guān)系求解會使問題化難為易；4 解答數(shù)列應用題，應充分運用觀察、歸納、猜想的手段，建立有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列或遞推數(shù)列等模型來解決問題；5 解決

3、立體幾何應用題，重在對空間想象能力和閱讀能力的考查；6 解決解析幾何應用題，就是將實際問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面上的代數(shù)關(guān)系，然后用數(shù)學的方法求解代數(shù)問題，圓錐曲線的定義對解題的作用是不可忽視的；7 解答三角應用題，應充分運用正弦定理和余弦定理。其主要題型有測量問題和航海問題等，根據(jù)題意正確畫出示意圖是解題的關(guān)鍵。三、例題：a米b米x米y米第一講 函數(shù)與不等式類型例1（09佛山）?；~塘是廣東省珠江三角洲一種獨具地方特色的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)形式，某研究單位打算開發(fā)一個?；~塘項目,該項目準備購置一塊占地平方米的矩形地塊,中間挖成三個矩形池塘養(yǎng)魚,挖出的泥土堆在池塘四周形成基圍(陰影部分所示)種植桑樹,魚塘

4、周圍的基圍寬均為米,如圖所示,池塘所占面積為平方米，其中. () 試用表示；() 若要使最大，則的值各為多少？例2某公司是一家志做產(chǎn)品A的銷售企業(yè)，第一批產(chǎn)品A上市銷售后40天內(nèi)全部售完，該公司對第一批產(chǎn)品A上市后的市場銷售情況進行了跟蹤調(diào)查，發(fā)現(xiàn)：市場的每天銷售量（單位：百件）與上市時間t（單位：天）的關(guān)系是一條折線（如圖一），每件產(chǎn)品A的銷售利潤（單位：元/件）與上市時間t（單位：天）的關(guān)系也是一條折線（如圖二）。（1） 寫出市場每天的銷售量f(t)與產(chǎn)品A上市時間t的關(guān)系式（不需求解過程）；（2） 第一批產(chǎn)品A上市后的哪幾天，這家公司的日銷售利潤超過30萬元？利潤（單位：元/件）銷售量（

5、單位：百件）y y 60 60 t（天） t（天） 30 40 20 40 圖一 圖二例3上海某玩具廠生產(chǎn)套2008年奧運會吉祥物“福娃”所需成本費用為元，且，而每套售出的價格為元，其中 ，（）問：該玩具廠生產(chǎn)多少套“福娃”時，使得每套“福娃”所需成本費用最少？（）若生產(chǎn)出的“福娃”能全部售出，且當產(chǎn)量為150套時利潤最大，此時每套價格為30元，求的值（利潤 = 銷售收入 成本）例4（2010廣東文數(shù)）（本題滿分12分）某營養(yǎng)師要求為某個兒童預訂午餐和晚餐.已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C;一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和

6、10個單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營狀中至少含64個單位的碳水化合物和42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C.如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應當為該兒童分別預訂多少個單位的午餐和晚餐？練習：1某上市股票在30天內(nèi)每股的交易價格P（元）與時間t（天）組成有序數(shù)對（t，P），點（t，P）落在下圖中的兩條線段上，該股票在30天內(nèi)（包括30天）的日交易量Q（萬股）與時間t（天）的部分數(shù)據(jù)如下表所示。第t天4101622Q（萬股）36302418（1）根據(jù)提供的圖象，寫出該種股票每股交易價格P（元）與時間t（天）所滿足的函數(shù)關(guān)系

7、式；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)確定日交易量Q（萬股）與時間t（天）的一次函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的結(jié)論下，用y（萬元）表示該股票日交易額，寫出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出這30天中第幾日交易額最大，最大值為多少？2某地政府招商引資，為吸引外商，決定第一年產(chǎn)品免稅，某外資廠該年A型產(chǎn)品出廠價為每件60元，年銷售量為11.8萬件第二年，當?shù)卣_始對該商品征收稅率為p (，即銷售100元要征收p元) 的稅收，于是該產(chǎn)品的出廠價上升為每件元，預計年銷售量將減少p萬件.() 將第二年政府對該商品征收的稅收y(萬元)表示成p的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；() 要使第二年該廠的稅收不少于16萬元，則稅率p的范

8、圍是多少?() 在第二年該廠的稅收不少于16萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應為多少? 3某旅館有相同標準的床鋪100張，根據(jù)經(jīng)驗，當旅館的床價（即每床每天的租金）不超過10元時，床位可以全部租出，當床價高于10元，每提高1元，將有3張床空置。旅館定價條件是：床價為1元的整數(shù)倍；該旅館每天支出為575元，床位出租收入必須高于支出。若用表示床價，表示每天出租床位的凈收入（即除去每天支出后的收入）把表示成的函數(shù)，并求出其定義域；如何定價，該旅館每天凈收入最多？4.甲、乙兩公司同時開發(fā)同一種新產(chǎn)品，經(jīng)測算，對于函數(shù)f(x),g(x)以及任意的，當甲公司投入x萬元作宣傳時，若乙公司投入的宣

9、傳費小于f(x)萬元，則乙公司對這一新產(chǎn)品的開發(fā)有失敗的風險，否則沒有失敗的風險；當乙公司投入x萬元作宣傳時，若甲公司投入的宣傳費小于g(x)萬元，則甲公司對這一新產(chǎn)品的開發(fā)有失敗的風險，否則沒有失敗的風險. （）試解釋f(0)=10,g(0)=20的實際意義；（）設f(x)= x+10,g(x)=,甲、乙兩公司為了避免惡性競爭，經(jīng)過協(xié)商，同意在雙方均無失敗風險的情況下盡可能少地投入宣傳費用，問甲、乙兩公司各應投入多少宣傳費？5、（2009汕頭）某服裝廠品牌服裝的年固定成本100萬元，每生產(chǎn)1萬件需另投入27萬元，設服裝廠一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x萬件并全部銷售完，每萬件的銷售收入為R（x）萬元

10、.且（1）寫出年利潤y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，服裝廠在這一品牌的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？ 第二講 數(shù)列、解幾、立幾類型例1（10佛山二模）國家助學貸款是由財政貼息的信用貸款，旨在幫助高校家庭經(jīng)濟困難學生支付在校學習期間所需的學費、住宿費及生活費.每一年度申請總額不超過6000元.某大學2010屆畢業(yè)生凌霄在本科期間共申請了元助學貸款，并承諾在畢業(yè)后年內(nèi)（按個月計）全部還清.簽約的單位提供的工資標準為第一年內(nèi)每月元，第個月開始，每月工資比前一個月增加直到元.凌霄同學計劃前個月每個月還款額為，第個月開始，每月還款額比前一月多元.（）若凌霄恰好在第36個月（

11、即畢業(yè)后三年）還清貸款，求的值；（）當時，凌霄同學將在第幾個月還清最后一筆貸款？他當月工資的余額是否能滿足每月元的基本生活費？（參考數(shù)據(jù)：） 例2某學校在高中二年級每周開設A,B兩種選修課各一節(jié)，要求全年級所有500名學生每人每周必選且只選其中的一種選修。調(diào)查資料表明,第一周選修A課程的人數(shù)比選修B課程的人數(shù)多128人，以后凡是在本周選A課程的人,下周會有25% 改選B課程;而本周選B課程的人,下星期會有25% 改選A課程.用分別表示在第周選A課程的人數(shù)和選B課程的人數(shù). 設到第K周選修A課程的人數(shù)為整數(shù)且達到最小值，則從第K+1周起所有學生固定選修科目，不再進行科目調(diào)整。（）求證數(shù)列an-b

12、n為等比數(shù)列，() 求數(shù)列an 的通項公式和K的值。() 在前K周內(nèi)參加A課程選修的共有多少人次？例3（07重慶文20）用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？例4某信息中心接到位于正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到一聲巨響，正東觀測點聽到巨響的時間比它們晚4s. 已知各觀測點到中心的距離都是1020m. 設確定巨響發(fā)生的位置。（假定聲音傳播的速度為340m/s，各觀測點均在同一平面上）xyo圖5925539GBA例5.在廣鐵一中的東南方有一塊如圖所的地，其中兩

13、面是不能動的圍墻，其余各邊界是不能動的一些體育設施現(xiàn)準備在此建一棟教學樓，使樓的底面為一矩形，且靠圍墻的方向須留有5米寬的空地，問如何設計，才能使教學樓的面積最大？第三講 三角函數(shù)類型、圖表型；北乙甲例1.如圖，甲船以每小時海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于處時，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，當甲船航行分鐘到達處時，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海里，問乙船每小時航行多少海里？例2（10福建） 。，輪船位于港口O北偏西且與該港口相距20海里的A處，并以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設該小船沿直線方向以海里/小時的航行速

14、度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇。（1）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？（2）假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設計航行方案（即確定航行方向與航行速度的大?。沟眯⊥芤宰疃虝r間與輪船相遇，并說明理由。例3.“根據(jù)中華人民共和國道路交通安全法規(guī)定：車輛駕駛員血液酒精濃度在2080 mg/100ml（不含80）之間，屬于酒后駕車，血液酒精濃度在80mg/100ml（含80）以上時，屬醉酒駕車” 2009年8月15日晚8時開始某市交警一隊在該市一交通崗前設點對過往的車輛進行抽查，共查出酒后駕車者60名，圖甲是用酒精測試儀對這60 名酒后駕車者血液中酒精濃度進行檢測后依所得結(jié)果畫出的頻率分布直方圖（1）求這60名酒后駕車者中屬醉酒駕車的人數(shù)；（圖甲中每組包括左端點，不包括右端點）（2）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表，圖乙的程序框圖是對這60名酒后駕車者血液的酒精濃度做進一步的統(tǒng)計，求出圖乙輸出的S值，并說明S的統(tǒng)計意義；（圖乙中數(shù)據(jù)與分別表示圖甲中各組的組中值及頻率） （3）本次行動中，吳、李兩位先生都被酒精測試儀測得酒精濃度屬于7080的范圍，但他倆堅稱沒喝那么多，交警大隊陳隊長決定在被酒精測試儀測得酒精濃度屬于