四年級奧數(shù)-教師版-第六講幻方與數(shù)陣圖(共12頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第六講 幻方與數(shù)陣圖知識導航 三階幻方的性質(zhì)：1.中心位置上的數(shù)等于幻和除以3； 2.角上得數(shù)等于和它不相鄰的兩條邊上的數(shù)的平均數(shù)； 3.中心數(shù)兩頭的數(shù)等于中心數(shù)的2倍。例1：我們先來一起解決三道難度相差很大的題目，目的在于總結出三階幻方的若干重要性質(zhì)。第1題如下圖，將19填入3×3的方格表中，使得每行每列以及兩條對角線上的三個數(shù)字之和都相等，你一共可以得到多少種填法？解析：首先，我們思考要填出一個三階幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我們就知道，那個所謂的“幻和”，即每行、每列、每條對角線三個數(shù)的和是最重要的量。它是多少呢？哦，如果我們按照行（按照列也一樣

2、）把幻方中的九個數(shù)加起來，那么它們的總和不就是3倍的“幻和”嗎？而另一方面，我們也知道，由于1到9這九個數(shù)字都只各用了一次，所以3倍的的“幻和”就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（請復習學過的等差數(shù)列知識）。于是最后，我們終于得到這個至關重要的“幻和”就是45÷3=15。接下來第二步，我們來關心一下中間一格應該填哪個數(shù)字。同學們可能會說，中間一定填5，因為1到9的中間數(shù)字就是5，而幻方又是上下左右對稱的。沒錯，同學們有這樣的數(shù)學直觀很好，但是為了確定我們的判斷，還是需要嚴格地說明一下。ABCDEFGHI看上面的表格，由于我們還沒有填入任何一個數(shù)字，所以就用了九個大寫字母來

3、表示。下面就需要技巧了，我們現(xiàn)在只考慮包含E的四條直線：因為A+E+I=15, B+E+H=15, C+E+G=15, D+E+F=15, 所以如果我們把這四個式子的左右兩邊分別相加，就可以得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3×E=60, 而A+B+C+D+E+F+G+H+I不就是所填數(shù)的總和嗎？不論填法如何，這個數(shù)是不變的，它就是45，于是那么我們就得到E=5了。解： 根據(jù)上面的分析，我們知道“幻和”=15，而E=5。 從而我們知道A+I=B+H=C+G=D+F=10，也意味著在所有經(jīng)過中心的直線上，兩端的數(shù)字奇偶性相同。然后我們可以通過枚舉的方法確定每個位置上數(shù)字的奇偶

4、性：（大家自己完成）偶奇偶奇5奇偶奇偶我們可以看到，如果4個角上的偶數(shù)被確定下來，那么其余4個奇數(shù)也就被確定了，所以我們可以只考慮這4個偶數(shù)的填法。利用一點簡單的乘法原理，大家就可以知道本題共有8種填法。具體填法如下：294 276834816753951159357618438672492492 438672618357951159753816276834294總結：這里要強調(diào)一點：奇偶性分析并不是解決幻方題的典型方法，只在某些特殊的題目中會被用到。在上面這個解題過程中，我們用到了一點技巧，希望同學們加以領會。本題中，我們看到所有經(jīng)過中心的直線上，兩端數(shù)字的平均數(shù)就等于中間這個E。那么我們來

5、問一個深入一點的問題：你認為這是在這道題中才產(chǎn)生的特殊性質(zhì)，還是所有的三階幻方都應該具有類似的性質(zhì)？ 還有，就是上面我們曾經(jīng)得出的那個“幻和”的3倍就等于這九個數(shù)之和的這條性質(zhì)，它能不能推廣到所有的三階幻方？【鞏固】.請你將311這9個數(shù)字填入下面的方格中，使橫、豎、斜行三個數(shù)的和相等。解析：首先將這列數(shù)中的中間數(shù)放在中間的格子里 可知幻和是7×3=21；其次；將最小的數(shù)和最大的數(shù)分別放在這個數(shù)的橫向或豎向的兩邊；第三，中間數(shù)前面的第2和第4個數(shù)分別填在最大數(shù)的兩側，這時就可以輕松的確定剩下的幾個空了。89437111056437116 例2：下圖是一個三階幻方，請說明幻和等于3倍的

6、E 且D+F=2×E。DEF 第2題解析：有了第1題的基礎，大家應該對本題感到不是那么陌生了，只要把第1題的一部分解題過程搬過來就行。這道題也是讓大家看一看如何把一個特殊的解題過程變成一條普遍的規(guī)律或性質(zhì)。解：首先把題目中的空白格子標上不同的字母，以便表述。ABCDEFGHI首先，只考慮包含E的四條直線，得到A+E+I=“幻和”，B+E+H=“幻和”， C+E+G=“幻和”， D+E+F=“幻和”。然后，把這四個式子的左右兩邊分別相加，得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3×E=4倍的“幻和”, 而另一方面，如果我們只考慮幻方的三行，則有A+B+C=D+E+F=G+

7、H+I=“幻和”，因此A+B+C+D+E+F+G+H+I=3倍的“幻和”。所以，3×E=“幻和”，而“幻和”=D+E+F，于是D+F=2×E?？偨Y：同樣的分析辦法，還可以得到A+I=B+H=C+G=D+F=2×E(請大家自己說明)。本題回答了例1評議中提出的兩個問題，從而我們得到三階幻方的兩條重要性質(zhì)。性質(zhì)1：“幻和”的3倍等于這九個數(shù)之和；性質(zhì)2：所有經(jīng)過中心的直線上，兩端數(shù)字的平均數(shù)就等于正中間的數(shù)字。BAC 第3題例3：上圖是一個三階幻方，請說明A+B=2×C。解析：這是一道難題，它之所以難，就在于條件太少，只有三階幻方的概念可以用。于是我們就想到

8、利用性質(zhì)1和2，看看能不能解決問題。當然，只利用題目中的A、B、C三個位置上的數(shù)字是不可能做出來的，至少還要利用一個其它位置上的數(shù)字作為過渡，比如我們可以選擇左上角的數(shù)字，并用x來表示它：xBA*C下面我們要用到比較法，其實也就是性質(zhì)1。解：現(xiàn)在考慮*處的數(shù)字。如果我們只看上面第一行和右邊第一列，可以知道*+C=B+x，也就是*=B+x-C；而如果我們只看中間第二行和左上到右下的對角線，可以知道x+C=A+*，也就是*=x+C-A。所以B+x-C=x+C-A，兩邊可以都去掉x，就得到A+B=2×C?？偨Y：這就是幻方的性質(zhì)3，也被形象的稱為“T”字型性質(zhì)。當然，類似本題中這樣A+B=2

9、×C的性質(zhì)還有另外3種不同方向的表達形式，大家應該自己可以總結出來?！癟”字型性質(zhì)是非常重要，而且神奇的性質(zhì)，它神奇就神奇在三階幻方有無窮多個，看起來好像數(shù)字怎么填都可以。但是這條性質(zhì)卻告訴我們在離得這么遠的三個位置上的數(shù)字之間卻有著這樣簡單的關系，三階幻方中的數(shù)字不是隨便怎么填都可以的，中間還潛藏著一些更深層次的特殊性質(zhì)。這正是數(shù)學的魅力所在。例4：那么究竟我們總結出來的3條性質(zhì)有什么用呢，請完成下面的三階幻方：172919第4題（2）1001995 第4題（1）解析：本題需要綜合利用上面的3條性質(zhì)以及比較法來解決，目的主要是求出“幻和”，一旦“幻和”求出來了，一切就都沒問題了。但

10、是不同人的解題順序和利用性質(zhì)的方式可能很不一樣，所以下面我只是提供一種可行的解題順序和方法，大家應該有自己的解題順序和方法。這類題是簡單的。解：BA1001995（1）根據(jù)性質(zhì)2，A=100×2-19=181，B=100×2-95=105；“幻和”=100×3=300。下面就只要根據(jù)幻方的概念填就可以了。答案如下：24171105181100199529176（2）17A29C19B根據(jù)比較法，A=19+29-17=31；根據(jù)性質(zhì)3，B=(17+29)÷2=23；根據(jù)性質(zhì)2，C=(19+31) ÷2=25，“幻和”=25×3=75。下

11、面也就只要根據(jù)幻方的概念填就可以了。答案如下：271731292521193323總結： 最后重申幾點注意事項：I. 這些性質(zhì)只適用于三階幻方，對于四階和四階以上的幻方，有些性質(zhì)可能就不成立了，而有些需要修改，請同學們慎重，具體問題具體處理。II. 這幾條性質(zhì)適合于所有的三階幻方，并沒有局限性。2、四階幻方 4階幻方的填法：將數(shù)字從左到右、從上到下按順序填寫： 這個方陣的對角線，已經(jīng)用顏色標出。將對角線上的數(shù)字，換成與它互補（同色）的數(shù)字。 這里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1換成17-1 = 16；把6換成17-6 = 11；把11換成17-11 = 6換完后

12、就是一個四階幻方。（見右上圖）數(shù)陣圖知識導航數(shù)陣圖問題千變?nèi)f化，這一類問題要求數(shù)陣中填入了一些數(shù)以后，能保證數(shù)陣中特定關系線（或關系區(qū)域）上的數(shù)的和相等，解決這類問題可以按以下步驟解決問題：第一步：從整體考慮，將要求滿足相等的幾個數(shù)字和全部相加，一般為n×s的形式。第二步：從個體考慮，分別計算每一個位置數(shù)字相加的次數(shù)，將比較特殊的（多加或少加幾次）位置數(shù)字用未知數(shù)表示，全部相加，一般為題目所給全部數(shù)字和×一般位置數(shù)字相加次數(shù)±特殊位置數(shù)字和×多加或少加次數(shù)的形式。第三步：格局整體與個體的關系，列出等式即n×s=題目所給全部數(shù)字和×一般

13、位置數(shù)字相加次數(shù)±特殊位置數(shù)字和×多加或少加次數(shù)。第四步：根據(jù)數(shù)論植樹即整除性確定特殊位置數(shù)的取值即相對應的S值。第四步：根據(jù)確定的特殊位置數(shù)字及S值進行數(shù)字分組及嘗試。類型一：封閉類型的數(shù)陣圖例1：將16六個自然數(shù)分別填入下圖的內(nèi)，使三角形每邊上的三數(shù)之和都等于11. 解析： 此圖是封閉33圖，因為每條邊上的和都為11，那么三條邊上的數(shù)字之和為11 ，而1+2+5+6=21.所以三角形的三個數(shù)之和等于33-21=12，在16中選3個和為12的數(shù)，且其中任意兩個的和不等于11，這樣的組合有：12=2+4+6=3+4+5,經(jīng)試驗，填法如圖。例2：將16填入左下圖的六個中，是三

14、角形每條邊上的三個數(shù)之和都等于，請指出的取值范圍。 解析：設三角形三個頂點的數(shù)字之和為，因為每個頂點屬于兩條邊公有，所以把三條邊的數(shù)字和加起來，等于將1至6加一遍，同時將三個頂點數(shù)字多加一遍，于是有（1+2+3+4+5+6）+ = ，化簡后為。由于是三個數(shù)之和，故最小為1+2+3=6，最大為4+5+6=15，由此求出9。和有四組取值： 通過實驗，每組取值都相應一種填數(shù)方法（見右上圖）。像例題中的數(shù)陣圖，它的各邊相互連接，形成封閉圖形，我們稱它們?yōu)椤胺忾]型數(shù)陣圖”天這樣的圖形，主要是頂點數(shù)字，抓住條件提供的關系方式，進行分析，用試驗的方法確定頂點數(shù)以及各邊上的數(shù)字之和，最后填出數(shù)陣圖。一般地，有

15、條邊，每條有個數(shù)的圖形稱為封閉型（或輻射型或復合型）圖，封閉型圖有個重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次。對于封閉型數(shù)陣圖，因為重疊一次，所以：已知各數(shù)之和+重疊之和=每邊各數(shù)之和邊數(shù) 類型二：輻射類型的數(shù)陣圖例1：將17這七個數(shù)字，分別填入圖中各個內(nèi)，使每條線段上的三個內(nèi)數(shù)的和相等。 解析：設中心內(nèi)填，由于三條線上的數(shù)字和相加應是3的倍數(shù)，其中一共加了3次，所以1+2+3+4+5+6+7+2=28+2一定是3的倍數(shù)。而28，那么2的余數(shù)應該是2，因此，4或7.（1） 當28+2=30，30，10-1=9，除中心外，其它兩數(shù)的和應是9，只要把2，3，4，5，6，7，六個數(shù)按“和”是9分成三組填入相應的，內(nèi)

16、就可以了。填法如圖（1）（2） 當時，28+8=36，36。填法如圖（2） 當時，28+14=42，42。填法如圖（3） 課后練習561. 在九宮圖中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如下圖.請你在其他方格中填上適當?shù)臄?shù)，使方陣橫、縱、斜三個方向的三個數(shù)之和均為27. 解析：已知幻和是27，可知中間數(shù)是：27÷3=9, 根據(jù)：和-差=減數(shù)，分別將其他數(shù)求出。8145691213410 答案如下： 2、 在下圖的九個方格中,每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)的和都相等，則 N= .解析：已知幻和，8+6+16=30，可求中間數(shù)是：30÷3=10；設一個角上的數(shù)

17、是，根據(jù)幻和的特點，可將其他的空格一次算出。答案如下右圖： 8N6161281846101416212 3、請你將513這9個數(shù)字填入下面的方格中，使橫、豎、斜行三個數(shù)的和相等。1011659131278解析：中間數(shù)是：9，幻和：27；可據(jù)此分別填出其他的空格，不做過多的解釋了。 4、編制一個三階幻方，使其幻和等于24.解析：根據(jù)幻和是24，可以求出中間數(shù)是：24÷3=8，再根據(jù)例題中的方法填其他的空格。9105481211675、用1至16這十六個數(shù)編制一個四階幻方。解析：可用“錯位移動法”來填。123456789101112131415161234 567891011121314

18、1516解：(1) 11514412679810115133216(2)正確結果【鞏固】用3至18這16個數(shù)排出一個4階幻方。3171661489111012137155218 解： 6、在下圖中填入不大于15且互不相等的8個數(shù)，使每行每斜行的三個數(shù)的和都等于30.解析：利用幻和，可以求出中間數(shù)，再利用“斜線填法”編制三階幻方。具體步驟是：第一,把最大的數(shù)填在除中間位置外任意行或列的格子中，第二，把第二大數(shù)填入任意一個角上的格子中，其余就根據(jù)幻和來填。解：中間數(shù)：30÷3=10，要填入的九個數(shù)：6,7,8,9,10，11,12,13,14.111276101413897、把20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)分別填入下圖的一個中，使得圖中用箭頭連接起來的