利息習(xí)題解答第三章d

1、版權(quán)所有，翻版必究第三章習(xí)題答案1己知某投資的內(nèi)部回報(bào)率為r ,且在該投資中Co = 3000元，Ci = 10()0元， R2 = 2000 元和 R3 = 4000 元。計(jì)算 r。解:令 v =9 由 P(r) = 0 有Co + Cxv - R2v2 一 R3v3 = 0代入數(shù)據(jù)，解得：v « 0.8453.廠=18.30%2十年期投資項(xiàng)冃的初期投入100.()0() 7U,隨后每年年初需要一筆維持費(fèi)用：第 一年30()()元，以后各年以6%的速度增長。計(jì)劃收入為：第一年末30,00()元, 以后逐年遞減4%,計(jì)算屁。解：由 i = 6%,j = 4%盡=30000(1 一 j

2、)5 一 3000(1 + z)5 =3000() x 0.965 - 3000 x 1.065 =2044G.G0 元3已知以下投資方式：當(dāng)前投入7000元，第二年底投入1()00元；回報(bào)為：笫一 年底4000元，第三年底5500元。計(jì)算:卩(0.09)和P(0.10)。解:凈現(xiàn)值卩為：P(i) = - 7000 + 4000( 1 + 2)-1一 1000(1 + i)-2 + 5500(1 + i)-3P(0.09) = 75.05元戸(0.10) = -57.85元4計(jì)算滿足以下條件的胸種收益率的差：當(dāng)前的100元加上兩年后的108.15元, 可以在第一年底收回208元。解：設(shè)收益率為

3、i ,其滿足：-100 + 208v - 108.15v2 = 0解得i = 2.03% 或 6.03%兩種收益率的差為4.00%5每年初款，第1()年底余額為1000元，"款利率4% ,每年的利息收入以4% 的利率進(jìn)行再投資。給出每年存款金額的表達(dá)式。解：以第10年底為比較II,有以下的方程10 人+ 4%/?(/s)何 3% =100()解得1000/? =10 + 4%(/s)«P3%G現(xiàn)在10000元貸款計(jì)劃在20年內(nèi)分年度還淸，每年還款1000元。如果貸款方 可以將每年的還款以年利率5%進(jìn)行投鯊°計(jì)算貸款方的實(shí)際年收益率°解：設(shè)年收益率為2,有

4、1000 靭陽 v20 = 10000解得z 6.16%7某投資者購買了如下的五年期金融產(chǎn)品：(1) 每年底得到1000元；(2) 每年的收入可以按年利率4%投資且當(dāng)年收回利息。如果該投資者將每年的利息收入以年利率3%再投資，實(shí)際年收益率為4%。 計(jì)算購買價(jià)格。解:設(shè)購買價(jià)格為P，有P(1 + z)5 = 1000 x 5+ 1000 i (/shia%P x 1.045 = 5000 4- 40(/s)3%P = 4448.42 元8某投資者連續(xù)五年每年期末向基金存款1000元，年利率5% o同時(shí)，利息收 入可以以年利率4%投資。給出第十年底的累積余額表達(dá)式。解:對現(xiàn)金流進(jìn)行拆分，笫10年底

5、的余額為：P = 1000 x 5 + 5% x 100()(")104% -5% x 1()00 (/s為收=500() + 50 sm 114%-50-4%=5000 + 50 x G2.159 - 50 x 15.824 =7316.73 元9甲將2000元投資10年，年利率17% ,利息每年支付，利息的再投資利率為 11%,笫10年底的累積利息為5685.48元；乙在20年內(nèi)，每年底投資150元, 年利率14% ,而且利息以11%的年利率再投資。計(jì)算乙在20年底的累積利 息收入。解：Pa = 2000 x 17% x sgin%Pb = 150 x 14% x ()何11%由

6、 PA = 5685.48解得(1 4-11%)10 = 2.83942帶入丹 計(jì)算得Pb = 8438.71元另解:Pb = 150 x 14% x (/s)itpii%直接計(jì)算得Pb = 8438.71元10某人以1OOOOO元購得一塊土地，每年需交資產(chǎn)稅1500元。十年后以260000 元賣山，同時(shí)交納8%，的銷售稅。計(jì)算年收益率。解：由凈現(xiàn)值公式有P(i) = -100000 一 loOOaimi + 260000 x (1 - 8%) x (14- i)-10 = 0解得：i q 8.075%1150000元投資，可以在今后六年內(nèi)每年得稅后收入18000元。計(jì)算：1) 15%的凈現(xiàn)值

7、；2)收益率。解：由凈現(xiàn)值公式有P(z) = -50000 + 18000兩 15%(1)7(15%) = 18120.69元(2)P(i) = 0解得：i = 27.698%12某人擁有1000()元按刀以乳=6%支付利息的債券，其在得到每刀的利息 后，立即以叢=12%存入銀行，計(jì)算其賬戶在第12次、24次和36次存款 后的余額。并對以上三種情況計(jì)算其每年平均的小刀。解：笫n次存款后的余額為*仃加P(n) = 10000 + 10000 x x s吊引丄厶每年的平均"滿足叢10000 x (1 + )n = P(n)丄乙把"=12,24,36代入得到P(12) = 106

8、34.16 , i(12) = 6.16%P(24) = 11348.67, i(24) = G.34%P(36) = 12153.84 , i(36) = G.52%13某基金的年初金額為500000元，年底余額為680000元。投資收入為60000 元，投資成本為500()元。用資本加權(quán)法計(jì)算年實(shí)際收益率。解：由題意,A = 500000, B = 680000所以，/ = 60000 一 5000 = 55000=9.78%14某基金的年利率4%,年初余額1000元，如果在第三個(gè)刀底存入200元, 第9個(gè)刀底取款300元。假定利率按單利計(jì)算，計(jì)算年底的余額。解：3 1P = 1000 x

9、(l + i) + 200 x(l + -z)- 300 x (1 + _ i)4 4=1000 x 1.04 + 200 x 1.03 一 300 x 1.01=943 元15假定：1一莊=(1- t)i,給出i_&的表達(dá)式；2)假定：1_& = ti ,給出1一怡 的表達(dá)式。解：在考慮福利的前提下冇(1 + &0)(1 +1-仏)=1 + 2(1)由l-tk =得2弋皐嚴(yán)ti1 + (1 卯北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第6頁版權(quán)所有，翻版必究北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第#頁版權(quán)所有，翻版必究(2)由亦=ti得-th16在初始時(shí)刻和第1年底分別向皋金投入100(

10、)元，已知某金在第1年底的余 額為12()()元，第2年底的余額為2200元。分別用資木加權(quán)法和時(shí)間加權(quán)法 計(jì)算年收益率。解：資木加權(quán)法1000(1 + z)2 + 1000(1 +i) = 2200解得i e 6.52%時(shí)間加權(quán)法.、2 1200 2200I 7 X 1000 1200 + 1000解得i = 9.54%17基金在元旦的余額為A, GJ底的余額為13,年底的余額為Co(1) 若一年中沒有任何資本的注入，證明：投資額加權(quán)法和資本加權(quán)法計(jì)算 的年收益率都是呼；(2) 如果在6月底石算余額后立即投入資本D,試分別給出投資額加權(quán)法和 時(shí)間加權(quán)法計(jì)算收益率的表達(dá)式。(3) 如果中的投資

11、是在余額計(jì)算之前投入的，重新計(jì)算中的兩種收益 率。(4) 說明(2)和(3)中投資額加權(quán)法的結(jié)果相同的原因。(5) 試說明(2)中時(shí)間加權(quán)法的結(jié)果大于(3)的結(jié)果。解：(1)資本加權(quán)法4(1 + 2) = C .C-A T= A時(shí)間加權(quán)法1+ °A 13 .C-A l A(2)資本加權(quán)法4(l + 2) + D(l += C °=°十 4+b時(shí)間加權(quán)法1 + 2. cA B + D ,BC.'A(B-hD)(3)資本加權(quán)法4(1 + 7) + D(1 + C)= C ”當(dāng)AD時(shí)間加權(quán)法iB-D Cl+413心(DC A B(4) 資本加權(quán)法上耍以資本量為衡

12、最標(biāo)準(zhǔn)，所以在GJ底余額計(jì)算前投入還 是后投入，對收益率沒有影響。(5) (2)中時(shí)間加權(quán)法的結(jié)果較大的原因是D從計(jì)算余額后投入時(shí)，認(rèn)為這部 分資本在下半年產(chǎn)生了利息，而在計(jì)算余額詢投入，相比較而言，若這部分資本 D是在上半年投入的，則沒有產(chǎn)生利息，所以收益率偏大。18已知：當(dāng)t = 1,2,3,4.5且y=0時(shí)，有1 + 卑=(1.08 + 0.005t)i+°°切如果在y = 5時(shí)投資1000元，持續(xù)3年。計(jì)算等價(jià)的均衡利率。解：設(shè)等價(jià)的均衡利率為i,利用投資年方法的計(jì)算公式有(1 + 若)(1+渤(1+£) = (1+滬代入數(shù)據(jù)得到i Q 9.469%19棊

13、金X在1991年元口.的單位價(jià)值為1.()元，在1991年7月1 I丨的單位價(jià)值 為0.8元,在1992年元旦的單位價(jià)值為1.0元，如果某投資者在1991年元旦 和7月1 II分別投入1()元。分別用資本加權(quán)法和時(shí)間加權(quán)法計(jì)算該投資者 在1991年的收益。解：資木加權(quán)法，A = 10, C = 1(), 3 = 1() + 1() x 丄=22.50.82.5iottuo =1667%時(shí)間加權(quán)法心蘭X丄一1 =()1 0.8得到/ = 2.520某汽乍交易市場中可以用兩種方式購買二手車：馬上付款5000 %:或者，現(xiàn) 付240()元，然后每年底付款15()()元，兩年付清。若某購車者的最小可接

14、 受的年收益率為10%,問其選擇哪個(gè)方式購買？解：以繪小可接受的年收益率算得購乍者以第二種方式購乍的現(xiàn)值為：2400+ 1500(1 +2)一1 + 1500(1+5)-2 = 5003.31 元 > 5000所以應(yīng)該選擇笫-種方式付款。21如果投資者的可接受利率為12%,說明第3題的項(xiàng)目是否可以接受。 解：用Excel規(guī)劃求解內(nèi)部收益率得.r q 9.56% < 12%所以可以接受這個(gè)項(xiàng)22如果例子3.19的項(xiàng)目回報(bào)率為15%,計(jì)算相應(yīng)的項(xiàng)冃融資利率解:利用玷之間的關(guān)系式:100001600 (1 _把r = 15%代入 解得：f = 22.55%23已知某項(xiàng)目前五年的現(xiàn)金流如表

15、313所示。若r= 15%,/ = 10%,計(jì)算民。表313t01234510002000-4000 3000-40005000解:Bq = Co = 1000B = B0(l 4- r) + Ci = 3150B2 = Bi(14-r)+C2 = 一377.5B3 = B2(l + /) + q = 2584.75B4 = B3(l 4- r) + C4 = -1027.54B5 =艮(1 + /) + C5 = 38G9.71北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第10頁版權(quán)所有，翻版必究24現(xiàn)有某一種投資，若利息收入?？鄢?5%的收入稅。估計(jì)任今后20年內(nèi)可 以達(dá)到年利率8%注：稅前，計(jì)算任20

16、年底，利息累積額下降的比例。解：稅后的等價(jià)利率為8% x 3/4 = 6%,從而利息累積額下降比例為=39.7%1.O820 一 1.O6201.082° 一 125某人需耍800元借款，有以下兩種方式償還:(1) 只借800元，然后期末-次償還900元；(2) 先借1000元,期木償還1120元。如果最小可接受的利率為10%,分析其選擇。解：對于第一種方式,期末的現(xiàn)值為:800(1 + 10%) 一 900 = -20 元對丁第二種方式，期末現(xiàn)值為：1000(1 + 10%) - 110() = -20 元所以兩種方式是等價(jià)的。此題有待討論。26保險(xiǎn)公司將壽險(xiǎn)保費(fèi)的收入建立基金，年

17、底計(jì)息。受亞人可以在今后10年 的每年底從基金中取款，若保單的最低年利率為3%時(shí)，每年的取款金額為 1000元。然而，保險(xiǎn)公司的基金投資利率為：前四年4%,后八年5%。因而, 實(shí)際取款金額為：Wt = t, t = 1.2,., 10©13%其中Ft表示基金在時(shí)刻t(t = 0去掉 1,2,，1()的余額。計(jì)算W1Q。解：由遞推公式«11713%整理得"廠；霊+：爼二'一9Ko = Fi x1.0391 + 1.03+ 1.0391.039x «17513%=1000 x 1.039 =1304.77VV10 =岀-=1304.77 元©

18、;13%與原答案有出入。27某基金在1刀1 I的余額為273000元，在12月31 口的余額為372000元。該基金一年的利息收入為1800()元，收益率6%。計(jì)算平均的存取款口期。解：由題意有A = 273. ()0() 13 = 372.000 I = 18, ()0()C = B - A- I = 81000“ =A + /(l t)=嘆2北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第12頁版權(quán)所有，翻版必究北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第#頁版權(quán)所有，翻版必究所以平均的存取款日期是9月1日。北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第#頁版權(quán)所有，翻版必究28某基金的投入為連續(xù)方式，起始余額為1, t時(shí)刻的投入

19、為1 + /,利息力函數(shù) 為（l + t）T。計(jì)算II年末的終值。解：期初的現(xiàn)值為：Q(n) = a(0) + / (1 + x)exp I (1 + tdtjdxJqJofn1=1 + / (1 + a:) dxJo ，1+©=1 + 7?n年末的終值為AV = a(n) e北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第13頁版權(quán)所有，翻版必究北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第#頁版權(quán)所有，翻版必究=(1 + n) (1 + n)=(1 + n)229某基金在1991年和1992年間的運(yùn)作情況如表3-14所示。用時(shí)間加權(quán)法計(jì) 算這兩年的收益率。表 3-14口期1/1/911/7/911/1/921

20、/7/921/1/93基金價(jià)值/元10000001310000126500015400001420000投入/元25000()250000取出/元15000()15000()解：根據(jù)題意，所求收益率為:131 一 25100126.5+15131154 - 25126.5142 + 15154)3 - 1 = 9.10247%北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第#頁版權(quán)所有，翻版必究北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第#頁版權(quán)所有，翻版必究應(yīng)注明投資和支取是在計(jì)算余額前投入的!北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院金融數(shù)學(xué)系第#頁版權(quán)所有，翻版必究30某互助基金的初始單位價(jià)值為1000(), (£隨后的5年底

21、的價(jià)值為：11710元， 12694元，14GG1元，14148元和1G83G元，有三個(gè)投資者A、B和C,投資 情況如表315所示。(1) 用時(shí)間加權(quán)法計(jì)算該基金在5年中的年平均收益率：(2) 用資本加權(quán)法計(jì)算每個(gè)投資者在5年小的年平均I口I報(bào)率。表 3-15時(shí)間第1年底第2年底第3年底第4年底第5年底A10002000300040005000B30003000300030003000C50004000300020001000解：(1)有資本加權(quán)法有:,117101269414G61141481683G(1-1- ?= x x x x '丿1000011710126941466114148 i = 10.99%(2)對于投資者A,Bo = 0Bi =C1 = 1000= Bi xB3 = B2 x12G941171014G6112694+ G = 3084.03+ C3 = 6561.92Ba = B3 x1414814G61+ C4 = 10332.311683614148+ C5 = 172