《基本不等式》教案1新人教A版

1、基本不等式教案1（新人教A版必修5）第一課時(shí) 3.4 基本不等式 （一） 教學(xué)要求：通推導(dǎo)并掌握基本不等式， 理解這個(gè)基本不等式 的幾何意義， 并掌握定理中的不等號(hào) 取等號(hào)的條件是： 當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等； 教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式并從不同角度探 索不等式的證明過程；教學(xué)難點(diǎn)：理解”當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào)”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1.回顧：二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線形規(guī)劃問題。2.提問：如圖是在北京召開的第 24 界國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì) 標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的 明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。你能 在這個(gè)圖案中找出一

2、些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？二、講授新課：1.教學(xué)：基本不等式1探究：圖形中的不等關(guān)系，將圖中的 風(fēng)車抽象成如圖， 在正方形 ABCC 中右個(gè)全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的 兩條直角邊長為 a,b 那么正方形的邊長為。這樣， 4 個(gè)直角三角形的面積的和是 2ab，正方形的面積為。由于 4 個(gè)直角 三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個(gè)不等 式：。當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b 時(shí)，正方形 EFGH 縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有。（教師提問學(xué)生思考師生總結(jié)）2思考：證明一般的，如果3基本不等式：如果 aO,bO,我們用分別代替 a、b，可得， 通常我們把上式寫作：4從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不

3、等式：用分析法證明：要證 （1） ， 只要證 a+b（2） ， 要證（ 2），只要證 a+b-0（ 3）要證（3），只要證（-）（4），顯然，（ 4）是成立的。當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)，（ 4）中的等號(hào)成 立。5練習(xí)：已知 x、y 都是正數(shù)，求證：（1） 2; （2） （x + y）（x2+y2）（x3+y3） 8x3y3.6探究：課本第 110 頁的探究:（結(jié)論：如果把看作是正 數(shù) a、b 的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù) a、 b 的等比中項(xiàng)，那么該 定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中 項(xiàng).）2.小結(jié)：兩正數(shù) a、b 的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)成立的 條件。理解當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào)

4、的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。三、鞏固練習(xí)：1. 練習(xí)：教材 114 頁練習(xí)的第 1 題。2.作業(yè)：教材 114 頁習(xí)題 A 組的第 1 題. 第二課時(shí) 3.4 基本不等式 （二） 教學(xué)要求：通知識(shí)與技能：進(jìn)一步掌握基本不等式；會(huì)用此 不等式證明不等式 , 會(huì)應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值 , 能夠 解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題； 教學(xué)重點(diǎn)：掌握基本不等式，會(huì)用此不等式證明不等式，求 某些函數(shù)的最值。 教學(xué)難點(diǎn)：利用此不等式求函數(shù)的最大、最小值。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1.回顧：基本不等式，什么條件下取等號(hào)？2.提問：用基本不等式求最大（?。┲档牟襟E。二、講授新課：1.教學(xué)利用基本不等式證明不等式1出示例 1 :已知

5、mO,求證。分析：審清楚題意分析條件應(yīng)用什么定理？如何應(yīng)用？ 學(xué)生講述解答過程（學(xué)生板書，教師修訂）小結(jié)：注意 mO 這一前提條件和=144 為定值的前提條件。2練習(xí): 1. 已知 a,b,c,d 都是正數(shù)，求證 .2.求證 :. （方法：通過加減項(xiàng)的方法配湊成基本不等式的形 式.）2. 教學(xué)利用不等式求最值出示例 2： (1) 若 x0, 求的最小值 ;(2) 若 x0, 求的最大值 . 教師板演( 1)學(xué)生板演( 2)師生共同更正 規(guī)律技巧總結(jié) : 利用基本不等式求最值時(shí) ,個(gè)項(xiàng)必須為正數(shù) , 若為負(fù)數(shù) , 則添負(fù)號(hào)變正 .練習(xí):1.求(x5)的最小值 2 若 xO,yO,且，求 xy 的

6、最小值.3.設(shè) a、bR且 a + b= 1,求+的最小值。3. 小結(jié)： 如何用基本不等式證明不等式和求函數(shù)的最大、最小值。三、鞏固練習(xí)：1. 練習(xí)：教材 114 頁習(xí)題 B 組的第 1 題。2. 證明： 3若，則為何值時(shí)有最小值，最小值為幾？ 4解關(guān)于 x 的不等式5. 已知且，求的最小值第三課時(shí) 3.4 基本不等式 (三) 教學(xué)要求：進(jìn)一步掌握基本不等式；會(huì)應(yīng)用此不等式求某些 函數(shù)的最值；能夠解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題 教學(xué)重點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn)：利用基本不等式求最大值、最小值。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1. 討論：重要不等式？基本不等式？2.提問：成立的條件？二、講授新課：1.教學(xué)：

7、最大值、最小值。1出示例 1: (1)用籬笆圍成一個(gè)面積為 100m 的矩形菜園， 問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最短的籬 笆是多少？( 2)段長為 36 m 的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩 形菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大， 最大面積是多少 ?分析：根據(jù)題意：如何設(shè)長、寬？ 應(yīng)用什么知識(shí)？ 怎樣 應(yīng)用？學(xué)生講述解答過程。小結(jié)：解決應(yīng)用問題，首先讀懂題意，思考用什么方法去解 決。2練習(xí)：用繩子圍成一塊矩形場(chǎng)地，若繩長為 20 米，則圍 成最大矩形的面積是；若要圍出一塊 100 米的場(chǎng)地，則繩子 最短為。3出示例 2：某工廠要建造一個(gè)長方體無蓋貯水池，其容積為 48

8、00m3,深為 3m，如果池底每 1m2 的造價(jià)為 150 元，池壁 每1m2 的造價(jià)為 120 元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低， 最低總造價(jià)是多少元？分析：如何由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式？ 如何求函數(shù)的最值，用到了什么定理？師生共同解答。小結(jié)： 應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立和注意不等式性 質(zhì)的適用條件。4練習(xí)：建造一個(gè)容積為 18 立方米，深為 2 米的長方體有蓋水池。如果池底和池壁每平方米的造價(jià)分別是 200 元和 150 元，那么如何建造，池的造價(jià)最低，為多少？2.小結(jié)：用均值不等式解決此類問題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn) 行：(1) 先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最 小值的變量定為函數(shù)；(2) 建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大 值或最小值問題；(3) 在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4) 正確寫出答案 .三、鞏固練習(xí)：1.練習(xí)：教材 114 頁練習(xí)的第