《雙曲線》教案新人教A版選修

1、雙曲線教案3（新人教A版選修2-1）2.3雙曲線221雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程知識與技能目標(biāo)理解雙曲線的概念，掌握雙曲線的定義、會用雙曲線的定義 解決實(shí)際問題；理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程及化簡無理 方程的常用的方法；了解借助信息技術(shù)探究動(dòng)點(diǎn)軌跡的幾 何畫板的制作或操作方法過程與方法目標(biāo)（1）預(yù)習(xí)與引入過程 預(yù)習(xí)教科書56頁至60頁，當(dāng)變化的平面與圓錐軸所成的角 在變化時(shí)，觀察平面截圓錐的截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的 交線）是什么圖形？又是怎么樣變化的？特別是當(dāng)截面與圓 錐的軸線或平行時(shí)，截口曲線是雙曲線，待觀察或操作了課 件后，提出兩個(gè)問題：第一、你能理解為什么此時(shí)的截口曲 線是雙曲線而不是兩條拋物

2、線；第二、你能舉出現(xiàn)實(shí)生活中 雙曲線的例子當(dāng)學(xué)生把上述兩個(gè)問題回答清楚后，要引導(dǎo) 學(xué)生一起思考與探究P56頁上的問題（同桌的兩位同學(xué)準(zhǔn)備 無彈性的細(xì)繩子兩條（一條約10cm長，另一條約6cm每條一 端結(jié)一個(gè)套）和筆尖帶小環(huán)的鉛筆一枝，教師準(zhǔn)備無彈性細(xì) 繩子兩條（一條約20cm,另一條約12cm,端結(jié)個(gè)套，另一 端是活動(dòng)的），圖釘兩個(gè)）當(dāng)把繩子按同一方向穿入筆尖 的環(huán)中，把繩子的另一端重合在一起， 拉緊繩子， 移動(dòng)筆尖，畫出的圖形是雙曲線 啟發(fā)性提問：在這一過程中，你能說 出移動(dòng)的筆?。▌?dòng)點(diǎn)）滿足的幾何條件是什么？板書221雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（2）新課講授過程（i）由上述探究過程容易得到雙曲線的

3、定義板書把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的差的絕對值等于常 數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（hyperbola）其中這兩 個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦 距即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為時(shí)，雙曲線即為點(diǎn)集（ii）雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程 提問：已知橢圓的圖形，是怎么樣建立直角坐標(biāo)系的？類比 求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法由學(xué)生來建立直角坐標(biāo)系無理方程的化簡過程仍是教學(xué)的難點(diǎn)， 讓學(xué)生實(shí)際掌握 無理方程的兩次移項(xiàng)、平方整理的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程 類比橢圓：設(shè)參量的意義：第一、便于寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方 程；第二、的關(guān)系有明顯的幾何意義類比：寫出焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（iii）例題講解、引申與補(bǔ)充例1已

4、知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，雙曲線上一點(diǎn)到，距離 差的絕對值等于，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義及給出的條件，容易求出補(bǔ)充：求下列動(dòng)圓的圓心的軌跡方程： 與O:內(nèi)切，且 過點(diǎn)；與O:和O:都外切；與O:外切，且與O:內(nèi)切解題剖析:這表面上看是圓與圓相切的問題，實(shí)際上是雙曲 線的定義問題具體解:設(shè)動(dòng)圓的半徑為1TO與O內(nèi)切，點(diǎn)在O外，因此有，二點(diǎn)的軌跡 是以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，即的軌跡方程是；2TO與O、O均外切，二，因此有，.點(diǎn)的軌跡是以、 為焦點(diǎn)的雙曲線的上支，.的軌跡方程是；3T與外切，且與內(nèi)切，.，因此，.點(diǎn)的軌跡是以、 為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，.的軌跡方程是.例2已知，

5、兩地相距，在地聽到炮彈爆炸聲比在地晚，且 聲速為，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程分析:首先要判斷軌跡的形狀， 由聲學(xué)原理:由聲速及，兩 地聽到爆炸聲的時(shí)間差，即可知，兩地與爆炸點(diǎn)的距離差為 定值由雙曲線的定義可求出炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程 擴(kuò)展:某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀察點(diǎn)的報(bào) 告:正西、正北兩個(gè)觀察點(diǎn)同時(shí)聽到了一聲巨響，正東觀察 點(diǎn)聽到該巨響的時(shí)間比其他兩個(gè)觀察點(diǎn)晚已知各觀察點(diǎn)到 該中心的距離都是試確定該巨響發(fā)生的位置（假定當(dāng)時(shí)聲 音傳播的速度為；相關(guān)點(diǎn)均在同一平面內(nèi)）解法剖析：因正西、正北同時(shí)聽到巨響，則巨響應(yīng)發(fā)生在西 北方向或東南方向，以因正東比正西晚，則巨響應(yīng)在以這兩 個(gè)觀察點(diǎn)為焦點(diǎn)

6、的雙曲線上如圖，以接報(bào)中心為原點(diǎn)，正東、正北方向分別為軸、軸方 向，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)、分別是西、東、北觀察點(diǎn)， 則，設(shè)為巨響發(fā)生點(diǎn)，、同時(shí)聽到巨響，二所在直線為，又因點(diǎn)比點(diǎn)晚聽到巨響聲，二.由雙曲線定義知,點(diǎn)在雙曲線方程為 .聯(lián)立、求 出點(diǎn)坐標(biāo)為即巨響在正西北方向處探究：如圖，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，.直線，相交于點(diǎn)，且它 們的斜率之積為，求點(diǎn)的軌跡方程，并與2.1.例3比較，有什么發(fā)現(xiàn)？ 探究方法：若設(shè)點(diǎn)，則直線，的斜率就可以用含的式子表示， 由于直線，的斜率之積是，因此，可以求出之間的關(guān)系式， 即得到點(diǎn)的軌跡方程.情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo) 通過課件（）的展示與操作，必須讓學(xué)生認(rèn)同：與圓錐的軸 平

7、行的平面去截圓錐曲面所得截口曲線是一條雙曲線而不是 兩條拋物線；必須讓學(xué)生認(rèn)同與體會：雙曲線的定義及特殊 情形當(dāng)常數(shù)等于兩定點(diǎn)間距離時(shí)，軌跡是兩條射線；必須讓 學(xué)生認(rèn)同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標(biāo)系的兩個(gè)原則， 及引入?yún)⒘康囊饬x，培養(yǎng)學(xué)生用對稱的美學(xué)思維來體現(xiàn)數(shù)學(xué) 的和諧美；讓學(xué)生認(rèn)同與領(lǐng)悟：像例1這基礎(chǔ)題配備是必要 的，但對定義的理解和使用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，必須配備有一定 靈活性、有一定的思維空間的補(bǔ)充題；例2是典型雙曲線實(shí) 例的題目，對培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維方法，會用分析、聯(lián)系的 觀點(diǎn)解決問題有一定的幫助，但要準(zhǔn)確判定爆炸點(diǎn)，必須對 此題進(jìn)行擴(kuò)展，培養(yǎng)學(xué)生歸納、聯(lián)想拓展的思維能力能力目標(biāo)（1）

8、 想象與歸納能力：能根據(jù)課程的內(nèi)容能想象日常生活 中哪些是雙曲線的實(shí)際例子，能用數(shù)學(xué)符號或自然語言的描 述雙曲線的定義，能正確且直觀地繪作圖形，反過來根據(jù)圖 形能用數(shù)學(xué)術(shù)語和數(shù)學(xué)符號表示（2）思維能力：會把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反 過來會把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來思考，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形 結(jié)合的思想方法；培養(yǎng)學(xué)生的會從特殊性問題引申到一般性 來研究，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力（3）實(shí)踐能力： 培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際動(dòng)手能力， 綜合利用已有的 知識能力（4）數(shù)學(xué)活動(dòng)能力：培養(yǎng)學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究、驗(yàn)證與 交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)能力（5）創(chuàng)新意識能力：培養(yǎng)學(xué)生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一 些問題的能力，探究解決問題的一

9、般的思想、方法和途徑練習(xí)：第60頁1、2、3、 作業(yè)：第66頁1、2、222雙曲線的簡單幾何性質(zhì)知識與技能目標(biāo) 了解平面解析幾何研究的主要問題： （1）根據(jù)條件，求出表 示曲線的方程； （2）通過方程，研究曲線的性質(zhì)理解雙曲 線的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點(diǎn)、漸 近線的概念；掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、會用雙曲線的定義解 決實(shí)際問題； 通過例題和探究了解雙曲線的第二定義， 準(zhǔn)線 及焦半徑的概念，利用信息技術(shù)進(jìn)一步見識圓錐曲線的統(tǒng)一 定義過程與方法目標(biāo)（1）復(fù)習(xí)與引入過程 引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)得到橢圓的簡單的幾何性質(zhì)的方法，在本節(jié)課 中不僅要注意通過對雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，研究雙曲線 的幾何

10、性質(zhì)的理解和應(yīng)用，而且還注意對這種研究方法的進(jìn) 一步地培養(yǎng)由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和非負(fù)實(shí)數(shù)的概念能得 到雙曲線的范圍；由方程的性質(zhì)得到雙曲線的對稱性； 由圓錐曲線頂點(diǎn)的統(tǒng)一定義，容易得出雙曲線的頂點(diǎn)的坐標(biāo) 及實(shí)軸、虛軸的概念；應(yīng)用信息技術(shù)的幾何畫板探究 雙曲線的漸近線問題；類比橢圓通過的思考問題，探究雙 曲線的扁平程度量橢圓的離心率板書222雙曲 線的簡單幾何性質(zhì)（2）新課講授過程（i）通過復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)，對雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論來研究雙 曲線的幾何性質(zhì)提問：研究雙曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來 研究？ 通過對雙曲線的范圍、對稱性及特殊點(diǎn)的討論，可以從整體 上把握曲線的形狀、大小和位置要從范圍

11、、對稱性、頂點(diǎn)、 漸近線及其他特征性質(zhì)來研究曲線的幾何性質(zhì)（ii）雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1范圍：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，進(jìn)一步得：，或.這說明雙曲線在不等式，或所表示的區(qū)域；2對稱性：由以代，以代和代，且以代這三個(gè)方面來研究雙 曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒有，從而得到雙曲線是以軸和軸 為對稱軸，原點(diǎn)為對稱中心；3頂點(diǎn)：圓錐曲線的頂點(diǎn)的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點(diǎn)叫做圓錐曲線的頂點(diǎn).因此雙曲線有兩個(gè) 頂點(diǎn)，由于雙曲線的對稱軸有實(shí)虛之分，焦點(diǎn)所在的對稱軸 叫做實(shí)軸，焦點(diǎn)不在的對稱軸叫做虛軸；4漸近線：直線叫做雙曲線的漸近線；5離心率： 雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比叫做雙曲線的離心 率（）.（i

12、ii）例題講解與引申、擴(kuò)展例3求雙曲線的實(shí)半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率、 漸近線方程分析：由雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，容易求出引導(dǎo)學(xué)生 用雙曲線的實(shí)半軸長、虛半軸長、離心率、焦點(diǎn)和漸近線的 定義即可求相關(guān)量或式子，但要注意焦點(diǎn)在軸上的漸近線是 擴(kuò)展：求與雙曲線共漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方及 離心率解法剖析：雙曲線的漸近線方程為.焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)所 求的雙曲線為，點(diǎn)在雙曲線上，二，無解；焦點(diǎn)在軸上 時(shí)，設(shè)所求的雙曲線為，：點(diǎn)在雙曲線上，二，因此，所求 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率這個(gè)要進(jìn)行分類討論，但只 有一種情形有解，事實(shí)上，可直接設(shè)所求的雙曲線的方程為 例4雙曲線型冷卻塔的外形，

13、是雙曲線的一部分繞其虛軸旋 轉(zhuǎn)所成的曲面如圖 （1），它的最小半徑為，上口半徑為，下 口半徑為，高為試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出雙曲線的方程 （各長度量精確到）解法剖析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 算出的值；此題應(yīng)注意兩點(diǎn)：注意建立直角坐標(biāo)系的兩個(gè) 原則；關(guān)于的近似值，原則上在沒有注意精確度時(shí)，看題 中其他量給定的有效數(shù)字來決定引申：如圖所示，在處堆放著剛購買的草皮，現(xiàn)要把這些草皮沿著道路或送到呈矩形的足球場中去鋪墊，已 知，能否在足球場上畫一條等距離線，在等距離線的兩側(cè)的區(qū)域應(yīng)該選擇怎樣的線路？說明理由 解題剖析：設(shè)為等距離線上任意一點(diǎn)，則，即（定值）， 等距離線是以、為焦點(diǎn)的

14、雙曲線的左支上的一部分，容 易等距離線方程為理由略例5如圖，設(shè)與定點(diǎn)的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)， 求點(diǎn)的軌跡方程分析：若設(shè)點(diǎn)，則，到直線：的距離，則容易得點(diǎn)的軌跡方 程引申：用幾何畫板探究點(diǎn)的軌跡：雙曲線 若點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線：的距離比是常數(shù)，則點(diǎn)的 軌跡方程是雙曲線其中定點(diǎn)是焦點(diǎn)，定直線：相應(yīng)于的準(zhǔn) 線；另一焦點(diǎn)，相應(yīng)于的準(zhǔn)線：情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)在合作、互動(dòng)的教學(xué)氛圍中，通過師生之間、學(xué)生之間的交 流、合作、互動(dòng)實(shí)現(xiàn)共同探究，教學(xué)相長的教學(xué)活動(dòng)情境， 結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探索精神、審美觀和科學(xué)世界 觀，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新必須讓學(xué)生認(rèn)同和掌握：雙曲線的簡單 幾何性質(zhì)，能由雙

15、曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程能直接得到雙曲線的范圍、 對稱性、頂點(diǎn)、漸近線和離心率；必須讓學(xué)生認(rèn)同與理解： 已知幾何圖形建立直角坐標(biāo)系的兩個(gè)原則，充分利用圖形 對稱性，注意圖形的特殊性和一般性；必須讓學(xué)生認(rèn)同與 熟悉：取近似值的兩個(gè)原則：實(shí)際問題可以近似計(jì)算，也 可以不近似計(jì)算，要求近似計(jì)算的一定要按要求進(jìn)行計(jì)算， 并按精確度要求進(jìn)行，沒有作說明的按給定的有關(guān)量的有效 數(shù)字處理；讓學(xué)生參與并掌握利用信息技術(shù)探究點(diǎn)的軌跡問 題，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和掌握利用先進(jìn)教學(xué)輔助手段 的技能能力目標(biāo)（1）分析與解決問題的能力：通過學(xué)生的積極參與和積極 探究,培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力（2）思維能力：會把幾何問

16、題化歸成代數(shù)問題來分析，反 過來會把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來思考；培養(yǎng)學(xué)生的會從 特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力（3）實(shí)踐能力： 培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際動(dòng)手能力， 綜合利用已有的 知識能力（4）創(chuàng)新意識能力：培養(yǎng)學(xué)生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一 些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑 練習(xí)：第66頁1、2、3、4、5作業(yè)：第3、4、6補(bǔ)充：3.課題:雙曲線第二定義教學(xué)目標(biāo)：1知識目標(biāo)：掌握雙曲線第二定義與準(zhǔn)線的概念，并會簡單的應(yīng)用。2 能力目標(biāo)： 培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力及探索 和創(chuàng)新意識。教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的第二定義 教學(xué)難點(diǎn)：雙曲線的第二定義及應(yīng)用.教學(xué)方法：類比

17、法（類比橢圓的第二定義） 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1、 （1）、雙曲線的定義：平面上到兩定點(diǎn)距離之差的絕對 值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫 做雙曲線的焦距。（2）、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點(diǎn)在x軸： 焦點(diǎn)在y軸： 其中2、 對于焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的有關(guān)性質(zhì)： （1） 、 焦點(diǎn)：F1 （-c,0） ,F2（c,0）；（2）、漸近線:；（3）、離心率：13、今節(jié)課我們來學(xué)習(xí)雙曲線的另一定義。（板書課題：雙曲線第二定義）二、新課教學(xué)：1、引例（課本P64例6）:點(diǎn)M（x,y）與定點(diǎn)F（5,0）距離和它 到定直線的距離之比是常數(shù)，求點(diǎn)M的軌跡方程.分析：利

18、用求軌跡方程的方法。解:設(shè)是點(diǎn)M到直線的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合P=M|,即所以，點(diǎn)M的軌跡是實(shí)軸、虛軸長分別為8、6的雙曲線。由例6可知:定點(diǎn)F(5,0)為該雙曲線的焦點(diǎn),定直線為,常數(shù)為離心率1.提出問題：(從特殊到一般)將上題改為：點(diǎn)M(x,y)與定 點(diǎn)F(c,O)距離和它到定直線的距離之比是常數(shù)，求點(diǎn)M的軌 跡方程。解：設(shè)是點(diǎn)M到直線的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合P=M|,即化簡得兩邊同時(shí)除以得2、小結(jié)：雙曲線第二定義:當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到一定點(diǎn)F(c,0)的距離和 它到一定直線的距離之比是常數(shù)時(shí),這個(gè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡 是雙曲線。其中定點(diǎn)F(c,0)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，定直線叫 雙曲線的一條準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。雙曲線上任 一點(diǎn)到焦點(diǎn)的線段稱為焦半徑。例如PF是雙曲線的焦半徑。(P65思考)與橢圓的第二定義比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？(讓學(xué) 生討論)答：只是常數(shù)的取值范圍不同，橢圓的,而雙曲線的.三、課堂練習(xí)1 求的準(zhǔn)線方程、兩準(zhǔn)線間的距離。解:由可知,焦點(diǎn)在x軸上,且所以準(zhǔn)線方程為:；故兩準(zhǔn)線的 距離為.2、(2006年廣東高考第8題選擇題)已知雙曲線3x 2y 2 = 9，則雙曲線右支上的點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離之比等于( )。(A) (B)(C) 2 (D) 4解：3、如果雙曲線上的一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離