《新編基礎(chǔ)物理學(xué)》第5章習(xí)題解答和分析

1、第5章 機(jī)械振動(dòng)第5章 機(jī)械振動(dòng)5-1 有一彈簧振子，振幅，周期，初相.試寫(xiě)出它的振動(dòng)位移、速度和加速度方程。分析 根據(jù)振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)形式可得到振動(dòng)方程，通過(guò)求導(dǎo)即可求解速度和加速度方程。解：振動(dòng)方程為 代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 振子的速度和加速度分別是 5-2一彈簧振子的質(zhì)量為，當(dāng)以的振幅振動(dòng)時(shí)，振子每重復(fù)一次運(yùn)動(dòng).求振子的振動(dòng)周期T、頻率、角頻率、彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k、物體運(yùn)動(dòng)的最大速率、和彈簧給物體的最大作用力.分析：最大速率, ，所以只要求出周期T即可.解：由題意可知 ； 所以頻率 ； 角頻率 ； 倔強(qiáng)系數(shù) ； 最大速率 最大作用力 5-3質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，按方程沿著x軸振動(dòng).求：（1）時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)的力的

2、大??；（2）作用于質(zhì)點(diǎn)的力的最大值和此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置.分析 根據(jù)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征和已知的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程求解，位移最大時(shí)受力最大。解：（1）跟據(jù)牛頓第二定律，將代入上式中，得： （2）由可知，當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)受力最大，為5-4在某港口海潮引起海洋的水平面以漲落高度d（從最高水平到最低水平）做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期為12.5h.求水從最高處下降了d/4高度需要多少時(shí)間？分析：由旋轉(zhuǎn)矢量法即可求解.解圖5-4解：從最高水平到最低水平為2倍的振幅，由題可得旋轉(zhuǎn)矢量圖，從解圖5-4中可見(jiàn) 5-5一放置在水平桌面上的彈簧振子，其振幅，周期，當(dāng)時(shí)，則：（1）物體在正方向端點(diǎn)；（2）物體在平衡位置，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；（3）物體在處

3、，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；（4）物體在處，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng).求以上各種情況的振動(dòng)方程。分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量圖，由位移和速度可以確定初相位。進(jìn)而得出各種情況的振動(dòng)方程。解圖5-5解：設(shè)所求振動(dòng)方程為 由旋轉(zhuǎn)矢量圖解圖5-5可求出初相位（1）（2）（3）（4）5-6在一輕彈簧下端懸掛砝碼時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)8cm.現(xiàn)在這根彈簧下端懸掛的物體，構(gòu)成彈簧振子.將物體從平衡位置向下拉動(dòng)4cm，并給以向上的的初速度（令這時(shí)）.選x軸向下為正，求振動(dòng)方程.分析 在平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸，由初始條件得出特征參量。解：彈簧的勁度系數(shù) 該彈簧與物體構(gòu)成彈簧振子，起振后將做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，可設(shè)其振動(dòng)方程為角頻率為代入數(shù)據(jù)后求得以平衡位置為原點(diǎn)

4、建立坐標(biāo)，則由得據(jù)得由于,應(yīng)取，于是，所求方程為5-7 某質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的x-t曲線如題圖5-7所示.求：（1）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）質(zhì)點(diǎn)從的位置到達(dá)P點(diǎn)相應(yīng)位置所需的最短時(shí)間.分析 由旋轉(zhuǎn)矢量可以得出初相位和角頻率，求出質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。并根據(jù)P點(diǎn)的相位確定最短時(shí)間。題圖5-75-8有一彈簧，當(dāng)下面掛一質(zhì)量為的物體時(shí)，伸長(zhǎng)量為.若使彈簧上下振動(dòng)，且規(guī)定向下為正方向.（1）當(dāng)時(shí)，物體在平衡位置上方，由靜止開(kāi)始向下運(yùn)動(dòng)，求振動(dòng)方程.(2) 當(dāng)時(shí)，物體在平衡位置并以的速度向上運(yùn)動(dòng)，求振動(dòng)方程.分析 根據(jù)初始條件求出特征量建立振動(dòng)方程。解：設(shè)所求振動(dòng)方程為其中角頻率，代入數(shù)據(jù)得（1） 以平衡位置為原點(diǎn)建立坐

5、標(biāo)，根據(jù)題意有據(jù)得據(jù)得，由于0，不妨取于是，所求方程為（2） 以平衡位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)，根據(jù)題意有據(jù)得據(jù)得，由于，應(yīng)取，于是，所求方程為5-9 一質(zhì)點(diǎn)沿x 軸做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)方程為，求：從時(shí)刻起到質(zhì)點(diǎn)位置在處，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)的最短時(shí)間.分析 由旋轉(zhuǎn)矢量圖求得兩點(diǎn)相位差，結(jié)合振動(dòng)方程中特征量即可確定最短時(shí)間。解圖5-9解: 依題意有旋轉(zhuǎn)矢量圖（解圖5-9），從圖中可得到 而故所求時(shí)間為5-10兩個(gè)物體做同方向、同頻率、同振幅的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，在振動(dòng)過(guò)程中，每當(dāng)?shù)谝粋€(gè)物體經(jīng)過(guò)位移為的位置向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，第二個(gè)物體也經(jīng)過(guò)此位置，但向遠(yuǎn)離平衡位置的方向運(yùn)動(dòng)，試?yán)眯D(zhuǎn)矢量法求它們的相位差.分析 由旋

6、轉(zhuǎn)矢量圖求解。根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度的方向與位移共同確定初相位。解圖5-10解：由于、可求得由于、可求得如解圖5-10所示，相位差題圖5-115-11一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)曲線如題圖5-11所示，求振動(dòng)方程.分析 利用旋轉(zhuǎn)矢量圖求解，由解圖5-11中兩個(gè)確定點(diǎn)求得相位，再根據(jù)時(shí)間差求得其角頻率。解：設(shè)所求方程為當(dāng)時(shí)，由A旋轉(zhuǎn)矢量圖可得 解圖5-11當(dāng)時(shí)，從x-t圖中可以看出據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量圖可以看出 所以，2秒內(nèi)相位的改變量據(jù)可求出于是，所求振動(dòng)方程為5-12 在光滑水平面上有一做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的彈簧振子,彈簧的勁度系數(shù)為k,物體的質(zhì)量為,振幅為A.當(dāng)物體通過(guò)平衡位置時(shí),有一質(zhì)量為的泥團(tuán)豎直落到物體上并與之粘結(jié)在一起.求

7、:（1）和粘結(jié)后,系統(tǒng)的振動(dòng)周期和振幅;（2）若當(dāng)物體到達(dá)最大位移處,泥團(tuán)豎直落到物體上,再求系統(tǒng)振動(dòng)的周期和振幅.分析 系統(tǒng)周期只與系統(tǒng)本身有關(guān)，由質(zhì)量和勁度系數(shù)即可確定周期，而振幅則由系統(tǒng)能量決定，因此需要由動(dòng)量守恒確定碰撞前后速度，從而由機(jī)械能守恒確定其振幅。解:（1）設(shè)物體通過(guò)平衡位置時(shí)的速度為,則由機(jī)械能守恒得當(dāng)豎直落在處于平衡位置上時(shí)為完全非彈性碰撞,且水平方向合外力為零,所以此后,系統(tǒng)的振幅變?yōu)?由機(jī)械能守恒,有 系統(tǒng)振動(dòng)的周期為（2）當(dāng)在最大位移處豎直落在上，碰撞前后系統(tǒng)在水平方向的動(dòng)量均為零，因而系統(tǒng)的振幅仍為A,周期為.5-13 設(shè)細(xì)圓環(huán)的質(zhì)量為m,半徑為R,掛在墻上的釘子

8、上.求它微小振動(dòng)的周期.分析 圓環(huán)為一剛體，可由轉(zhuǎn)動(dòng)定律求解。解: 如解圖5-13所示,轉(zhuǎn)軸O在環(huán)上,設(shè)角度以逆時(shí)針為正,則振動(dòng)方程為解圖5-13當(dāng)環(huán)作微小擺動(dòng)時(shí), 得設(shè) 得因?yàn)?，所以5-14 一輕彈簧在60 N的拉力下伸長(zhǎng)30 cm現(xiàn)把質(zhì)量為4 kg的物體懸掛在該彈簧的下端并使之靜止 ，再把物體向下拉10 cm，然后由靜止釋放并開(kāi)始計(jì)時(shí) (1) 求物體的振動(dòng)方程；(2) 求物體在平衡位置上方5 cm時(shí)彈簧對(duì)物體的拉力；(3) 物體從第一次越過(guò)平衡位置時(shí)刻起到它運(yùn)動(dòng)到上方5 cm處所需要的最短時(shí)間分析 小物體分離的臨界條件是對(duì)振動(dòng)物體壓力為零，即兩物體具有相同的加速度，而小物體此時(shí)加速度為重

9、力加速度，因此可根據(jù)兩物體加速度確定分離條件。解： 如解圖5-14所示，選平衡位置為原點(diǎn)，取向下為x軸正方向。 由 得 (1) 由題意可知 所以振動(dòng)方程 (2) 物體在平衡位置上方5 cm時(shí)，彈簧對(duì)物體的拉力 而所以(3) 因?yàn)闀r(shí)刻的初相位，所以物體從第一次越過(guò)平衡位置時(shí)，對(duì)應(yīng)的相位為物體在平衡位置上方處，此時(shí)，即 因?yàn)榇藭r(shí)物體向上運(yùn)動(dòng)，所以 由 得5-15在一平板下裝有彈簧，平板上放一質(zhì)量為的重物.現(xiàn)使平板沿豎直方向做上下簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期為0.50s，振幅為，求：（1）平板到最低點(diǎn)時(shí)，重物對(duì)板的作用力；（2）若頻率不變，則平板以多大的振幅振動(dòng)時(shí)，重物會(huì)跳離平板？（3）若振幅不變，則平板以多大的

10、頻率振動(dòng)時(shí)，重物會(huì)跳離平板？分析 重物跳離平板的臨界條件是對(duì)平板壓力為零。解：重物與平板一起在豎直方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，向下為正建立坐標(biāo)，振動(dòng)方程為設(shè)平板對(duì)重物的作用力為N，于是重物在運(yùn)動(dòng)中所受合力為而跟據(jù)牛頓第三定律，重物對(duì)平板的作用力為（1）在最低點(diǎn)處：,由上式得（2）頻率不變時(shí)，設(shè)振幅變?yōu)?在最高點(diǎn)處（）重物與平板間作用力最小，設(shè)可得（3）振幅不變時(shí)，設(shè)頻率變?yōu)?，在最高點(diǎn)處（）重物與平板間作用力最小，設(shè)可得5-16一物體沿x軸做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅為0.06m，周期為2.0s，當(dāng)t=0時(shí)位移為，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，求：（1）t=0.5s時(shí)，物體的位移、速度和加速度；（2）物體從處向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)開(kāi)

11、始，到達(dá)平衡位置，至少需要多少時(shí)間？分析 通過(guò)旋轉(zhuǎn)矢量法確定兩位置的相位從而得到最小時(shí)間。解：設(shè)該物體的振動(dòng)方程為依題意知據(jù)得解圖5-16由于,應(yīng)取可得（1）時(shí)，振動(dòng)相位為據(jù)得（2）由A旋轉(zhuǎn)矢量圖可知，物體從處向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)平衡位置時(shí)，A矢量轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，該過(guò)程所需時(shí)間為5-17一單擺的角振幅，周期，求（1）最大的擺動(dòng)角速度；（2）當(dāng)角位移是角振幅一半時(shí)，角速度的大小.分析：寫(xiě)出振動(dòng)的一般表達(dá)式，求導(dǎo)得到角速度的一般表達(dá)式后，根據(jù)已知條件則可求解.解：(1) 因，設(shè)振動(dòng)的表達(dá)式為則 （2）當(dāng)時(shí)，有所以角速度的大小 5-18 有一水平的彈簧振子, 如題圖5-18所示，彈簧的勁度系數(shù),物體

12、的質(zhì)量,物體靜止在平衡位置.設(shè)以一水平向左的恒力作用在物體上(不計(jì)一切摩擦),使之由平衡位置向左運(yùn)動(dòng)了0.05m,此時(shí)撤除力F,當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到最左邊開(kāi)始計(jì)時(shí),求物體的運(yùn)動(dòng)方程.分析 恒力做功的能量全部轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)能量，由機(jī)械能守恒可確定系統(tǒng)的振幅。題圖5-18解: 設(shè)所求方程為 因?yàn)椴挥?jì)摩擦,外力做的功全轉(zhuǎn)變成系統(tǒng)的能量, 故所以又因?yàn)?，所以故所求物體的運(yùn)動(dòng)方程為 題圖5-195-19一質(zhì)點(diǎn)在x軸上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，如題圖5-19所示，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)通過(guò)A點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)( t = 0 )，經(jīng)過(guò)2s后質(zhì)點(diǎn)第一次通過(guò)B點(diǎn)，再經(jīng)過(guò)2s后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)具有相同的速率，且 =

13、 10 cm，求：(1) 質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；(2) 質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)處的速率分析 由質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)具有相同的速率可知A、B兩點(diǎn)在平衡位置兩側(cè)距平衡位置相等距離的位置，再聯(lián)系兩次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的時(shí)間即可確定系統(tǒng)的周期，而相位可由A、B兩點(diǎn)位置確定。解：由旋轉(zhuǎn)矢量圖（解圖5-19）和 可知(1) 以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸指向右方時(shí)時(shí) 由上面二式解得 因?yàn)樵贏點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的速度大于零，所以取所以振動(dòng)方程 (2) 速率 當(dāng)t = 0 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的速率為 5-20一物體放在水平木板上，這木板以的頻率沿水平直線做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，物體和水平木板之間的靜摩擦系數(shù)，求物體在木板上不滑動(dòng)時(shí)的最大振幅.分析 物體在木板上不滑動(dòng)的臨界條

14、件是摩擦力全部用來(lái)產(chǎn)生其加速度。解 設(shè)物體在水平木板上不滑動(dòng)豎直方向 (1)水平方向 (2)且 (3)又因?yàn)?(4)由(1)(2)(3)解得 再由此式和(4)得 5-21一只擺長(zhǎng)為2.00m的單擺，試求它在下列情況下單擺的周期.（1）在室內(nèi)；（2）在以a為加速度上升的電梯里.分析：對(duì)兩種情況下進(jìn)行受力分析，列出牛頓運(yùn)動(dòng)方程，化成標(biāo)準(zhǔn)形式后，即可求得角頻率，進(jìn)而利用T=2/求得相應(yīng)的周期T.解：設(shè)單擺的擺線在平衡位置的右方時(shí)，角度為正。（1） 則對(duì)室內(nèi)的單擺，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得當(dāng)時(shí)，,有 將代入上式，得設(shè) ，得 所以，單擺的周期 （2）在以a為加速度上升的電梯里因?yàn)殡娞菔欠菓T性系，需要加一個(gè)慣性力，由

15、轉(zhuǎn)動(dòng)定律得當(dāng)時(shí)，,有同理，可得單擺的周期5-22一氫原子在分子中的振動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).已知?dú)湓淤|(zhì)量，振動(dòng)頻率，振幅.試計(jì)算：(1)此氫原子的最大速度；(2)與此振動(dòng)相聯(lián)系的能量.分析 振動(dòng)能量可由其最大動(dòng)能（此時(shí)勢(shì)能為零）確定。解：(1)最大振動(dòng)速度 (2)氫原子的振動(dòng)能量為5-23 一物體質(zhì)量為，在彈性力作用下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，彈簧的勁度系數(shù)，如果物體起始振動(dòng)時(shí)具有勢(shì)能和動(dòng)能，求：(1)振幅；(2)動(dòng)能恰等于勢(shì)能時(shí)的位移；(3)經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)物體的速度.分析 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)機(jī)械能守恒，其能量由振幅決定。解：(1) (2) 因?yàn)?, 當(dāng)時(shí)，有，得 即 (3)過(guò)平衡點(diǎn)時(shí)，此時(shí)動(dòng)能等于總能量題圖5-245-

16、24 一定滑輪的半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，其上掛一輕繩，繩的一端系一質(zhì)量為m的物體，另一端與一固定的輕彈簧相連，如題圖5-24所示.設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，繩與滑輪間無(wú)滑動(dòng)，且忽略軸的摩擦力及空氣阻力.現(xiàn)將物體m從平衡位置拉下一微小距離后放手，證明物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求出其角頻率.分析 由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律確定其加速度與位移的關(guān)系即可得到證明。解：如解圖5-24所示，取x坐標(biāo),平衡位置為原點(diǎn)O，向下為正，在平衡位置時(shí)彈簧已伸長(zhǎng)，則設(shè)在位置，分析受力，這時(shí)彈簧伸長(zhǎng)解圖5-24由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程：聯(lián)立(1)(2)(3)(4)(5)解得由于系數(shù)為一負(fù)常數(shù)，故物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其角頻率為 5-

17、25兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)方程分別為: （1）求合振動(dòng)的振幅和初相位；（2）若另有一同方向同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則為多少時(shí)，的振幅最大？又為多少時(shí)，的振幅最小？分析 合振動(dòng)的振幅由其分振動(dòng)的相位差決定。解：（1）按合成振動(dòng)公式代入已知量，可得合振幅及初相為 所以，合振動(dòng)方程為(2)當(dāng)，即時(shí)，的振幅最大.當(dāng)，即時(shí)，的振幅最小.解圖5-265-26有兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為，合振動(dòng)的相位與第一個(gè)振動(dòng)的相位差為，第一個(gè)振動(dòng)的振幅為，求第二個(gè)振動(dòng)的振幅及兩振動(dòng)的相位差。分析 根據(jù)已知振幅和相位可在矢量三角形中求得振幅。解：采用旋轉(zhuǎn)矢量合成圖（解圖5-26）求解取第一個(gè)振動(dòng)的初相位為

18、零，則合振動(dòng)的相位為據(jù)可知,如圖：由于、的量值恰好滿足勾股定理，故與垂直. 即第二振動(dòng)與第一振動(dòng)的相位差為527一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)方程分別為，畫(huà)出兩振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，并求合振動(dòng)的振動(dòng)方程. 解圖5-27分析 將方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程從而確定其特征矢量，畫(huà)出矢量圖。解： 作兩振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，如解圖5-27所示，合振動(dòng)的振幅和初相分別為.合振動(dòng)方程為528將頻率為348Hz的標(biāo)準(zhǔn)音叉和一待測(cè)頻率的音叉振動(dòng)合成，測(cè)得拍頻為3.0Hz.若在待測(cè)音叉的一端加上一個(gè)小物塊，則拍頻將減小，求待測(cè)音叉的角頻率.分析 質(zhì)量增加頻率將會(huì)減小，根據(jù)拍頻減少可推知兩個(gè)頻率的關(guān)系。解：由拍頻公式可知在待測(cè)音叉的一端加上一個(gè)小物體，待測(cè)音叉的頻率會(huì)減少，若拍頻也隨之減小，則說(shuō)明>,于是可求得5-29一物體懸掛在彈簧下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)其振幅為0.12m，經(jīng)144s后振幅減為0.06m.問(wèn)：(1)阻尼系數(shù)是多少？(2)如振幅減至0.03m，需再經(jīng)過(guò)多少時(shí)間？分析