《高等數(shù)學》課教案

1、高等數(shù)學精品課教案課 題：1.1函數(shù)及其性質教學目的：1.理解函數(shù)、分段函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域、表達式及函數(shù)值2.了解函數(shù)的有界性、單調性、奇偶性、周期性及反函數(shù)的定義教學重點：初等函數(shù)的概念、圖形及性質教學難點：分段函數(shù)的概念課型：講授課課時：2課時教學過程 一、導入新課在自然界中，某一現(xiàn)象中的各種變量之間，通常并不都是獨立變化的，它們之間存在 著依賴關系，我們觀察下面幾個例子：例如：某種商品的銷售單價為p元，則其銷售額L與銷售量x之間存在這樣的依賴關系：L = px又例如：圓的面積S和半徑r之間存在這樣的依賴關系：S = nr2不考慮上面兩個例子中量的實際意義，它們都給出了兩個變量之

2、間的相互依賴關系， 這種關系是一種對應法則，根據(jù)這一法則，當其中一個變量在其變化范圍內任意取定一個數(shù) 值時，另一個變量就有確定的值與之對應。兩個變量間的這種對應關系就是函數(shù)概念的實質。二、講授新課(一)函數(shù)的定義定義 設有兩個變量x, y。對任意的xCD,存在一定規(guī)律f,使得y有唯一確定的值 與之對應，則y叫x的函數(shù)。記作y=f(x) , xC D。其中x叫自變量，y叫因變量。定義10 (集合的觀點)A, B為兩個數(shù)集，對任意的xCD,存在f,在B中有唯一確定 的值與之對應。記作：f: A- B函數(shù)兩要素：對應法則、定義域(有的可直接看出，有的需計算)，而函數(shù)的值域一般 稱為派生要素。例1 f

3、(x)=2x 2+3x-1就是一個特定的函數(shù)，f確定的對應法則為：f( )=2( )2+3( )-1例 10:設 f(x+1)=2x 2+3x-1 ,求 f(x).解：設 x+1=HSx=t-1 ,則f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2-t-2f(x)=2x 2 - x - 2其對應法則：f( )=2( )2 - ( ) -2定義域：使函數(shù)有意義的自變量的集合。因此，求函數(shù)定義域需注意以下幾點：分母不等于0偶次根式被開方數(shù)大于或等于 0 對數(shù)的真數(shù)大于00y=x (xw0 )y=tanx(x wkn+ ,k = Z)等.2例2 求函數(shù) y=Tx2 x6+arcsin 2x1的定

4、義域.7解：要使函數(shù)有定義，即有：于是，所求函數(shù)的定義域是：卜3 , -2 U3, 4.小結：函數(shù)有兩要素：定義域和對應法則，即只要這兩樣定了，函數(shù)就定了，所以我 們判斷兩個函數(shù)是否是同一函數(shù)就有依據(jù)了。例3判斷以下函數(shù)是否是同一函數(shù)，為什么？(1) y=lnx 2與 y=2lnx(2)9=u 與 y=7 x解 (1)中兩函數(shù)的 定義域不同，因此不是相同的函數(shù).(2)中兩函數(shù)的 對應法則和定義域均相同，因此是同一函數(shù).函數(shù)的表示法：(1)解析法(或分析法、公式法)。如：y =sinx、y = Jx2 +1 ,這樣的表達式亦為函數(shù)的解析式，這種表示法的主要優(yōu)點是嚴密；(2)圖示法：如用直角坐標(

5、或極坐標等)平面的一條曲線表示，這種表示法的主要優(yōu)點是直觀；(3)表格法：如三角函數(shù)表、對數(shù)表、正態(tài)分布表等，這種表示法的主要優(yōu)點是能進行 函數(shù)值的查詢。分段函數(shù)若函數(shù)f(x)在定義域不同的區(qū)間上用不同解析式來表示，則稱函數(shù)f(x)為分段函數(shù).x -1, x 0(二)函數(shù)的幾種特性要研究函數(shù)，首先函數(shù)必須要有意義，假設 f(x)在區(qū)間D上有定義。1、有界性若存在兩個數(shù)A和B,對一切xWDf,有AE f(x) EB成立，則稱為f(x)有界函數(shù).例如：1 .y=sinx, y = cosx在全數(shù)軸上均有界，而 9(x)=-在(0, 1)內無界.x思考：在定義域內，下列函數(shù)中哪些有界？y=sinx

6、y=cosx y=arcsinx y=arccosx y=arctanxy=arccotx2、單調性對J =若對任意兩點 A應巧，當時有)/(/),則稱函數(shù)/(在D上單調增加，區(qū)間D稱為單調增區(qū)間；反之，函數(shù) 阿在D上單減少，區(qū)問D稱為單調減區(qū)間.單調增區(qū)間或單調減區(qū)間統(tǒng)稱為單調區(qū)問例如y = ax,y = loga x在其定義域區(qū)間內均為單調函數(shù)。3、奇偶性對J =烏，若f(-x) = -f(x)成立，則稱f(x)為奇函數(shù)；若f(-x)= f(x)成立,則稱f(x)為偶函數(shù)。奇函數(shù)的幾何圖形關于原點對稱，而偶函數(shù)的幾何圖形關于y軸對稱.例如：函數(shù)y =x2 cosx是偶函數(shù)。例如：函數(shù)y=x

7、3是奇函數(shù)。例如：函數(shù)y = x2+1既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。4、周期性對y =(-嗎+g,若存在常數(shù) 由，對任何x,滿足則稱/(1)為周期函數(shù)，小是了的一個周期.？例如，函數(shù)y = sinx, y = cosx的周期均為2兀,y = tanx的周期為冗。而y = c (白是一個常數(shù))是以任何正數(shù)為周期的周期函數(shù)，但它不存在基本周期，所以說，并不是所的周期函數(shù)都存在基本周期(最小周期)。(三)反函數(shù)定義 函數(shù)y=f(x),若把y當作自變量，x當作函數(shù)，則由關系式y(tǒng)=f(x)所確定的函數(shù) x =小(y)稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記作y=f -1(x).注：求函數(shù)的反函數(shù)的一般方法是將關系式

8、y = f(x)經過一系列的變換，變成 x =(y)的形式，最后再表示成y =9(x)的形式。三、課堂練習P4思考題P5 1、3四、小結理解函數(shù)、分段函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域、表達式及函數(shù)值；了解函數(shù)的有界性、單調性、奇偶性、周期性及反函數(shù)的定義；掌握基本初等函數(shù)的圖形和性質五、布置作業(yè)P9 習題一 1、2、4、5、7、8.選做：3、6課 題：1.2函數(shù)及其性質教學目的：1.掌握基本初等函數(shù)的圖形和性質2 .理解復合函數(shù)的概念3 .掌握復合函數(shù)的構成過程教學重點：復合函數(shù)的構成教學難點：復合函數(shù)的分解及反三角函數(shù)的圖象課型：講授課課時：2課時教學過程一、導入新課前面一節(jié)課講了函數(shù)的定義，函

9、數(shù)的性質、兩要素和反函數(shù)，說到反函數(shù)有必要再講講反函數(shù)的圖象，特別是反三角函數(shù)的圖象。1、什么樣的函數(shù)才有反函數(shù)，為什么？答：對應的函數(shù)才有反函數(shù)，因為從函數(shù)的定義知，函數(shù) y=f(x),對任意的x有唯的y與之對應。反函數(shù)是自變量和因變量互換，所以對任意的y也應有唯一確定的x與之對應，函數(shù)x=5（y）才有意義。所以只有對應的函數(shù)才有反函數(shù)。2、問題出現(xiàn)：對正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，不是一一對應的函數(shù)，為什么會有反函數(shù)？答：取一個周期，取1,原函數(shù) y=sinx , xw , ：, y 三1, 131 5T反函數(shù) y=arcsinx , xw 1, 1 , y w ：,：二、講授新課（一）基本初等函數(shù)

10、常數(shù)函數(shù)：y=c（c為常數(shù)）幕函數(shù)：y= x” （ N為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)：y=ax（a0 , a#1, a為常數(shù)）對數(shù)函數(shù)：y= log a x （a0 , a#1, a為常數(shù)）三角函數(shù)：y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx反三角函數(shù)：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx（二）復合函數(shù)定義 設y = f （u）,其u =9（x）中，且中（x）的值全部或部分落在f（u）的定義域內，則稱 y = f*(x)為x的復合函數(shù)，而u稱為中間變量.簡單說：幾個基本初等函數(shù)的組合例1：若y=VU, u = sinx ,則其

11、復合而成的函數(shù)為y= Jsin x ,要求 u 必須 0, sinx 之0, xw 2k 冗，+ +2kn 例2:分析下列復合函數(shù)的結構(1) y=JCoiJ(2) y=esin、A解：(1) y= Ju , u=cosv, v=-2(2) y=eu, u=sinv , v=V? , t=x 2 +1例 3:設 f(x)= x2 g(x)= 2x 求 fg(x) gf(x)解：fg(x)=f(2x)=(2x)2=4xgf(x)=g(x2)=2x注：此題用“整體代換”的思想(三)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經過有限次四則運算及有限次復合步驟構成，且可用一個解析式表示的 函數(shù)，叫做初等函數(shù)，否則就是非初

12、等函數(shù)。例：雙曲正弦函數(shù)shx =雙曲余弦函數(shù)chx =雙曲正切函數(shù)thx =x-Xe - ex_xe e2shxchxP6習作題1、2P10 9、10、11、17、25、26注：分段函數(shù)一般不是初等函數(shù) 三、課堂練習四、小結掌握基本初等函數(shù)的圖形和性質，理解復合函數(shù)的概念，掌握復合函數(shù)的構成過程.五、布置作業(yè)P10 習題一 12、13、14、15、18、19、選做：24、29課 題：2.1極限的概念教學目的：1.理解極限的概念，函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右 極限之間的關系。2 .熟練掌握xt 8和xt xo時f(x)的極限存在的充要條件3 .理解無窮大、無窮小的概念，4 .

13、掌握無窮大的判定方法和無窮小的概念及性質，會用無窮小量的性質求極限 教學重點：函數(shù)極限與數(shù)列極限的概念；無窮大量與無窮小量的概念及性質.教學難點：1.函數(shù)極限的定義及f(x0-0)、f(x0+0)的含義5 .分段函數(shù)在xt x。時的極限的討論方法6 .無窮大量與無窮小量的概念和性質及其應用課型：講授課課時：2課時教學過程一、導入新課1 .寫出下列函數(shù)的復合過程(1) y=Wx3-2x2+5(2) y=sin2x-1. .思考：若y=1+，當x無限的靠近1時，y值怎樣變化？x -1二、講授新課(一)函數(shù)的極限(1)定義 函數(shù)y=f(x),當自變量x無限接近于某個目標時(一個數(shù) x0,或+吧或一8

14、), 因變量y無限接近于一個確定的常數(shù) A,則稱函數(shù)f(x)以A為極限。規(guī)定：10 x從x0的左右兩側無限接近于x0,記xtx020 x從xo的左兩側無限接近于x0,記x T x -30 x從x0的右兩側無限接近于x0,記x Tx0 +40 x無限增大時，用記號x T +g50 x無限減小時，用記號x T g60x無限增大時，用記號x T g(2)點x的6鄰域N(x, 6)=(x 6, x+5),其中8很小的正數(shù),X 的去心 6 鄰域 N(?, 6 )=(x0 -6,x0)U(x0,x0 +6).1、x Tx0時函數(shù)的極限舉例說明：x T 1時，函數(shù)無限接近于多少？觀察：當：x T 1時，f(

15、x)=x+1 ,無限接近2rrx.2.f(x)=x二1在工二1處無定義，但當1今1時，函數(shù)f(x)二二二無限趨近于一個確x -1x- 1 -1當：x T 1時，g(x)=,無限接近2x -1f(x)在x=1有定義，g(x)在x=1處無定義定義1 如果當x T x 0時，函數(shù)f(x)無限趨近于一個確定的常數(shù) A,則稱A為函數(shù)f(x)當x T x 0時的極限，記作lim f(x)=A 或 f(x)T A (當x t x0時).此時也稱 X %lim f(x)存在。如果當x t x 0時，函數(shù)f (x)不趨近于任何一個確定的常數(shù)，則稱lim f (x)x：x0x 以0不存在。,一 x2 -1 一如：

16、 lim(x+1)=2,又如 lim = 2x 1x-1 x -1定的常數(shù)2,所以lim=二1二2。 x 1 x -1結論：函數(shù)f(x)當x t x 0時的極限是否存在，與f (x)在點x。處是否有定義無關.如上舉例f(x)=2在X=1處無定義，但lim x -1Ix2 -1 = 2 =2.x f 1定義2 右極限當 x t x0 ，有 lim f (x) = AJR定義3 左極限當 x T x0 有 lim f (x)= A函數(shù)的左極限和右極限統(tǒng)稱為函數(shù)的單側極限。定理1 極限存在的充分必要條件函數(shù)f(x)當xt x。時的極限存在的充分必要條件是，f(x)當xt x。時的左右極限都存在并且相

17、等.即 lim f(x) = Au limxXox )x0-f (x) = lim f (x) = Ax %.注：求分段函數(shù)的極限的方法就是計算它在指定點的左極限和右極限是否存在并且是否相例如：判斷下列函數(shù)在指定點的是否存在極限x + 1,x 2x, x xox w2、有界性 若lim f (x) = A ,則存在x0的某一去心鄰域N( ?0 , 6),在N( X0 , 6 )內函數(shù) x /0f(x)有界.3、保號性 若lim f (x)=人且A a 0(或A 0(或(f (x) 0), 1-cosx , arcsinx 等都是無窮小量。11當x-+8時，lim - =0 ,所以1是無窮小量.

18、 n nn定理4 極限與無窮小之間的關系：無窮小量的性質定理5 有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量。例如，當x0時，x+sinx也是無窮小量定理6 無窮小量與有界量之積是無窮小量。例如，當x一0時，xsinx也是無窮小量。推論1:任一常數(shù)與無窮小量之積是無窮小量。例如，當x一0時，3sinx也是無窮小量。推論2:有限個無窮小量之積是無窮小量。(注：兩個無窮小之商未必是無窮小)2、無窮大量當x- xo (或)時，如果函數(shù)f(x)的絕對值無限增大，則稱當x 一 xo (或)時，f(x)是無窮大量。記作lim f(x)= 0,或f(x) -00。 Jxo定義6 若lim f (x) =0 (或lim

19、f (x) = ),則稱f (x)為當xt xo (或X TOO )時的無窮 jxox_.大量，簡稱無窮大。如lim1=8，表示當工今。時，工為無窮大. x o xx關于無窮大量幾點說明：1 .無窮大量不是一個很大的數(shù)，它是極限的概念；lim /(i) =oo lim /(x) = oo2 .無窮大量的實質是極限不存在，為了表示記作 f或 3 ,.3 .若數(shù)列 xn當n一+8時，它項的絕對值無限增大，則 xn是無窮大量。4 .如果當x一 xo (或oo)時 函數(shù)f(x)是無窮大量，那么 一L就是當x一 xo (或oo) f(x)1時的無分小事，反過來，如果當x-x0 (或oo)時 函數(shù)f(x)

20、是非零無分小重，那么f (x)就是當x-xo (或8)時的無窮大量。 即無窮大量的倒數(shù)是無窮小量。 無窮小量(非 零)的倒數(shù)是無窮大量。(3)無窮大必無界，但反之不真。因此，證明一個變量是無窮小量的方法就是證明它的極限為0,證明一個變量是無窮大量的方法就是證明它倒數(shù)是無窮小量。三、課堂練習P2o習作題1、2P31習題二 1、3四、小結理解極限的概念，函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關系；熟練掌握xt笛和xT x0時f(x)的極限存在的充要條件，理解無窮 大、無窮小的概念，掌握無窮大的判定方法和無窮小的概念及性質，會用無窮小量的性 質求極限.五、布置作業(yè)習題二 2、4、課

21、 題：2.2極限的運算（一）教學目的：掌握函數(shù)極限的運算法則及其推論，能運用運算法則求極限教學重點：函數(shù)極限的運算法則及其推論教學難點：函數(shù)極限的運算法則的靈活運用課 型：講授課課 時：2課時教學過程一、導入新課1、函數(shù)極限是怎樣定義的？函數(shù)極限存在的充要條件是什么？2、無窮小的性質有哪些？二、講授新課（一）極限的運算法則lim g(x)都設x在同一變化過程中l(wèi)im f（x）（此處省略了自變量x的變化趨勢，下同） 存在，則有下列運算法則：法則 1、lim f(x) g(x)=lim f(x) lim g(x)法則 2、lim f(x) g(x)= lim f(x) * lim g(x)法貝U

22、3、lim f (x) =lim f (x) (lim g(x) o 0) g(x) lim g(x)提示：法則的證明不作要求.（1）直接代入求值求!im(3x 2-4x+1)解:lim (3x 2-4x+1)=322-4 2+1=5求limx-12x2 x -43x2 2解:limx .422x2 x-4嗎(2x x-4)3x2 22網(3x2 2)求limx )42x -7x 12x2 -5x 4解:2x -7x 12lim 2x 14 x 5x 4= lim (x-3)(x-4)=limi (x -1)(x -4) Ix -3 1 =-x -1 3小結：xT x時，可直接代入（若代入后令

23、分母為零?？上燃s分后再代入）舉例：1、lim 6x 2 、lim (6x+5)3、lim (x2 -6x) 4、limx：5x 2x 110x 55、lim J6 x 62x -4x 4、limx ：2x -2(2)二型Q022x x -3求 limx :3x -x 2解:22 1-lim-x=lim J 3x -x 2 x 二 13 _ _ x2322 x小結xg時，二型的極限，可用分子分母中x的最高次幕除之 00課堂練習1、計算limc 322x xx 3x(3) g-g型，0型，0例5求下列函數(shù)極限311 x -1 a1、 lim (3-) 2、lim 3X11 -x 1 一義x 0 x

24、limx J ：xcosx,1 x3在刀彳/31、3-(1 x x2)斛：1、 lim (3) =lim x 11 -x3 1 -x x 1 (1 -x)(1 x x2)= limx 1(2 幻2 =lim(1 - x)(1 x x ) x1 1 x x5=12、lim HI = lim 71-。x 0 xx.0x( .1 x 1)= limx0xx( 1 x 1)= limx )01x13、cosx =0x 9 -3、lim x2sin-x P xlimx )二arctan x四、小結掌握函數(shù)極限的運算法則及其推論， 能運用運算法則求極限。特別情形：xt8時，-cO型的極限，可用分子分母中x

25、的最高次幕除之；0型經?？赏ㄟ^分母、分子有理化解決；無0窮小與有界量的積為無窮小.五、布置作業(yè)P31習題二 5、6、選做：P26思考題1 課 題：2.2極限的運算（二）教學目的：1.掌握兩個重要極限，會運用兩個重要極限求極限2 .理解高階、低階、同階及等價無窮小量的定義3 .掌握判定等價無窮小量的充要條件及常用等價無窮小量4 .會運用等價無窮小量求函數(shù)的極限教學重點：1.兩個重要極限及其應用5 .高階、低階、同階和等價無窮小的定義與判定及其應用教學難點：1.兩個重要極限的應用6 .等價無窮小量的判定及其在極限運算中的應用課型：講授課課時：2課時教學過程一、導入新課考察極限lim處 x 0 x觀

26、察：當xR時函數(shù)的變化趨勢x（弧 度）0.500.100.050.040.030.02.0.95850.99830.99960.99970.99980.9999.當x取正值趨近于0時，地王也 即lim4=1； xx0x當x取負值趨近于0時，-x?0, - x0, sin(- x)0.于是. sin x .sin(-x)lim = lim r- -x0- xx0 (-x)二、講授新課（二）兩個重要極限lxm0sin x ) =1特點：它是“ 0”型0虺誓=1 （三角形代表同一變量）思考:lim x =1 嗎?x 0 sin x,、1求 lim x *sin解:lxmo注:limx- xsin2x

27、 =lim,x x 0sinx /1嚶.2=2解:解:x-；.：xsinx1lim =limx-xx-x,、1求 lim x *sinsin x=0xJ 二：lim x *sin 1 = lim1 sin x =11求limx_0sin 3xsin4xsin3xsin4x=sin 3x 3x 4x3x 4x sin 4x（復習二倍角）2.22cos2- =cos : -sin - =2cos : -1=1-2 sin21 cos 2：cos 二=2,21。cos2：sin 二二2例4求xmo1 - cosx解:2 x2sin 一原式=lim 22 = lim (x0x2x )0_ x sinx

28、2-lim2 x w_ x sin2x注：1、2、2必須每個乘積的極限存在。2乘積的極限T寫成極限的乘積時, 非弦函數(shù)化有弦函數(shù)課堂練習（一）求下列極限1、 limx 0.2sin xlimx0. 2 .sin 4x2xx3lim 3X 0 3sin 2x4、limx.tan1 x、lim x * cot x x0sin 4x lim x R . x 1 - 1考察極限lim （1 + 1） x x-x觀察：當x葉，時函數(shù)的變化趨勢x1210100010000100000100000.22.252.5942.7172.71812.71822.71828.當x取正值并無限增大時，（1 +3x是逐

29、漸增大的，但是不論x如何大，（i+3x的值總不會超過3.實際上如果繼續(xù)增大x.即當x?+ ?時，可以驗證（1+）x是趨近于一個確定的無 x理數(shù)e=.當x?-邛寸，函數(shù)（1 +l）x有類似的變化趨勢，只是它是逐漸減小而趨向于e.x20 limx-：:特點:（1 + 1） x = ex（1） lim （1+無窮?。o窮大案,即產型; x ，推廣:解:（2 ） “無窮小”與1 limQ(1 x)lim (1+工)x 二 2x3x“無窮大”的解析式互為倒數(shù),12）叫（1工）=e原式=lim (1f： 2x1)2x2=e燦1）lim (1 + ) 3cx 1 2x解:原式=!im（1+六）3上（1+工）

30、2x2= lim (1+六),1033x lim (1 + ) 2=e2x立 2x解:lim (1 + 3) x x x原式=lim (1+) xx33=elim (1-2) x xT x解:原式=xim1+（-2） xx二網1+1 q o2=ex2解： 原式=lim ( 3-x -1)x = iim(1 _)x = iim(i+_L_)x-3 -x x 3-x x x -3= lim (1+ -) x4 .(1+ -) 3= ex 止 x -3x-3課堂練習(二)P26 習作題 1 (4) (8)(三)無窮小的比較例：當 xt 0時，a =3x, P=x2,= =sinx但 lim x2=0

31、x 0 3x3xlim =:： x Q xsin x 1 lim = x 0 3x 3為了比較無窮小趨于零的快慢，引入無窮小階定義：設某一極限過程中，與P都是無窮小，且lim 士 = CCt(1)若C=0,則稱p是比a高階的無窮小，記成B =0 (a )也稱口是比p低階的無窮小(2)若C#0,則稱a與P是同階無窮小特別：若C=1 ,則稱u與P是等價無窮小，記為口P等價無窮小在求兩個無窮小之比的極限時有重要作用 常用的幾個等價無窮小代換：當 xt 0時，有 sinx x tanxx arcsinxx arctanx2 xx 1 - cosx 2ln(1+x)例10解:例11解:x ex -1 x

32、sin3x 求limx 0 sin4xsin3x3x3lim=lim=_x0sin4xI4x4求limx01 -cosx2x1 - cosx 21lim 2 = lim 一二x 0x2x 0 x 2例12解:例13求頻黑tan2xsin5x= limN x 0 5x 5tanx - sinxlim 3x Qx3解:sin x(1 cosx)3x cosx=lm1 2 x *- x2-3 x cosx1=12 cos x 2注：10用等價代換時，必須對分子或分母的整體替換（或對分子、分母的因式進行替換）20分子或分母中若有“ +” “-”號連接的各部分不能分別作替換。三、小結掌握兩個重要極限，會

33、運用兩個重要極限求極限，理解高階、低階、同階及等價無窮小 量的定義，掌握判定等價無窮小量的充要條件及常用等價無窮小量，會運用等價無窮小量求函數(shù)的極限。特別地，用等價代換時，必須對分子或分母的整體替換（或對分子、分母的因 式進行替換），分子或分母中若有“ +” “-”號連接的各部分不能分別作替換。四、布置作業(yè)P26習作題2、P31習題二7選做：P31習題二9課 題：2.3函數(shù)的連續(xù)性教學目的：1.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。2.了解連續(xù)函數(shù)的性質和初等函數(shù)的連續(xù)性，3.了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質（有界性、最大值、最小值定理和介值定理）,并會應用這些性質。教學

34、重點：1.函數(shù)連續(xù)性的有關概念及其應用2.間斷點及其分類教學難點：1 .點連續(xù)性及復合函數(shù)連續(xù)性的概念及其應用2.函數(shù)的連續(xù)性的判定課型：講授課課時：2課時教學過程一、導入新課微積分學中研究種種不同性質的函數(shù)，其中有一類重要的函數(shù)，就是連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函 數(shù)反映了自然界中普遍存在的連續(xù)變化現(xiàn)象，如氣溫的變化，河水的流動等等。二、講授新課（一）函數(shù)連續(xù)性的定義1、點連續(xù)定義1 設y=f（x）在點x。的某鄰域上有定義，如果自變量的增量 4x = x-x。趨于零 時，對應的函數(shù)增量也趨于零，即lmJy=1四f （x。 ；：x）-f（x。） =0易知：Ax T 0 U x T x。則稱f（x）在點x。是

35、連續(xù)的。y 0= limf(x) - f(x。) =0 xx。即 lim f (x) = f (x0),于是有X )x0定義2 設函數(shù)y=f(x)在點xo的某鄰域內有定義，若lim f (x) = f (%),則稱 To函數(shù)f(X)在點Xo處連續(xù)，f(x)在點Xo連續(xù)，必須滿足三個條件：(1) f(x)在點x。的一個鄰域內有定義(2) lim f(x)存在 jxo(3)上述極限值等于函數(shù)值f(x0) 只有一個條件不滿足，則點x。就是函數(shù)f(x)的間斷點。2、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或說函數(shù)在 該區(qū)間上連續(xù)，該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。若連續(xù)區(qū)

36、間包括端點，那么函 數(shù)在右端點連續(xù)是左連續(xù)，在左端點連續(xù)是右連續(xù)。定義3 (間斷點的分類)：設x。是f(x)的一個間斷點，如果：(1) f(x)的左右極限都存在，稱x。為f(x)第一類間斷點，當lim f(x) # lim ,則稱x。為f(x)的跳躍間斷點x 典。一x-x。(2) f(x)的左右極限都存在，稱x。為f(x)第一類間斷點，當limf(x)存在，X ,-x3但不等于f(x。)，則稱x。為f(x)的可去間斷點(3)除(1) (2)以外的，稱x。為f(x)的第二類間斷點，當lim f(x)=g,稱 x )xcXo為f (x)的無窮間斷點。r 2 _ _,一 、1x2。x E1. .例1

37、 設f (x)= ，討論f(x)在x=1處的連續(xù)性x +1,x A 1解：v f(1)=1limj(x)=lim x2=1lim f(x)=lim (x+1)=2x_1 _x_1 一即雪不存在x x=1是第一類間斷點，且為跳躍間斷點。-4x設f(x) =(，x*,討論f(x)在x=0處的連續(xù)性。1,x =0解：；f(0)=1lim f (x) # f (0)二x=0是第一類間斷點，且為可去間斷x_0點。-1例3 f (x) =2在x=1是什么間斷點(x-1)一 1、 一 1解：函數(shù)f (x) =2在x=1處沒有止義，且lim2-(x -1)2x 1 (x -1)2則x=1為f(x)的無窮間斷點

38、。注：連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連綿不斷的曲線。(二)初等函數(shù)的連續(xù)性1、初等函數(shù)的連續(xù)性1)基本初等函數(shù)在其定義域內是連續(xù)的，一切初等函數(shù)在定義域區(qū)間上是 連續(xù)的。2)分段函數(shù)，討論分段點2、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限若 f(x)在點 xO連續(xù),則 lim f (x) = f (x0)即求連續(xù)函數(shù)的極限，可歸結為計算函數(shù)值.例4 求極限l叫l(wèi)n(sin x) x2TT解：1 In ( siix)在x =二處連續(xù)2冗.limln(sin x) =ln(sin )=ln1=0注：基本初等函數(shù)均連續(xù)3、復合函數(shù)求極限的方法定理1 設有復合函數(shù)y = f W(x),若m邛(x)=a,而函數(shù)f(u)在u= a點

39、連續(xù)， X x)則 lim f (x)= flim (x) = f(a) xx0x_x0例5 求極限lim 1n ( +x)x)0x1復合函數(shù)ln(1+x)x是由lnu和u=(1+x)x組成，lnu連續(xù)。公力ln ( +x)-解：- ljm= lim ln(1 +x),1又 limln(1 + x)x =e , 在u=e點11.lim ln(1 x)x = lnlim(1 x)x ln e 1x - 1lim -=-2,二 x=1為可去間斷點。x 1 x -3x 2x2 -1x 1lim -= lim = (不存在), x=2 為無分間斷點x 2 x -3x 2 x 52 x -22 1(2)

40、 y =cos , x=0 x2 1 lxmoCOS _不存在，,x = 0為弟二類間斷點；x-1,xM1(3) y =x=13 -x, x 1則.(3 -x) =2lim (x -1) = 0x1 .x=1為第一類間斷點，為跳躍間斷點。2、復合函數(shù)求極限（利用函數(shù)的連續(xù)性求極限） 1) limln(2cos3x) = ln2cos(3 ) = ln1 = 0 2) lim-p-x)x 3) limo-ln(-4x)3、根存在1）證明方程x5-3x=1至少有一個根介于1和2之間設f(x)=x5 -3x -1 ,在(一叫十出)連續(xù)又 f(1)=1-3-1=-3042)=2 5-3*2-1 0根據(jù)

41、介值定理，至少存在一點 蹤（1,2）,使得f（U） =0顯然之即為方程x5 -3x=1的根。四、小結理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型，了解連續(xù)函 數(shù)的性質和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質（有界性、最大值、最小值定 理和介值定理），并會應用這些性質。五、布置作業(yè)P3o 習作題 1、2、3、4、選做：P3212、13課 題：3.1導數(shù)的概念（一）教學目的：1.理解導數(shù)的概念，理解導數(shù)的幾何意義與基本物理意義。2 .理解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系，即連續(xù)是可導的必要面非充分條件。3 .了解函數(shù)可導的充要條件：f（x0）存在仁f%x0）=f（x0）教學

42、重點：導數(shù)的概念及其幾何意義教學難點：導數(shù)的幾何意義課型：講授課課時：2課時教學過程一、導入新課（一）兩個實例1.變速直線運動的瞬時速度一個質點在一條直線上運動,所經過白路程s是時間t的函數(shù)s = f.如果質點是作勻速直線運動，質點的運動速度v等于路程s與時間t之比，即如果質點是作變速直線運動，它的速度隨時間變化而變化.現(xiàn)討論質點在某一時刻t = t0 時的速度v(3,即瞬時速度.質點從時刻t0到t0十人這段時間問隔內，質點從位置Enfa。)移動到S= f(t0+型)，質 點經過的路程為：_ f(t0:t)- f(t0)v =質點的平均速度為：t .當較小時，平均速度V可近似地表示質點在時刻t

43、0的速度.且At越小，這種近似程度 也越好.lim f&f(t0)令At T 0,如果 N At 存在，則稱平均速度V的極限為質點在 .f(t。：t)-f(t0)時亥h0的瞬時速度，即V(t)=四面 .2.切線問題切線的一般定義：設有曲線c ： y= f(x)及c上的一點m (圖31),在點M外另取C上一點N，作割線MN，當點N沿曲線C逐漸趨于點M時，割線MN繞 點M旋轉，而逐漸趨于極限位置MT ,直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.這 里極限位置的含義：只要弦長 MN趨于零，/NMT也趨于零.C設M(x0，y0)是曲線C上的一點(圖32)，則y0 = f(x0).在點M外另取C上tan ；：

44、 _y-y0 _ f(x)-f(x0)一點N(x,y),割線MN的斜率為：x-&-x0其中中為割線MN的傾角，當點lim f(x)-f(x()N沿曲線C趨于點M時，XT x0 ,如果 黑)X-Xo存在，則此極限就是切線 MT的斜率k =tan”,其中1a是切線mt的傾角.上面兩個實際問題，雖然其實際意義不同，但解決問題的方法相同.都歸結為求函數(shù)增量lim f(x)-f(xo)與自變量增量之比的極限：X以 X-Xof (XoX) - f (%)LX其中M = X -Xo，稱為自變量增量y = f(X)-f(Xo) = f(X +X)_f(X),稱為相應于自變量增量Ax的函數(shù)增量.在物理學、化學、

45、生物學、經濟學等科學領域中，還有許多實際問題，如線密度、 電流、反應速度等，都可歸結為函數(shù)對于自變量的變化率即函數(shù)的導數(shù).二、講授新課一一1、導數(shù)的概念(1)函數(shù)y = f(x)在點xo處的導數(shù)設函數(shù)y = f (X應點Xo處的某一鄰域內有定義，當自變量 X在點Xo處有增量x(Ax #。Xo +Ax仍在該鄰域內時，相應地，函數(shù)有增量 Ay = f (xo+Ax )-f(xo ),若極限 虬虬Xo +丁- f(X。)存在，則稱f(X)在點X。處可導，并稱此極限值為f(XXo處的導數(shù)，記為f(Xo ),也可記為y(Xo ),yjddyX,甯、，即f僅0)二鳴如翦f XoX - f XoLXf Xo

46、h - f Xo若極限不存在，則稱y = f (x X點xo處不可導。令Ax=h, fd)可表示為：f (xo )= lim問：h雪Xo2h)XoL?若固定Xo ,令Xo+Ax=x,則當Axt 0時，有XT Xo,所以函數(shù)f(x)在點Xo處的導數(shù)f X - f xof (xo 也可表小為f (xo、= lim 0xfx - xo(2)函數(shù)y=f(X)的導函數(shù)或 df(X).顯然，y=f(x) dx如果函數(shù)y=f(X)在開區(qū)間I上的每一點都可導，就稱函數(shù)f(X)在開區(qū)間I上可 導，這時，Vx- I都對應f(X)的一個確定的導數(shù)值，這樣就成了一個新的函數(shù)成為函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)，簡稱導數(shù)，記作

47、y，f (X),崇,在點Xo處的導數(shù)f (Xo ),就是導函數(shù)f (X )在Xo處的函數(shù)值，即f(Xo )= f(XX = X02、左導數(shù)與右導數(shù)(1)函數(shù)f(X)在點Xo處的左導數(shù)(2)函數(shù)f(X)在點Xo處的右導數(shù)定理y= f (x )在點Xo可導u 口% )= f x )例1 求函數(shù)y=x2在任意點X處的導數(shù)，并求dy dx解：在 X 處給自變量一個增量Ax ,相應函數(shù)增量為222y = f X 工X f X = x ，x- x = 2x，x lx ,于是”=2x+Ax,Xlim = Jim(2x+&x )= 2x ;即(x2)=2x;則 dy xi* -1 =-2 dx一般地(xu j

48、 =uxu ( u為任意實數(shù))注：求f Vo將先求f(X),再將X用Xo代替。3、導數(shù)的幾何意義函數(shù)y = f(X禰點Xo的導數(shù)f (Xo )在幾何上表示曲線y = f (x)在點(Xo , f(Xo )處切 線的斜率。(1)若f(Xo)存在，則曲線y=f(x)在點(Xo , f(Xo)切線方程為y - yo = f Xo x - Xo1當 f(Xo)#o時，則過(Xo,f(Xo )的法線方程為：y-yo = -、(X-Xo)f Xo當f(Xo)=O時，法線方程X=Xo(2)若f (Xo ) = 8 ,則切線垂直于X軸，切線方程：X = Xo例2 求拋物線y =X2在點(1,1)處的切線方程和法線方程。解： y/ =(X2)/ =2X二切線斜率 k = yx2=2Xxw=2切線方程：y -1 =2(x ”即 y