還原法倒推法解決假設(shè)法方程法解決問答

1、數(shù)學(xué)廣角：雞兔同籠知識(shí)點(diǎn)一：“雞兔同籠”問題的特點(diǎn)例題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有 例 個(gè)頭,從下面數(shù)，有 例只腳。雞和 兔各有多少只？題型特點(diǎn)：雞兔同籠是已知雞、兔的總頭數(shù)和總腳數(shù)，求其中雞和兔務(wù)有多少只的問題。請(qǐng)你用“一”畫出下面題中相當(dāng)于總頭數(shù)的數(shù)據(jù)，用“一一”畫出下面題中相當(dāng)于總腳數(shù)的數(shù)據(jù)。1、 大油瓶每瓶裝4千克，小油瓶2瓶裝1千克，現(xiàn)有100千克油裝了共60個(gè) 瓶子。問大小油瓶各多少個(gè)？2、 動(dòng)物園里里飼養(yǎng)一群丹頂鶴和一群猴子，數(shù)眼睛共46只，數(shù)腳72只，丹頂鶴和猴子各多少只？知識(shí)點(diǎn)二：“雞兔同籠”問題的解題方法例題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有 8個(gè)頭.從下面數(shù)，有

2、26只腳。雞和兔各有多少只？方法一：列表法。（先從雞是8只，兔是0只開始，雞的只數(shù)逐漸減少，兔的只數(shù)逐漸增加，直到出現(xiàn)答案為止）雞的只數(shù)876543210兔的只數(shù)012345678總腳數(shù)161820222426283032通過列表，得出雞有3只，兔有5只。溫馨提示：用列表法可以解決問題，但當(dāng)數(shù)據(jù)較大時(shí)，過程就很繁瑣請(qǐng)你試一試：1、雞兔同籠，頭共12個(gè)，足共34只，求雞與兔各有多少只？雞的只數(shù)兔的只數(shù)總腳數(shù)通過列表，得出雞有（）只，兔有（）只2、鶴龜同池，鶴比龜多12只，鶴龜足共72只，求鶴龜各有多少只?通過列表，得出龜有（）只，鶴有（）只。3、在知識(shí)競(jìng)賽中，有10道判斷題，評(píng)分規(guī)定：每答對(duì)一題

3、得2分，答錯(cuò)一題要倒扣一分。小明同學(xué)雖然答了全部的題目，但最后只得了 14分，請(qǐng)問，他答錯(cuò)了幾題？通過列表，可知道小明答錯(cuò)了（）題方法二：假設(shè)法。（可以假設(shè)籠子里全是雞，或者假設(shè)籠子里全是兔）例題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有 8個(gè)頭,從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有多少只？假設(shè)籠子里全是雞：（假設(shè)全是雞時(shí)可得出兔的只數(shù)）兔的只數(shù)：（262X8） + （4 2） =1 （總腳數(shù)一2 X雞兔總數(shù)）+ （4 2）=（26 16） +2=10 +2=5 （只）雞的只數(shù)：8-5=3 （只）（總只數(shù)一兔的只數(shù)）假設(shè)籠子里全是兔：（假設(shè)全是兔時(shí)可得出雞的只數(shù)）雞的只數(shù)：（4X8 26） + （4 2

4、）（4X雞兔總數(shù)一總腳數(shù)）+ （4 2）=（3226） +2=6 +2=3 （只）兔的只數(shù)：8-3=5 （只）U （總只數(shù)一雞的只數(shù)）你能行！1、雞兔同籠，雞兔共35個(gè)頭，94條腿，問雞兔各多少只？2、小華買了 2元和5元紀(jì)念郵票一共34張，用去98元錢。求小華買了 2元和5元的紀(jì)念郵票各多少張？3、在一個(gè)停車場(chǎng)上，停了汽車和摩托車一共32輛。其中汽車有4個(gè)輪子，摩托車有3個(gè)輪子，這些車一共有 108個(gè)輪子。求汽車和摩托車各有多少輛？方法三：列方程解。（可以設(shè)雞為 X只，也可以設(shè)兔為X只）例題：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有兔各有多少只？解：設(shè)雞有X只4X （8-X） +2X=2632-4

5、X + 2X=262X=6X=38-3=5 （只）答：雞有3只，兔有5只。你能列方程解答嗎？8個(gè)頭,從下面數(shù)，有 26只腳。雞和解：設(shè)兔有X只4X+2X （8-X） =264X + 16 2X=262X=10X=58-5=3 （只）1、大油瓶每瓶裝4千克，小油瓶2瓶裝1千克，現(xiàn)有100千克油裝了共60個(gè)瓶子。問大小油瓶各多少個(gè)？2、班主任張老師帶五年級(jí)（2）班50名同學(xué)栽樹，張老師栽 5棵，男生每人栽3棵，女生每人栽2棵，總共栽樹120棵，問幾名男生，幾名女生?3、雞兔同籠，兔比雞少20只，腳數(shù)共262只。雞、兔各有多少只?小結(jié)：“雞兔同籠”問題的解題方法1、列表法如果籠中全是雞，那么共有腳2

6、X8=16 （只）；如果籠中全是兔，那么共有腳4X8 = 32 （只），而題目所給的腳數(shù)是 28只，接近于雞而遠(yuǎn)離于兔的腳數(shù)，可見雞少兔多。我們可以以雞為例，由小到大列出下表：頭腳頭腳頭腳增喜、種類8301028826兔728624520雞122436由表可知答案，兔5只，雞3只。3、還有置換法假設(shè)籠中全是雞，則總腳數(shù)為2X8 = 16 （只），這與所給的26只腳不符，說 明籠中必有兔?，F(xiàn)可用置換法進(jìn)行調(diào)整，用一只兔換出一只雞，頭數(shù)不變，腳數(shù)卻增加2只，于是在腳的差數(shù)26 16 = 10 （只）中，包含幾個(gè)2只，就需 要用幾只兔換出幾只雞，由于10+2 = 5,所以兔5只，雞3只，其兔數(shù)列綜合

7、 算式為：（262X8） + （4 2）。3、計(jì)算的方法假設(shè)每只雞一只腳，每只兔兩只腳，這樣，雞、兔總腳數(shù)為26+2 = 13 （只），由于雞一頭一腳，兔一頭兩腳，這時(shí)腳頭數(shù)的差是13 8=5 （只），這便是兔的只數(shù)，列綜合算式為：26+2 8,即兔5只，雞3只。假設(shè)把籠中的每只雞兔的腳都砍去 2只，則剩余腳數(shù)為26 （2X8） =10（只）, 這時(shí)雞的腳砍完了，余下的10只腳全是兔的，因?yàn)槊恐煌?只腳，砍去2只 腳，還剩下2只腳，于是兔為10+2 = 5 （只），雞有85 = 3 （只）4、方程法解：設(shè)兔有x只，則雞有（10x）只。4x+2X(8x) = 264x + 162x =262x

8、+ 16 =262x + 1616 =26 162x =102x+2 =10+2 X =5 8-5 =3（只） 解方程得兔5只，雞3只。知識(shí)點(diǎn)三：“雞兔同籠”問題的例題分析例1小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個(gè)，數(shù)腳有44只。問：小 梅家的雞與兔各有多少只？分析：假設(shè)16只都是雞，那么就應(yīng)該有2X16 = 32 （只）腳,但實(shí)際上有44只腳，比假設(shè)的情況多了 44-32 =12 （只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當(dāng)作雞了。如果我們以同樣數(shù)量的兔去換同樣數(shù)量的雞，那么每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)增加了2只。因此只要算出12里面有幾個(gè)2,就可以求出兔的只數(shù)。解：有兔（44-2 X16） + （4-2

9、） =6 （只），有雞 16-6 =10 （只）。答：有6只兔，10只雞。當(dāng)然，我們也可以假設(shè)16只都是兔子，那么就應(yīng)該有4X16 = 64 （只）腳，但實(shí)際上有44只腳，比假設(shè)的情況少了 64-44=20 （只）腳，這是因?yàn)榘央u當(dāng)作兔了。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)減少了 4-2 =2 （只）。因此只要算出20里面 有幾個(gè)2,就可以求出雞的只數(shù)。有雞（4X16-44 ） + （4-2） =10 （只），有兔1610 = 6 （只）。由例1看出，解答雞兔同籠問題通常采用假設(shè)法，可以先假設(shè) 都是雞，然后以兔換雞；也可以先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。因 此這類問題也叫置換問題。例2

10、100個(gè)和尚140個(gè)饃，大和尚1人分3個(gè)饃，小和尚1人分1 個(gè)饃。問：大、小和尚各有多少人？分析與解：本題由中國(guó)古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如果 將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同 籠問題，可以用假設(shè)法來解。假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃 300個(gè)，比實(shí)際多300 140 =160 （個(gè)）。現(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個(gè)總?cè)藬?shù)不 變，而饃就要減少3 1 = 2 （個(gè)），因?yàn)?60 +2=80,故小和 尚有80人，大和尚有100 -80 = 20 （人）。同樣，也可以假設(shè)100人都是小和尚，同學(xué)們不妨自己試試。在下面的例題中，我們只給出一種假設(shè)方法。例3彩色文

11、化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種 文化用品共買了 16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多 少套？分析與解：我們?cè)O(shè)想有一只“怪雞”有 1個(gè)頭11只腳，一種“怪 兔”有1個(gè)頭19只腳，它們共有16個(gè)頭，280只腳。這樣，就將 買文化用品問題轉(zhuǎn)換成雞兔同籠問題了。假設(shè)買了 16套彩色文化用品，則共需19X16 = 304 （元）， 比實(shí)際多304 280 =24 （元），現(xiàn)在用普通文化用品去換彩色 文化用品，每換一套少用1911=8 （元），所以買普通文化用品24母=3 （套），買彩色文化用品16-3=13 （套）。例4雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只

12、？分析：假設(shè)100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而 兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比兔腳多 200只，而實(shí)際上只多20只， 這說明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實(shí)際上多 200 20=180（只）?，F(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少 2只，兔腳增加4只，即 雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會(huì)減少 4 + 2 = 6 （只），而180y= 30, 因此有兔子30只，雞100 30=70 （只）。解：有兔（ 2X100 20） + （2+4） =30 （只），有雞100 30=70 （只）。答：有雞70只，兔30只例5現(xiàn)有大、小油瓶共50個(gè)，每個(gè)大瓶可裝油4千克，每個(gè)小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問

13、：大、小瓶各有多少個(gè)？分析：本題與例4非常類似，仿照例4的解法即可。解：小瓶有（4 X50-20 ） + （4 + 2） =30 （個(gè)），大瓶有50-30 =20 （個(gè)）。答：有大瓶20個(gè)，小瓶30個(gè)。例6 一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛, 已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝 4噸，那么這批鋼材有多少噸？分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡 車能裝多少噸。利用假設(shè)法，假設(shè)只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因?yàn)槊?輛大卡車比每輛小卡車多裝 4噸，所以要剩下4X36=144 （噸）。 根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9 （輛）小卡車。這 樣每輛小

14、卡車能裝144兇= 16（噸）。由此可求出這批鋼材有多少 噸。解：4X36 + (45-36 ) X45=720 (噸)答：這批鋼材有720噸。例7樂樂百貨商店委托搬運(yùn)站運(yùn)送500只花瓶，雙方商定每只運(yùn)費(fèi) 0.24元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運(yùn)費(fèi)，而且還 要賠償1.26元，結(jié)果搬運(yùn)站共得運(yùn)費(fèi)115.5元。問：搬運(yùn)過程中共 打破了幾只花瓶？分析：假設(shè)500只花瓶在搬運(yùn)過程中一只也沒有打破，那么應(yīng) 得運(yùn)費(fèi)0.24 X500=120 （元）。實(shí)際上只得到115.5元，少得 120-115.5=4.5（元）。搬運(yùn)站每打破一只花瓶要損失 0.24 + 1.26= 1.5 （元）。因此共打破

15、花瓶 4.5+1.5 = 3 （只）。解：（0.24 X500 115.5 ） + （0.24 + 1.26） = 3 （只）。答：共打破3只花瓶。例8小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了 2分鐘，然后兩人各跳了 3 分鐘，一共跳了 780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳 12下，那么 小喜比小樂共多跳了多少下？分析與解：利用假設(shè)法，假設(shè)小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣， 那么兩人跳的總數(shù)減少了12X (2 + 3) =60 (下)可求出小樂每分鐘跳（780 60） + （2 + 3 + 3） =90 （下），小樂一共跳了 90 X3=270 （下），因此小喜比小樂共多跳780 270 X2 = 240

16、（下）。練習(xí)131 .雞、兔共有頭100個(gè)，腳350只，雞、兔各有多少只？2 .學(xué)校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副 跳棋，恰好可供120個(gè)學(xué)生進(jìn)行活動(dòng)。問：象棋與跳棋各有多少副？3 .班級(jí)購買活頁簿與日記本合計(jì) 32本，花錢74元?；铐摬?每本1.9元，日記本每本3.1元。問：買活頁簿、日記本各幾本？4 .龜、鶴共有100個(gè)頭，鶴腿比龜腿多20只。問：龜、鶴各 幾只？5 .小蕾花40元錢買了 14張賀年卡與明信片。賀年卡每張 3元5角，明信片每張2元5角。問：賀年卡、明信片各買了幾張?6 . 一個(gè)工人植樹，晴天每天植樹20棵，雨天每天植樹12棵, 他接連幾天共植樹112棵，平

17、均每天植樹14棵。問：這幾天中共 有幾個(gè)雨天？7 .振興小學(xué)六年級(jí)舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有 20道試題。做對(duì)一題 得5分，沒做或做錯(cuò)一題都要扣 3分。小建得了 60分，那么他做 對(duì)了幾道題？8 .有一批水果，用大筐80只可裝運(yùn)完，用小筐120只也可裝 運(yùn)完。已知每只大筐比每只小筐多裝運(yùn) 20千克，那么這批水果有 多少千克？9 .蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀，蟬有6條腿和 1對(duì)翅膀。現(xiàn)有三種小蟲共18只，有118條腿和20對(duì)翅膀。問： 每種小蟲各有幾只？10 .雞、兔共有腳100只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有 腳92只。問：雞、兔各幾只？知識(shí)點(diǎn)四：“雞兔同籠”問題解法的應(yīng)用1、全班46人去

18、劃船，共乘12只船，其中大船每只坐5人，小船每只坐3人,求大船和小船各有多少只?2、王老師圓珠筆和鋼筆共買了 15支，圓珠筆每支1.5元，鋼筆每支4.5元，共花了 49.5元，圓珠和鋼筆各買了幾支？3、小剛買回8分郵票和4分郵票共100張，共付出6.8元，問，小剛買回這兩種郵票個(gè)多少張？各付出多少元？4、鶴龜同池，鶴比龜多12只，鶴龜足共72只，求鶴龜各有多少只?5、小毛參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共做 20道題，得64分，已知做對(duì)一道得5分，不做得0分,錯(cuò)一題扣1分，又知道他做錯(cuò)的題和沒做的同樣多。問小毛做對(duì)幾道題？6.有蜘蛛，蜻蜓，蟬三種動(dòng)物共 18只，共有腿118條，翅膀20對(duì)（蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，2對(duì)翅膀；蟬6條腿，1對(duì)翅膀），三種動(dòng)物各幾只？7、東風(fēng)小學(xué)有3名同學(xué)去參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，一份試卷共10道題，答對(duì)一題得10分，答錯(cuò)一道不但不得分，還要扣去3分，這3名同學(xué)都回答了所有的題目，小 明得74分，小華得22分，小紅得87分，他們?nèi)斯泊饘?duì)多少題?8、某運(yùn)輸隊(duì)為超市運(yùn)送暖瓶500箱，每箱裝有6個(gè)暖瓶。已知每10個(gè)暖瓶的運(yùn)費(fèi)為5元，損壞一個(gè)的話不但不給運(yùn)費(fèi)還要陪成本 10元，運(yùn)后結(jié)算時(shí)，運(yùn)輸隊(duì)共得1350元的運(yùn)費(fèi)。問、共損壞了多少只暖瓶？9、蜘蛛有8