2018年人教版高中數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修四知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)1.1 . 1任意角1 .角的有關(guān)概念：角的定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.角的名稱：始邊角的分類：C15°A正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角彳零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角戶-哼V%負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角/&K.注意：/在不引起混淆的情況下，“角a ”或“/ a ”可以簡(jiǎn)化成“ a "零角的終邊與始邊重合，如果a是零角a =0。；醞、角的概念經(jīng)過推廣后，已包括正角、負(fù)角和零角.2 .象限角的概念：定義：若將角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊（端點(diǎn)除外）

2、在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角.1.1.2弧度制（一）1.定義我們規(guī)定，長(zhǎng)度等于半徑的弧所對(duì)的圓心角叫做 1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫 做弧度制.在弧度制下,1弧度記做1rad.在實(shí)際運(yùn)算中，常常將rad單位省略.弧度制的性質(zhì)：半圓所對(duì)的圓心角為工二二;r正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù).零角的弧度數(shù)是零.4.角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換：將角度化為弧度：整圓所對(duì)的圓心角為2工二2二.r負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù).角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值| a |=-.r- 三，n 二 .360* = 2n；180、=n；1* = 一比 0.01745rad ; n0=一rad.180180將弧度化為角度:180180

3、n2n=360口；=180° 1rad =()隈57.30' = 57口 18 ; n =( /.HJI5 .常規(guī)寫法：用弧度數(shù)表示角時(shí)，常常把弧度數(shù)寫成多少冗的形式，不必寫成小數(shù).弧度與角度不能混用.6 .特殊角的弧度角 度0030045°60°90°120°135°150°180°270°360°弧031冗冗312n3n5n3n2n度6432346冗27.弧長(zhǎng)公式a = = l = r 他 r弧長(zhǎng)等于弧所對(duì)應(yīng)的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對(duì)值與半徑的積.4-1.2.1任意角的三角函數(shù)（三）

4、1 .三角函數(shù)的定義2 .誘導(dǎo)公式sin（2k，：工）=sin 二（k Z）cos（2k：-. 匕）=cos-：（k Z）tan（2k ,，：£）=tan ： （k Z）當(dāng)角的終邊上一點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足Jx2 + y2 =1時(shí),有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何 表示一一三角函數(shù)線。1 .有向線段：坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致時(shí)為正，與坐標(biāo)方向相反時(shí)為負(fù)。有向線段：帶有方向的線段。2 .三角函數(shù)線的定義：設(shè)任意角口的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O ,始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與點(diǎn)P （x,y）,當(dāng)角口的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有向線段

5、 OM =x,MP = y ,于是有sin豆= Y= Y = y = MP , cosa = x = = x = OM , tan豆= AT r 1r 1x OM OA我們就分別稱有向線段MP,OM ,AT為正弦線、余弦線、正切線。說明：(1)三條有向線段的位置：正弦線為口的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直線段；余弦線在 x軸上；正切線在過單位圓與x軸正方向的交點(diǎn)的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)， 一條在單位圓外。(2)三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向a的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向 垂足；正切線由切點(diǎn)指向與G的終邊的交點(diǎn)。(3)三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與 x軸或y軸

6、同向的為正值，與x軸或y軸反向的為負(fù)值。(4)三條有向線段的書寫：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后面。4-1.2.1任意角的三角函數(shù)(1)1.三角函數(shù)定義在直角坐標(biāo)系中，設(shè)a是一個(gè)任意角，a終邊上任意一點(diǎn)P (除了原點(diǎn))的坐標(biāo)為(x,y), 它與原點(diǎn)的距離為r(r = J| x|2 +| y|2 = Jx2 +y2 >0),那么(1)比值叫做a的正弦，記作since ,即since =-；(2)比值-叫做a的余弦，記作cosa ,即cosa =-； rr(3)比值Y叫做a的正切，記作tana ,即tana =；(4)比值叫做a的余切，記作cot a ,即cot a =-；說明：a的始

7、邊與x軸的非負(fù)半軸重合，a的終邊沒有表明a一定是正角或負(fù)角，以及a 的大小，只表明與a的終邊相同的角所在的位置；根據(jù)相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角a,四個(gè)比值不以點(diǎn)P(x,y)在a的終邊上的位置的改變而改變大小;當(dāng)a=a+kn(kWZ)時(shí)，a的終邊在y軸上，終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo) x都等于0,=2無意義;y工、)分別是一個(gè)確定的實(shí)數(shù), x y所以tana ='無意義；同理當(dāng)a=kn(kWZ)時(shí)，cot« x除以上兩種情況外，對(duì)于確定的值a ,比值且、x r r正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上四種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。2.三角函數(shù)的定義域、值域函 數(shù)

8、定 義域值域y =sin aR-1,1y = cos«R-1,1y =tan«jia |a /一+內(nèi)&亡 Z 2R3注意：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究角的問題，其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合.(2) a是任意角，射線OP是角a的終邊，a的各三角函數(shù)值(或是否有意義)與 ox轉(zhuǎn)了幾 圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)到OP的位置無關(guān).“ a ”的積.其余五個(gè)符號(hào)也是這樣.(3)sin 口是個(gè)整體符號(hào)，不能認(rèn)為是“ sin”任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別：銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎(chǔ)共建立于相似(直角)三角形 的性質(zhì)，“r”同為

9、正值.所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，任意角的三角函 數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來定義的，它也適合銳角三角函數(shù)的定義.實(shí)質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認(rèn)識(shí)和研究過 程.(5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性， 將直角三角形置于平面直角坐 標(biāo)系的第一象限，使一銳角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，一直角邊與 x軸的非負(fù)半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶.3.例題分析例1.求下列各角的四個(gè)三角函數(shù)值:(1) 0;(2)立；(3)(通過本例總結(jié)特殊角的三角函數(shù)值)3 二解：(1)因?yàn)楫?dāng)sin0 =0 ,(2)因?yàn)楫?dāng) sin冗

10、=0 , (3)因?yàn)楫?dāng)口 =0時(shí)，x = r , cos0 =1, =n 時(shí)，x = -r , cos -： - -1 ,3 二 r r=時(shí)，x = 0 ,22y = 0,所以tan0 = 0,y=0,所以tann = 0 ,y 二 .r ,所以cot 0不存在。COtn不存在,3 二sin =一1 ,23 二cos=0 ,2.3二 丁一tan不存在,23 二cot=0 ,2例2.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2, -3),求a的四個(gè)函數(shù)值。 解：因?yàn)閤 =2, y = 3 ,所以r = j22+(3)2 =而,于是y sin -=rtan - =1 =x-3 _ 3,13 而二-3；2x 22 1

11、3cos 工=r . 1313, x 2cota =一 =-.y 3例3.已知角a的終邊過點(diǎn)(a,2a)(a #0),求a的四個(gè)三角函數(shù)值。解：因?yàn)檫^點(diǎn)(a,2a)(a=0),所以r=T5|a|,當(dāng)a-0時(shí),sin -當(dāng) a ：二0時(shí),sin2a 2a 2.5 cos：.5 | a |5a52a2a 2 5x = a, y = 2ax a 5a7=；/5a=V； tana=2；cota=;seca25;csc :xcos- =一 r4.三角函數(shù)的符.5|a |- 5a5atan: = 2;cot - =- ;sec：2匚 一55;csc -二 一 2由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)

12、，我們可以得知:正弦值?對(duì)于第一、二象限為正（y>0,r >0）,對(duì)于第三、四象限為負(fù)（y <0,r>0）； r余弦值個(gè)對(duì)于第一、四象限為正（x>0,r >0）,對(duì)于第二、三象限為負(fù)（x<0,r >0）； r正切值對(duì)于第一、三象限為正（x,y同號(hào)），對(duì)于第二、四象限為負(fù)（x,y異號(hào)）.x說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。5.誘導(dǎo)公式由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有：sin（a +2kn） =sin a ,cos（a +2kn） =cosa ,其中 kw Z .tan（a +2kn） = tana ,這組

13、公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為02冗間角的三角函數(shù)值問題.4-1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（一）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：1.由三角函數(shù)的定義，我們可以得到以下關(guān)系:(2)平方關(guān)系：sin2 a +con2a =1(1)商數(shù)關(guān)系：tana = sin</con：說明：注意“同角”，至于角的形式無關(guān)重要，如sin24«+cos2 4a =1等;注意這些關(guān)系式都是對(duì)于使它們有意義的角而言的，如,， k二tan - cot - =1（-:,k Z）;2對(duì)這些關(guān)系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運(yùn)用（正用、反用、變形用） ，如：. 2 .,2 . sin ;坐cosu=&

14、#177;V1-sin 豆， sin 口 =1cosu,cos« =等。tan ;總結(jié)：1 .已知一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，便可運(yùn)用基本關(guān)系式求出其它三角函數(shù)值。 在求值中， 確定角的終邊位置是關(guān)鍵和必要的。有時(shí)，由于角的終邊位置的不確定，因此解的情況 不止一種。2 .解題時(shí)產(chǎn)生遺漏的主要原因是：沒有確定好或不去確定角的終邊位置；利用平方關(guān) 系開平方時(shí)，漏掉了負(fù)的平方根。小結(jié)：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，化簡(jiǎn)的一般要求是：（1）盡量使函數(shù)種類最少，項(xiàng)數(shù)最少，次數(shù)最低；（2）盡量使分母不含三角函數(shù)式；（3）根式內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開出來；（4）能求得數(shù)值的應(yīng)計(jì)算出來，其次要注意在三角函數(shù)式變形時(shí)，常

15、將式子中的“1”作巧妙的變形，1、誘導(dǎo)公式（五）jisin(-二)二cos：cos' - 二)=sin-：2、誘導(dǎo)公式（六）nsin（二）=cos;2cos（二）2總結(jié)為一句話：函數(shù)正變余，符號(hào)看象限任意負(fù)角的任意正角的003600 間角公式或二 ,1 、的三角函數(shù)丁用囪數(shù),丁用囪數(shù)2a八耿44巴A小結(jié)：三角函數(shù)的簡(jiǎn)化過程圖:00900間角的三角函數(shù)查表求值三角函數(shù)的簡(jiǎn)化過程口訣：負(fù)化正，正化小，化到銳角就行了1.4.1正弦、余弦函數(shù)的圖象1、用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（幾何法）：為了作三角函數(shù)的圖象，三角函數(shù)的自變量要用弧度制來度量，使自變量與函數(shù)值都為實(shí)數(shù)

16、（1）函數(shù)y=sinx的圖象第一步：在直角坐標(biāo)系的x軸上任取一點(diǎn)。1,以01為圓心作單位圓，從這個(gè)圓與x軸的 交點(diǎn)A起把圓分成n（這里n=12）等份.把x軸上從0到2九這一段分成n（這里n=12）等份.（預(yù) 備：取自變量x值一弧度制下角與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)）.第二步：在單位圓中畫出對(duì)應(yīng)于角 0,土，工，2冗的正弦線正弦線（等價(jià)于“列632表”）.把角x的正弦線向右平行移動(dòng)，使得正弦線的起點(diǎn)與x軸上相應(yīng)的點(diǎn)x重合，則正弦線的終點(diǎn)就是正弦函數(shù)圖象上的點(diǎn)（等價(jià)于“描點(diǎn)” ）.第三步：連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點(diǎn)連結(jié)起來，就得到正弦函數(shù)y=sinx , x0 , 2兀的圖象.根據(jù)終邊相同的同名三角函數(shù)值

17、相等，把上述圖象沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動(dòng), 每次移動(dòng)的距離為2冗,就得到y(tǒng)=sinx , xCR的圖象.把角x（xWR）的正弦線平行移動(dòng)，使得正弦線的起點(diǎn)與x軸上相應(yīng)的點(diǎn)x重合，則正弦線的終點(diǎn)的軌跡就是正弦函數(shù)y=sinx的圖象.（2）余弦函數(shù)y=cosx的圖象根據(jù)誘導(dǎo)公式cosx=sin(x+工)，可以把正弦函數(shù)y=sinx的圖象向左平移 三單位即得余弦 22函數(shù)y=cosx的圖象.yy=cosxZ1-6兀、51/ -4 J7M' -2-1、”/2n 7二4nx_5/' 6/正弦函數(shù)y=sinx的圖象和余弦函數(shù)y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.2.用五點(diǎn)法

18、作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(描點(diǎn)法)：正弦函數(shù)y=sinx ,xC 0,2冗的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0) ，1) (%0) ( 31 ,-1) (2兀,0)余弦函數(shù)y=cosx x w0,2兀的五個(gè)點(diǎn)關(guān)鍵是哪幾個(gè)？ (0,1) (1,0) (%-1) (5,0) (2%1)1.4.2正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)1.周期函數(shù)定義：對(duì)于函數(shù)f (x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使彳3當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一 個(gè)值時(shí)，都有：f(x+T)=f(x) 那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù) T叫做這個(gè)函數(shù) 的周期。問題：(1)對(duì)于函數(shù)y=sinx, xw R有sin(土+空)=sin4 ,能否說 圓是它

19、的周期？6363(2)正弦函數(shù)丫=$*, xWR是不是周期函數(shù)，如果是，周期是多少？ ( 2版,kZ且k*0)(3)若函數(shù)f(x)的周期為T,則kT, kwZ*也是f(x)的周期嗎？為什么？(是，其原因?yàn)椋篺(x)= f(x+T)= f(x+2T)=|= f(x+kT)2、說明：1 口周期函數(shù)xw定義域M,則必有x+T-M,且若T>0則定義域無上界；T<0則定義域無下界；2 ”每一個(gè)值”只要有一個(gè)反例，則f (x)就不為周期函數(shù)(如f (x 0+t)¥f(x 0)37往往是多值的(如y=sinx 2冗,4 %,-2冗,-4兀,都是周期)周期T中最小的正數(shù)叫做f (x)的最

20、小正周期(有些周期函數(shù)沒有最小正周期)y=sinx, y=cosx的最小正周期為2n(一股稱為周期) 從圖象上可以看出y=sinx, xR; y=cosx, x R的最小正周期為2冗；判斷：是不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期？( f (x) =c沒有最小正周期)說明：(1) 一般結(jié)論：函數(shù)y = Asingx+平)及函數(shù)y = Acosx +邛)，xR (其中A,缶,中 為常數(shù)，且A#0, 0 >0)的周期T =空；co1 二(2)右缶 <0,如： y =3cos(x)； y =sin(2x)； y =2sin( x-) , x= R .2 6則這三個(gè)函數(shù)的周期又是什么？2一般結(jié)論

21、：函數(shù)y =Asin(ox+邛)及函數(shù)y = Acos(cx+中)，xwR的周期T= 卜 11.4.2(2)正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)(二)1 .奇偶性(1)余弦函數(shù)的圖形當(dāng)自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，函數(shù) y取同一值。(2)正弦函數(shù)的圖形2 .單調(diào)性3二A y = sinx , x ,一 的圖象上可看出：2 2當(dāng)x 時(shí)，曲線逐漸上升，sinx的值由一1增大到1.當(dāng)乂I，學(xué)時(shí)，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到一1.結(jié)合上述周期性可知：正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間 1+2kTt , 1+2kTt (kCZ)上都是增函數(shù)，其值從一1增大 到1;在每一個(gè)閉區(qū)間1+2kTt , y+2k：t (kCZ)上都是減函數(shù)

22、，其值從1減小到一1. 余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間(2k 1)冗，2k冗(kCZ)上都是增函數(shù)，其值從一1增力口至I 1; 在每一個(gè)閉區(qū)間2k：t , (2k +1)冗(k CZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到一1.3.有關(guān)對(duì)稱軸觀察正、余弦函數(shù)的圖形，可知y=sinx的對(duì)稱軸為x=kn + k Z y=cosx的對(duì)稱軸為x=kn k Z21.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象1.正切函數(shù)y = tanx的定義域/x| x" + kjkw z 22 .正切函數(shù)是周期函數(shù)'：tan（x +兀） = tanx . xw R,且是 y =tanx xe R,且x#kn + ,k e z 1的一個(gè)

23、周期。2n是不是正切函數(shù)的最小正周期？下面作出正切函數(shù)圖象來判斷。3 .作 y =tanx , xw ' _土, j的圖 < 2 2 J說明：(1)正切函數(shù)的最小正周期 能比n小，正切函數(shù)的最小正周期n ;象不 是y=tanx xR,且x # + kn(k w z )的圖象，稱“正切曲線”。(2)根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖象向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)4.正切函數(shù)的性質(zhì)(1)定義域：？x | x+k/ k w z;；(2)值域：R 觀察：當(dāng)x從小于kn+?(kWz ), xskn+W時(shí)，tanx十七22當(dāng) x 從大于 二 十 kn(k w z ), x學(xué)+ kH 時(shí)，tan x

24、)00(3)周期性：T =n；(4)奇偶性：由tan(-x )= -tanx知，正切函數(shù)是奇函數(shù)；(5)單調(diào)性：在開區(qū)間-E+kn:+knwz內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增。 221.5函數(shù)y=Asin( wx+小)的圖象(二)、函數(shù)y = A sin(x +平)，x w 0,y)(其中A > 0戶a 0)的物理意義：函數(shù)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)：A:這個(gè)量振動(dòng)時(shí)離開平衡位置的最大距離，稱為“振幅”2 -T: t =往復(fù)振動(dòng)一次所需的時(shí) 間，稱為“周期”一1f : f ='=£-單位時(shí)間內(nèi)往返振動(dòng)的 次數(shù)，稱為“頻率”T 2 二ox+9：稱為“相位”.中：x=0時(shí)的相位，稱為“初相”.2.1

25、.1向量的物理背景與概念及向量的幾何表示（一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量。A（起點(diǎn)）1、數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小; 向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.2 .向量的表示方法：用有向線段表示；用字母a、b （黑體，印刷用）等表示；用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：AB ;向量AB的大小一長(zhǎng)度稱為向量的模，記作| AB |.3 .有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度 .向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無關(guān)，只要大小和方向相同，這兩個(gè)向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點(diǎn)、大

26、小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不 同的有向線段.4、零向量、單位向量概念：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作0. 0的方向是任意的. 注意0與0的含義與書寫區(qū)別長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量.，一說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小 .七二5、平行向量定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0與任一向量平行.說明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義（2）向量a、b、c平行，記作a / b / c2.1.2 相等向量與共線向量1、相等向量定義：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量說明：（1）向量a與b相等，記作a = b; （2）零向量與零向量相等;（3）任

27、意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)102、共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量，因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（與 有向線段的起點(diǎn) 無關(guān)）.說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系2.2.1 向量的加法運(yùn)算及其幾何意義1、向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.2、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）如圖，已知向量a、b.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作AB=a, BC=b,則向量AC叫做a與b的和，記作a+ b ,=AB + BC = AC ,規(guī)定： a

28、+ 0-= 0 + a（2）當(dāng)向量a與b不共線時(shí):a-ba+b*當(dāng)向量a與b不共線時(shí)，a+b的方向不同向，且a+b|<i a|+i b| ；當(dāng)a與b同向時(shí)，貝Ua+b、a、b同向，且|a + b|=| a |+| b | ,當(dāng)a與b反向時(shí)，若| a|>| b| ,則a+b的方向與a相同，且| a+b|=| a|-| b| ；若| a |<| b | ,則a +b的方向與b相同,且| a +b|=| b |-| a|.（3） “向量平移”（自由向量）：使前一個(gè)向量的終點(diǎn)為后一個(gè)向量的起點(diǎn)，可以推廣到n個(gè)向量連加3.1)加法的交換律和平行四邊形法則向量加法的平行四邊形法則（對(duì)于兩

29、個(gè)向量共線不適應(yīng)）2)向量加法的交換律：a + b =b + a11六、備用習(xí)題思考：你能用向量加法證明：兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？2.2.2 向量的減法運(yùn)算及其幾何意義1 .用“相反向量”定義向量的減法(1)“相反向量”的定義：與a長(zhǎng)度相同、方向相反的向量,記作-a(2)規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a.任一向量與它的相反向量的和是零向量,a + ( -a) = 0如果a、b互為相反向量，貝 a = -b, b = -a, a + b = 0(3)向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.即：a - b = a + ( -b)求兩個(gè)向量差的運(yùn)

30、算叫做向量的減法.2 .用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算：若b + x = a ，則x叫做a與b的差，記作a - b3 .求作差向量：已知向量 a、b,求作向量a - b(a -b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = aaO a *作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn) O,'/'b /" 一作 OA = a , AB = b 則 BA = aa-b即a - b可以表示為從向量b的終點(diǎn)G向向量a的終點(diǎn)的向量.注意：1 口 AB表示a - b.強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)2 。用“相反向量”定義法作差向量，a - b = a + ( -

31、b)12平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運(yùn)算1 .(1)我們把不共線向量6 1、6 2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量a在給出基底e 1、e 2的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時(shí)，分解形式惟一.入1,入2是被a, e；, e；唯一確定的數(shù)量2 .向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a、b,作oA=a, oB=b,則/ao由e,叫向量a、b 的夾角，當(dāng)e=o° , a、b同向，當(dāng)e=i8o° , a、b反向，當(dāng)日=90° , a與b垂直，記作a, b。3 .平面向量的坐標(biāo)表小(1)正交分解：把向量

32、分解為兩個(gè)互相垂直的向量。如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與 x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底. 任作一個(gè)向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) x、y ,使得 a = xi yj2我們把(x, y)叫做向量a的(直角)坐標(biāo)，記作a=(x,y)其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)表示.與a機(jī)等的向量的坐標(biāo)也為(x,y).特別地，i =(1,0) , j = (0,1), 0= (0,0).如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn) O為起點(diǎn)作OA = a,則點(diǎn)A的位置由a唯一確定.設(shè)OA = xi +yj ,則向量OA的坐標(biāo)(x, y)就是點(diǎn)A的坐標(biāo)；

33、反過來，點(diǎn) A的坐標(biāo)(x, y)也就是向量OA的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示2. 3. 3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算13(1) 若 a=(xi,yi), b=(x2,y2),則 a+b = (xi + X2, yi + y2) , a b = (xi X2, yi y2)兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.(2)若 a=(x,y)和實(shí)數(shù)九，則 Xa=(Ax,ly).實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).設(shè)基底為i、j ,則九a = Mxi + yj)=九xi +Kyj ,即九a =(九x,九y)實(shí)數(shù)

34、與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。(3) 若 A(x1，yj , B(x2, y2),則 aB =區(qū)x，y2 y1)AB =OB -OA=( x 2, y2) (x i, yi)= (x 2 x i, y 2 y i)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).1 .4.i平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義2 .平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角是 9 ,則數(shù)量|a|b|cos日叫a與b的數(shù)量積，記作 a b,即有ab = |a|b|cos 6, (0< 0 < tt ).并規(guī)定0向量與任何向量的數(shù)量積為 0.(1

35、)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cose的符號(hào)所決定.(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成 ab;今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積 axb,而ab是兩 個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分.符號(hào)?！痹谙蛄窟\(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略， 也不能用“x”代替.(3)在實(shí)數(shù)中，若a#0,且ab=0,則b=0；但是在數(shù)量積中，若 a-0,且ab=0,不能推出 b=0.因?yàn)槠渲衏os 1有可能為0.(4)已知實(shí)數(shù) a、b、c(b#0), ab=bc = a=c.但是 ab = b c至 a = c/如右圖：a b = |a|b|cos P = |b|OA| , b c = |b|c|cos a = |

36、b|OA|=a b = b c 但 a 豐 c樽(5)在實(shí)數(shù)中，有(a b)c = a(b c),但是(a b)c 手 a(b c)3顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共 線.3 .“投影”的概念：作圖定義：|b|cos日叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量;14當(dāng)e為銳角時(shí)投影為正值;當(dāng)日=0廿J投影為|b| ；3,向量的數(shù)量積的幾何意義:當(dāng)6為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)a = 180唯J投影為-|b|.當(dāng)6為直角時(shí)投影為0;數(shù)量積a b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cos e的乘積.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量,1

37、、a_b = a b = 02、當(dāng)a與b同向時(shí)，a b = |a|b|;當(dāng)a與b反向時(shí)，a b = -|a|b|.特別的 a a = |a| 2或 | a |= Ja a|a b| < |a|b| cosa b|a|b|平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：1 .交換律：a - b = b - a證：設(shè) a, b 夾角為 3 則 a ' b = |a|b|cos e, b a = |b|a|cos e. . a - b = b - a2 .數(shù)乘結(jié)合律：(, a) b = ' (a b) = a ( b)證：若兒> 0 , ( %a) b = %|a|b|cos 仇九(a b) =

38、 K|a|b|cos 6, a (九b) = %|a|b|cos 8,若 < 0,( ' a) b =| ' a|b|cos(二-二)=一|a|b|(-cos1) =' |a|b|cos (a b)=' |a|b|cos a ( ' b) =|a|' b|cos(二-)=一學(xué) |a|b|( cosi) =' |a|b|cosi.3 .分配律：(a + b) c = a c + b c,- a + b (即OB )在c方向上的投=|a| cosui + |b| cosi202, c (a + b) = c a + c b即:在平面內(nèi)取

39、一點(diǎn)O,作OA = a , AB = b , OC = c ,影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos . | c | |a + b| cos =|c| |a| cos 1 + |c| |b| cos (a + b) c = a c + b c說明：(1) 一般地，(a b ) c w a ( b (2) a , c = b c , c w0» a (3)有如下常用性質(zhì)：a 2 = | a | (a + b) (c+d) = a , c + a2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角1、平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.即a

40、'b = x1x2 + y1y22 .平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式(1)設(shè) a=(x,y),貝U | a |2 =x2+y2 或|a |="x2 + y2 .15(2)如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xi,yi)、(X2,y2),那么| a |= v;(x1 -x2)2 +(y1 -y2)2 (平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式):二 xi x23 .向量垂直的判定設(shè)a=(xi，yi),b=(X2,y2), 則4,兩向量夾角的余弦(0 Mn )a bxi x 2 yi y2cos 1 =| a | | b |2222X i yi , X2y22.5.i平面幾何中的向量方法運(yùn)用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：(i)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾