一元二次方程重難點

1、一.一元二次方程的定義二.有關(guān)一元二次方程根的考查（根與系數(shù)的關(guān)系及兩方程公共根問題）三.一元二次方程的解法（直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法）四.含絕對值的一元二次方程五.根的判別式及韋達定理根與系數(shù)的關(guān)系一一對方程根的個數(shù)的判別利用判別式解參數(shù)取值范圍一一含參變量的一元二次方程通過判別式，證明方程根的個數(shù)問題利用韋達定理求代數(shù)式的值（X1 x2,x1x2,x1 x2,- -,X12 X22等）Xi X2利用韋達定理求參數(shù)的值五.一元二次方程整數(shù)根問題六.一元二次方程的應(yīng)用基礎(chǔ)學(xué)習(xí)元二次方程的定義定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.關(guān)于一元二次

2、方程的定義考查點有三個：二次項系數(shù)不為0;最高次數(shù)為2;整式方程2一般形式：ax bx c 0 （a 0） , a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項.二.有關(guān)一元二次方程根的考查（根與系數(shù)的關(guān)系及兩方程公共根問題）關(guān)于一元二次方程根的考查就是需要將根代入方程得到一個等式，然后再考察恒等變換。（將根代入方程，這是很多同學(xué)都容易忽略的一個條件） 1.與根有關(guān)的代數(shù)式化簡求值【例】已知x是一元二次方程x2 +3x-1=0的實數(shù)根，求代數(shù)式：一X （ x 2 5）的3x2 6xx 2【鞏固】先化簡，再求值：a2 4(a2 4a 412)-,其中a是方程x +3x+1=0 的根.2 a a2 22

3、.公共解問題【思考】已知兩個二次方程x2+ax+b=0與x2+cx+d=0有一個公共根為1,求證：二次方程2 a c b dx x 0也有一個根為1.22【例1】一元二次方程x2- 2x- 5 = 0的某個根，也是一元二次方程x2- ( k+2) x+ 9 = 0的根，44求k的值.【鞏固】當k為何值時，方程x2- (k+2) x+12=0和方程2x2- ( 3k+1 ) x+30=0有一公共根？ 求出此公共根.【變式1 若兩個不同的關(guān)于x的方程x2+x+a=0與x2+ax+1=0有一個共同的實數(shù)根，求a的 值及這兩個方程的公共實數(shù)根.【變式2已知a> 2, b> 2,試判斷關(guān)于x

4、的方程x2- ( a+b) x+ab=0與x2-abx+ ( a+b ) =0 有沒有公共根.請說明理由.【拓展1 已知：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0 , bx2+cx+a=0 , cx 2+ax+b=0有一個相同的實數(shù)根， 且 a?b?cw0,求 a+b+c 的值【拓展2】設(shè)a, b, c為 ABC的三邊，且二次 三項式x2+2ax+b 2與x2+2cx-b 2有一個公因式，證明： ABC一定是直角三角形.元二次方程的解法及求根公式（直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法）【例1】解方程:4 ,一 3x(2) ( 3x+1 ) ( 2x-5 ) =-2 ( 2x-5 )(3)4x2 1

5、4x(4) 4 1x2 9(7)x+2 7-8= 0(2) x+ Jx4 -6=0【鞏固】（1）已知關(guān)于x的方程（2a+1 ） x+a 2+a=0的兩個實數(shù)根中，只有一根大于5,求a的取值范圍.(2)已知 x, y 滿 足方程 x4+y4+2x 2y2-x 2-y 2-12=0 ,求 x2+y2 的值.在解方程里面，一般采取的方法是配方法，應(yīng)用公式法，因式分解法，其中因式分解法中考查最多的是十字相乘法，因此在學(xué)習(xí)的時候要求對這幾種方法熟練掌握，一般來說，對于初學(xué)者而言，在解方程里面最常使用的是公式法，但在熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系之后，配方法相較會簡單一些。【例1】若 m n為有理數(shù)，萬是無理數(shù)，

6、m+亦是有理系數(shù)方程ax 2+bx+c=0 ( aw 0)的一 個根，證明：m-亦也是這個方程的一個根.【例2】設(shè)xi、x2是方程x2-6x+a=0的兩個根，以xi、x2為兩邊長的等腰三角形只可以畫 出一個，試求a的取值范圍.x 1 3x 3【例3】當x滿足條件 11 時，求出方程x2-2x-4=0的根.-(x 4) 3(x 4)【鞏固】(1)解方程：x2-x-5=0 .2x 3 1(2)若不等式組 1 整數(shù)解是關(guān)于x的方程2x-4=ax 的根，求a的值.x (x 3)2四.含絕對值的一元二次方程【例1 閱讀例題，模擬例題解方程.例：解方程 x2 + |x-1|-1=0.解：（1）當 x-1

7、> 0 即 x > 1 時，原方程可化為：x2+ （ x-1 ） -1=0 即 x2+x-2=0 ,解得 xi=1 ,X2=-2 （ x2不合題意，舍去）；（1）當 x-1 V 0 即 xv 1 時，原方程可化為：x2- （ x-1 ） -1=0 即 x2-x=0 ,解得 x3=0, x4=1r4不合題意，舍去）.綜合（1）、（2）可知原方程的根是x1=1 , x2=0.請模擬以上例題解方程：x2+|x+3|-9=0.【鞏固】解方程：x21 #1>2-11（2）x2 4x 5 6 2x【例 2】解 方程：（1） x2-|x-2|-6=0.（2） x2-4|x|-5=0【鞏固】

8、設(shè)方程x2 |2x 1 4 0 ,求滿足該方程的所有根之和.難點突破五.根的判別式及韋達定理1根與系數(shù)的關(guān)系一一對方程根的個數(shù)的判別判別式與根的關(guān)系2在實數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程ax bx c 0(a 0)的根由其系數(shù)a、b、c確定，它的根的情況(是 . 2 ,.、否有實數(shù)根)由b4ac確定.2設(shè)一元二次方程為ax bx c 0(a 0),其根的判別式為：b 4ac則bb4ac_ 2 l_ _.xi2 0 方程ax bx c 0(a 0)有兩個不相等的實數(shù)根,2a .b 0方程a/bxc0(a0)有兩個相等的實數(shù)根x1x2函.2 0方程axbxc0(a0)沒有實數(shù)根.【例1】(1)解方程：x2+

9、4x-5=0 ;(2)求證：無論k取任意值，關(guān)于x的一元二次方程x2-kx+ ( k-2 ) =0 一定有兩個不相等 是實數(shù)根.【鞏固1】已知關(guān)于x的方程x2+ax+a-2=0(1)若該方程的一個根為1,求a的值及該方程的另一根；(2)求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根.0有兩個相等的實數(shù)根.4n 0必有兩個相等的實數(shù)根.【鞏固2已知關(guān)于x的方程(n 1)x2 mx 1求證：關(guān)于 y的一元二次方程 m2y2 4my m2【變式】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2 ( k-1 ) x+k2-1=0有兩個不相等的實數(shù)根.(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2) 0可能是方程的一個根嗎？若是，

10、請求出它的另一個根；若不是，請說明理由.【鞏固】已知關(guān)于x的方程x2+( 2k+1 )x+k 2+2=0有兩個相等的實數(shù)根，試判斷直線y= ( 2k-3 ) x-4k+12 能否通過點A ( -2 , 4),并說明理由.利用判別式解參數(shù)取值范圍一一含參變量的一元二次方程【例1】關(guān)于x的一元二次方程(1 2k)x22jk 1x 1 0有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍.【變式】已知關(guān)于x的方程x2 2(m 1)x m2 5 0有兩個不相等的實數(shù)根，化簡:|1 m |m2 4m 4【例2】關(guān)于x的方程a 6 x2 8x 6 0有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是2【鞏固】若關(guān)于x的一元二次方程(k 1)

11、x 2x 1 0有實數(shù)根，則k的最小整數(shù)值為 【例3】已知：方程mx2 2 m 2 x m 5 0沒有實數(shù)根，且m 5,求證：m 5 x2 2 m 2 x m 0有兩個實數(shù)根.【鞏固】已知：m、n為整數(shù)，關(guān)于x的二次方程x2 (7 m)x 3 n 0有兩個不相等的實數(shù)解, x2 (4 m)x n 6 0有兩個相等的實數(shù)根，x (m 4)x n 1 0沒有實數(shù)根，求m、n的值.通過判別式，證明方程根的個數(shù)問題【例1】對任意實數(shù) m ,求證：關(guān)于x的方程(m2 1)x2 2mx m2 4 0無實數(shù)根.2x mx 12m 1 一 te有兩個不相等的頭【變式】已知方程 x2 2x m 1 0沒有實數(shù)根

12、，求證：方程 數(shù)本H .【鞏固】已知：方程mx2 2 m 2 x m 5 0沒有實數(shù)根，且m 5，求證：m 5 x2 2 m 2 x m 0 有兩個實數(shù)根.【拔高1】已知關(guān)于x的二次方程x2p1xq10與x2p2xq20 ,求證：當p1P22(q1q2)時，這兩個方程中至少有一個方程有實數(shù).0,求證：一兀二次方程 ax2 2bx c 0【拔高2】已知實數(shù)a、b、c、r、p滿足pr 2 , pc 2b ra必有實根.利用韋達定理求代數(shù)式的值(x1 x2,x1x2,x1 x2,- - ,x12 x22等) X x2【例1】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2 右x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根.(1)求

13、實數(shù)m的最大整數(shù)值；(2)在(1)的條下，方程的實數(shù)根是x1, x2,求代數(shù)式x/+x22-x 1x2的值.【鞏固】已知x1, x2是一元二次方程(m-3 ) x2+2mx+m=0的兩個實數(shù)根.(1)是否存在實數(shù)m,使-x 1+xx2=4+x 2成立？若存在，求 出m的值，若不存在，請你說明 理由；(2)若|x 1-x 2|= 73,求m的值和此時方程的兩根.利用韋達定理求參數(shù)的值【例1】一元二次方程mx2-2mx+m-2=0 .(1)若方程有兩實數(shù)根，求m的范圍.(2)設(shè)方程兩實根為x1, x2,且|x1-x 2|=1 ,求m.【鞏固1】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2 ( m+1) x+m

14、2-1=0 .(1)若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若方程兩實數(shù)根分別為x1, x2,且滿足(x-x2)2=16-x 1x2,求實數(shù)m的值.【鞏固2】已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2- ( 4k+1 ) x+3k+3=0 ( k是整數(shù)).(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程的兩個實數(shù)根分別為xi, X2 (其中xi v X2),設(shè)y=x 2-x 1-2 ,寫出y關(guān)于變量k 的函數(shù)表達式.【練習(xí)】已知關(guān)于x的方程mx2+ ( 3-2m ) x+ ( m-3 ) =0 ,其中m> 0 .(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為xi, x2

15、,其中x1 > x2,若y = x-1,求y與m的函數(shù)關(guān)系 3x1大；(3)在(2)的條件下，請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出使不等式y(tǒng)w-m成立的m的取值范圍.【變式1】關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0 的實數(shù)解是x1和x2.(1)求k的取值范圍；(2)如果x 1 +x 2-x 1x2V -1且k為整數(shù)，求k的值.【鞏固】已知關(guān)于x的一元二次方程x2- ( 2k+1 ) x+k 2+2k=0有兩個實數(shù)根x1，x2.(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)k使得x1?x2-x 12-x 22>0成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請 說明理由.【變式2】已知關(guān)于x的一元二次

16、方程x2- ( 2k+1 ) x+k 2+k=0 .(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若 ABC的兩邊AB, AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根.第三邊BC的長為5,當 ABC 是等腰三角形時，求k的值.【鞏固】已知xi, X2是關(guān)于x的一元二次方程x2-2 ( m+1) x+m2+5=0的兩實數(shù)根.(1)若(xi-1 ) ( x2-1 ) =28 ,求 m的值；(2)已知等腰 ABC的一邊長為7,若x1, x2恰好是 ABC另外兩邊的邊長，求這個三角 形的周長.【變式3設(shè) m是不小于-1的實數(shù)，使 得關(guān)于x的方程x2+2( m-2) x+m2-3m+3=0有兩個不 相等的實數(shù)根x1,

17、x2.111(1)若1 1 ,求一1一的值；x1x23 2m(2)求4 g m2的最大值.1 x11 x2五.一元二次方程整數(shù)根問題1 .有理數(shù)根問題方程ax2 bx c 0 (a 0, a、b、c均為有理數(shù))的根為有理數(shù)的條件是：1 為有理數(shù)2 .整數(shù)根問題次方程有正（負、非正、非負）整數(shù)根，用十字相乘或公式法求出兩個根，并將兩根化簡,分子部分不能有字母，再討論整數(shù)根,并考慮根為正（負、非正、非負）數(shù)。次方程有整數(shù)根，但用十字相乘或公式法求出的兩個根含有根號時，如x=a-39-4a9-k要利用換元法，設(shè) 炳a k ,得出a=9- ,將4論整數(shù)根問題，方法同上；若 =4a2-9且a為整數(shù),x中

18、的a全部替換，得出兩個不含根號的解，再討貝U設(shè) 4a2-9=k 2 4a2- k2=9,可得(2a-k ) (2a+k)=9,則討論整數(shù)X整數(shù)=9,討論出所有滿足情況的整數(shù)即可，注意k>0注意：若方程至少有一實數(shù)根，那么通過Xi,X2推出的相關(guān)字母的值，應(yīng)該取全部情況；若方程有兩個實數(shù)根（已經(jīng)確定方程為二次方程）X1, X2推出的相關(guān)字母的值，應(yīng)該取公共解。1.有理數(shù)根問題【例1】已知關(guān)于X的二次方程1x24mx (k 1)mk2 0k41，一,，.-0有有理根，求k的值。4【例2】設(shè)m是不為零的整數(shù)，關(guān)于 x的二次方程mx(m 1)x1 0有有理根，求m的值.設(shè)m為整數(shù)，且4 m 40

19、 ,方程X2 2 2mx 4m214m 8 0有兩個整數(shù)根，求 m的值及方程的根.b（b 1） 0有相同的整數(shù)根？并且求出它們的整【變式】b為何值時，方程 x2 bx 2 0和x2 2x 數(shù)根？【鞏固】當m是什么整數(shù)時，關(guān)于 x的一元二次方程 mx2 4x 4 0與x2 4mx 4m2 4m 5 0的根都是整數(shù).六.一元二次方程的應(yīng)用一元二次方程的應(yīng)用類問題大致可以分為五種情況：1.增長率問題；2.商品利潤問題；3.圖形面積問題；4.傳播問題；5.動點問題1 .增長率問題【例】某校去年對實驗器材的投資為 2萬元，預(yù)計今明兩年的投資總額為12萬元，求該校這兩年在實驗器材投資上的平均增長率是多少？

20、【變式】某個體戶以50000元資金經(jīng)商，在第一年中獲得一定的利潤，已知這50000元資金加上第一年的利潤在第二年共獲利潤2612.5元，而且第二年的利潤率比第一年多0.5%,則第一年的利潤是多少元？【鞏固】某商場2002年的營業(yè)額比2001年上升10%, 2003年比2002年又上升10%,而2004年和2005 年連續(xù)兩年比上一年降低 10%,那么2005年的營業(yè)額比2001年的營業(yè)額（）A.降低了 2%B.沒有變化C.上升了 2%D.降低了 1.99%2 .商品利潤問題【例】某商場銷售一批名牌襯衫， 平均每天可以銷售出 20件，每件盈利40元，為擴大銷售，增加利潤， 盡量減少庫存，商場決定

21、采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫降價1元，商場平均每天多售出2件，若商場平均每天要盈利 1200元，每件襯衫應(yīng)降低多少元？【鞏固】商場將每件進價為 80元的某種商品原來按每件 100元出售，一天可售出100件.后來經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低1元，其銷量可增加10件.(1)問商場經(jīng)營該商品原來一天可獲利潤多少元？(2)若商場經(jīng)營該商品一天要獲利潤2160元，則每件商品售價應(yīng)為多少元？【鞏固】宏達汽車出租公司共有出租車120輛，每輛汽車的日租金為 160元，出租業(yè)務(wù)天天供不應(yīng)求，為適應(yīng)市場需求，經(jīng)有關(guān)部門批準，公司準備適當提高日租金，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一輛汽車日租金每增加10元，每天出租的汽車相應(yīng)地減少 6輛。若不考慮其他因素， 公司將每輛汽車的日租金提高幾個10元能使公司的日租金總收入達到19380元？使公司的日租金總收入最高？最高是多少？3 .圖形面積問題【例】如圖，一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍，四個角各截去一個正方形，制成高是 5 cm ,容積是500 cm3的無蓋長方體容器，