圓錐曲線有關(guān)焦點(diǎn)弦的幾個(gè)公式及應(yīng)用(老師)

1、圓錐曲線有關(guān)焦點(diǎn)弦的幾個(gè)公式及應(yīng)用如果圓錐曲線的一條弦所在的直線經(jīng)過焦點(diǎn)，則稱此弦為焦點(diǎn)弦。圓錐曲線的焦點(diǎn)弦問題涉及到離心率、直線斜率（或傾斜角）、定比分點(diǎn)（向量）、焦半徑和焦點(diǎn)弦長等有關(guān)知 識(shí)。焦點(diǎn)弦是圓錐曲線的“動(dòng)脈神經(jīng)”，集數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法和解題策略于一體，倍受命 題人青睞，在近幾年的高考中頻頻亮相，題型多為小題且位置靠后屬客觀題中的壓軸題，也有作為大題進(jìn)行考查的。本文介紹圓錐曲線有關(guān)焦點(diǎn)弦問題的幾個(gè)重要公式及應(yīng)用，與大家交流。定理1已知點(diǎn)F是離心率為白的圓錐曲線 仃的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的弦dF與口的焦點(diǎn)所在 的軸的夾角為日，且加=4式凱"之1）。（1）當(dāng)焦點(diǎn)F內(nèi)分弦工6時(shí)，有白g

2、s白=四（2）當(dāng)焦點(diǎn)F外分弦AB時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線），有N 1。證明 設(shè)直線是焦點(diǎn)尸所對應(yīng)的準(zhǔn)線,點(diǎn)上，B在直線1上的射影分別為點(diǎn)力直線屈4上的射影為加r。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得BF甌M宏 = %竭心1）,所以 二1_AF _ ABF（1）當(dāng)焦點(diǎn)尸內(nèi)分弦工3時(shí)。ABF BF營 出 _ 旦一 1J+D那式5 ,所又+1。（2） 當(dāng)焦點(diǎn)產(chǎn)外分弦工B時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線）。如圖2,cos 6 = cos NM4H =理£ = 9+陰= AB AF BFABF BFw 0 _+1W .式a-i)2T 。評注 特別要注意焦點(diǎn)外分焦點(diǎn)弦（此時(shí)曲線為雙曲線）和內(nèi)分焦點(diǎn)弦時(shí)公式的不同, 這一點(diǎn)很容

3、易不加區(qū)別而出錯(cuò)。仁土嗔&加0）例1 （2009年高考全國卷n理科題）已知雙曲線1 上的右焦點(diǎn) 為尸，過戶且斜率為也的直線交口于乂了兩點(diǎn)。若AFAFB ,則口的離心率為（）78B- U 55B 4 -1cosoO =解這里尢"tand=,所以日=6。"又月=4，代入公式得4十1 ,所C二 十馬二出I八0）例2 （2010年高考全國卷n理科第 12題）已知橢圓" 力的離心格 _ _率為2。過右焦點(diǎn)且斜率為kg'A的直線于口相交于45兩點(diǎn)，若麗=3麗，則二 （）Al B.2 C,3 D,2一4S 1d - COS & -解這里4二3 ,2 ,設(shè)

4、直線工3的傾斜角為日，代入公式得22 ,所以cos 日二心J3 ,所以心=七曲9 = $2 ,故選8。2例3 （ 08高考江西卷理科第15題）過拋物線工=2處5 > °）的焦點(diǎn)產(chǎn)作傾斜角為3仃囹的直線，與拋物線交于 6B兩點(diǎn)（點(diǎn)上在1y軸左側(cè)），則有 怛蜀精選范本解如圖3,由題意知直線 AB與拋物線的地稱軸的夾角 日=6T ,當(dāng)點(diǎn)工在尸軸左側(cè)時(shí),=. > 1cos 60* =,又0 = 1 ,代入公式得-1N十1 ,解得兄=3 ,所以|因叫3 。例4 （2010年高考全國卷I理科第 16題）已知產(chǎn)是橢圓e的一個(gè)焦點(diǎn)，刀是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長線交U于點(diǎn)3 ,且麗二2而

5、,則的離心率為COS e = = 3解設(shè)直線8力與焦點(diǎn)所在的軸的夾角為 日，則 RF 口 ，又為入，代入一/ 電上公式得 3,所以 -3。=1（d>03 >0）例5（自編題）已知雙曲線點(diǎn)扭的離心率為3,過左焦點(diǎn)甘4依0 _解這里 3 ,1 = 3且斜率為上> °的直線交口的兩支于且W兩點(diǎn)。若FA=3FB ,則=口 833,因直線AB與左右兩支相交，故應(yīng)選擇公式五-1 ,±C0S6 = 2日二莊tan30° = 代入公式得33-1,所以 2所以日=30，所以3定理2已知點(diǎn)F和直線l是離心率為白的圓錐曲線e的焦點(diǎn)和對應(yīng)準(zhǔn)線，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn) 到對應(yīng)準(zhǔn)線的

6、距離）為*。過點(diǎn)F的弦上B與曲線。的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為 我去9CT）,則有一卜證明設(shè)點(diǎn)以瓦方在準(zhǔn)線2上的射影分別為4召戍,過點(diǎn)f作軸產(chǎn)出的垂線交直線AF BF=穹=-乂4于點(diǎn)m ,交直線白用于點(diǎn)鼠。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，工4 3斗，所以(1)當(dāng)焦點(diǎn)F內(nèi)分弦工3時(shí)。如圖.I田|4”| +陷1”+四|8二M = BlMT泗卜r-忸同。 AF = e(p忸0二式p -|fiF|cos69AF 一笆一|即| 二一宅一所以較長焦半徑網(wǎng)=抑田"所以1 一國CQ&白，較短焦半徑1十點(diǎn)CM日。叩叩2ffp=+ = jQ1痙匚。g8 1十白匚05白 1 e cos日。(2)當(dāng)焦點(diǎn)尸外分弦工

7、刀時(shí)(此時(shí)曲線為雙曲線)。加圖5Ml=|3|T4M=IMm8p I聞=1叫卜幽卜”網(wǎng)cw _SU |5_| 5)所以-11' -1'一-11-AF= 一影一11 = 一笆一所以較長焦半徑營白1 ,較短焦半徑3C0S日+1。ab = af-bf所以電p叩 _ &P一7Q>綜合(1) (2)知，較長焦半徑M聲1三1l- cos1-hCOS & 。AB焦點(diǎn)弦的弦長公式為特別地，當(dāng)曲線為無心曲線即為拋物線時(shí)，焦準(zhǔn)距聲就是徑之半，較長焦半徑昌 C0£。一1COS£?+18 COS 白一 1。網(wǎng)二一三一BF二一殳一網(wǎng)二 V-1一二*6 ,較短焦半徑

8、1十3白,焦點(diǎn)弦的弦長公式為期口白。當(dāng)曲線為有心曲線即為橢圓或雙曲線時(shí)，焦準(zhǔn)距為1J_ 2_ J1 _2c一日注由上可得，當(dāng)焦點(diǎn)F內(nèi)分弦AB時(shí)，有國即智阿回 p11211 _當(dāng)焦點(diǎn)產(chǎn)外分弦工，時(shí)，有忸刊 盟 空 中 怛司 PJ_ _例6 (2009年高考福建卷理科第13題)過拋物線y = 2>"> °)的焦點(diǎn)尸作傾斜角 為4于的直線，交拋物線于 A'兩點(diǎn)，若線段AB的長為8,則夕=AB=2f ：=8解由拋物線焦點(diǎn)弦的弦長公式為弘立白得,乳力4f，解得尸=2。/=十J = lfa> 力 >0>例7 (2010年高考遼寧卷理科第 20題)已

9、知橢圓門 方的右焦點(diǎn)為尸，經(jīng)過嚴(yán)且傾斜角為6Q-的直線/與橢圓相交于不同兩點(diǎn) ，£ ,已知布=2FB 。| =(1)求橢圓的離心率；(2)若 耳，求橢圓方程?？?cos 60' = e (1)這里日=6T ,兄=已，由定理1的公式得2十1 ,解得 3。& = lt3 = 6lAB=1- (-/cos3 50 4(2)將 34 ,代入焦點(diǎn)弦的弦長公式得，3,解5/_5_£_2得"之即“亡C5，所以2d8，又I設(shè)c:二二農(nóng)工,，-+ 代入得E =1 ,所以二Z二3 ,所以占二貨，一/ = $ ,故所求橢圓方程為g :22例8 （2007年重慶卷第16題

10、）過雙曲線工 7 的右焦點(diǎn)E作傾斜角為1。亨的直 線，交雙曲線于巴Q兩點(diǎn)，則卜忸創(chuàng)的值為解 易知F均在右支上，因?yàn)?啟= 0 ,離心率g=虛，點(diǎn)準(zhǔn)距 g尸一日一,因傾斜角為1（再"所以日=?¥。由焦半徑公式得，四2| =1 一營。心£日 1 +ecos 1 -e2 cos2 & 1- 2coss75-1 -(l+coslSC) 3例9（由2007年重慶卷第16題改編）過雙曲線五一熊二司的右焦點(diǎn)F作傾斜角為150口的直線，交雙曲線于HQ兩點(diǎn)，則但f|忸創(chuàng)的值為r =貴=2解因?yàn)?quot;=" = 2用=道，離心率點(diǎn)=我，點(diǎn)準(zhǔn)距c ,因傾斜角為,所以日二 3"。注意到F，Q分別在雙曲線的兩支上，由焦半徑公式七一1 23 七 CT-1例10 （2007年高考全國卷I ）如圖6,已知橢圓3 2 的左、右焦點(diǎn)分別為口 過用的直線交橢圓于 瓦”兩點(diǎn)，過外的直線交橢圓于 凡。兩點(diǎn)，且AC rBD 。求四邊 形面積的最小值。解由方程可知，