高中數(shù)學(xué)易錯題分類及解析

1、高中數(shù)學(xué)中的易錯題分類及解析成都玉林中學(xué) 周先華關(guān)鍵詞：高考 數(shù)學(xué) 易錯題全文摘要：“會而不對，對而不全”嚴(yán)重影響考生成績.易錯題的特征：心理因素、易錯點的隱蔽性、形式多樣性、可控性.易錯題的分類解析:分為五大類即審題不嚴(yán)、運算失誤、概念模糊、公式記憶不準(zhǔn)確、思維不嚴(yán)，每類再分為若干小類，列舉高中數(shù)學(xué)中的典型易錯題進行誤解與正解和錯因分析.本文既是對高考中的易錯題目的分類解析，同時又是第一輪復(fù)習(xí)中的一本易錯題集.下表是易錯題分類表：正 文數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，從本質(zhì)上說是一種認(rèn)識過程，其間包含了一系列復(fù)雜的心理活動.從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上講，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)知識按照他自己理解的深度

2、與廣度，結(jié)合自己的感覺、知覺、記憶、思維與聯(lián)想，組合成的一個整體結(jié)構(gòu).所以，數(shù)學(xué)中有許多題目，求解的思路并不繁雜，但解題時，由于讀題不仔細(xì)，或者對某些知識點的理解不透徹，或者運算過程中沒有注意轉(zhuǎn)化的等價性，或者忽略了對某些特殊情形的討論等等原因，都會導(dǎo)致錯誤的出現(xiàn).“會而不對，對而不全”，一直以來都是嚴(yán)重影響考生數(shù)學(xué)成績的重要因素.一易錯題的典型特征解題出錯是數(shù)學(xué)答題過程中的正?，F(xiàn)象，它既與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境有關(guān),又與試題的難易程度有關(guān).同時也與考生的數(shù)學(xué)水平、身體與心理狀況有關(guān).1考生自我心理素質(zhì)：數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識的邏輯結(jié)構(gòu)與學(xué)生的心理結(jié)構(gòu)相互作用的產(chǎn)物.而數(shù)學(xué)解題是考生主體感受并處理數(shù)學(xué)信

3、息的創(chuàng)造性的心理過程.部分考生題意尚未明確，加之考試求勝心切，僅憑經(jīng)驗盲目做題，以至于出現(xiàn)主觀認(rèn)識錯誤或陷入主觀思維定勢，造成主觀盲動性錯誤和解題思維障礙.2易錯點的隱蔽性：數(shù)學(xué)知識的邏輯結(jié)構(gòu)是由數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在的聯(lián)系聯(lián)結(jié)而成的整體，而其心理結(jié)構(gòu)是指智力因素及其結(jié)構(gòu)，即觀察力、記憶力、想象力、注意力和思維力等五個因素組成.數(shù)學(xué)解題是考生借助特定“數(shù)學(xué)語言”進行數(shù)學(xué)思維的過程，在這個過程中考生的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思維習(xí)慣起著決定性的作用.個體思維的跳躍性是產(chǎn)生思維漏洞的根本原因，這種思維漏洞一旦產(chǎn)生，考生自己是很難發(fā)現(xiàn)的，因此易錯點的隱蔽性很強.3易錯點形式多樣性：根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般過程及數(shù)學(xué)

4、認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特點，數(shù)學(xué)易錯點一般有知識性錯誤和心理性錯誤兩種等形式：而知識性錯誤主要包括數(shù)學(xué)概念的理解不透徹、數(shù)學(xué)公式記憶不準(zhǔn)確兩方面；心理性錯誤包括審題不嚴(yán)、運算失誤、數(shù)學(xué)思維不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?4易錯題的可控性：學(xué)生的認(rèn)識結(jié)構(gòu)有其個性特點.在知識總量大體相當(dāng)?shù)那闆r下，有的學(xué)生對知識不僅理解深刻，而且組織得很有條理，便于儲存與撮；相反，有的學(xué)生不僅對知識理解膚淺，而且支離破碎，雜亂無章，這就不利于儲存，也不容易提取.在學(xué)生形成了一定的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)后，一旦遇到新的信息，就會利用相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對新信息進行處理和加工，隨著認(rèn)識活動的進行，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷分化和重組，并逐漸變得更加精確和完善，所謂“吃一塹長一

5、智”.只要我們在容易出錯的地方提高警戒意識，建立建全解題的“警戒點”,養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維好習(xí)慣，易錯點就會逐漸減少.二、易錯題的分類解析1.數(shù)學(xué)概念的理解不透數(shù)學(xué)概念所能反映的數(shù)學(xué)對象的屬性，不僅是不分精粗的籠統(tǒng)的屬性，它已經(jīng)是抓住了數(shù)學(xué)對象的根本的、最重要的本質(zhì)屬性.每一個概念都有一定的外延與內(nèi)涵.而平時學(xué)習(xí)中對概念本質(zhì)的不透徹，對其外延與內(nèi)涵的掌握不準(zhǔn)確，都會在解題中反映出來，導(dǎo)致解題出錯.例1.若不等式ax+x+a0的解集為 ，則實數(shù)a的取值范圍（ ）A.a-或a B.a C.-a D.a 【錯解】選A.由題意，方程ax+x+a=0的根的判別式 a-或a，所以選A.【錯因分析】對一元二次

6、不等式與二次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系還不能掌握，忽視了開口方向?qū)︻}目的影響.【正確解析】D .不等式ax+x+a0的解集為 ，若a=0,則不等式為x0且.例2. 命題“若ABC有一內(nèi)角為，則ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列”的逆命題是（ ）A與原命題真值相異 B與原命題的否命題真值相異C與原命題的逆否命題的真值不同 D與原命題真值相同【錯解】選A.因為原命題正確，其逆命題不正確.【錯因分析】本題容易出現(xiàn)的錯誤是對幾個概念的理解失誤：逆命題將原命題的題設(shè)和結(jié)論交換、否命題將原命題的題設(shè)和結(jié)論同時否定，逆否命題將原命題的題設(shè)和結(jié)論交換后再同時否定，原命題與逆命題、否命題與逆命題是兩對互為逆否的命題，互為逆否的

7、命題是等價的.【正確解析】選D.顯然，原命題正確；其逆命題為：“若ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列，則ABC有一內(nèi)角為”.也正確，所以選D.例3.判斷函數(shù)f(x)=(x1)的奇偶性為_【錯解】偶函數(shù).f(x)=，所以，所以f（x）為偶函數(shù).【錯因分析】上述解法有兩個錯誤：1未考慮函數(shù)的定義域；2.x-10等及圓錐曲線有界性等.例14. 方程的解集為_-【錯解】或所以x=1或x=2.所以解集為1，2.【錯因分析】產(chǎn)生了增根x=1.實際上當(dāng)時，0 , b0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值.【錯解】 (a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8.(a+)2+(b+)2的最

8、小值是8.【錯因分析】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b22ab，第一次等號成立的條件是a=b=,第二次等號成立的條件是ab=，顯然，這兩個條件是不能同時成立的.因此，8不是最小值.【正確解析】原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)22ab+(+)+4= (12ab)(1+)+4，由ab()2= 得：12ab1=, 且16，1+17，原式17+4= (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時，等號成立)，(a + )2 + (b + )2的最小值是.例24.已知兩正數(shù)x,y 滿足x+y=1,則z=的最小值為 .【錯解一】因為對a0,恒有,從而z=4,所以z的最小值是4.【錯解二】，

9、所以z的最小值是.【錯因分析】解法一中，等號成立的條件是相矛盾；解法二中，等號成立的條件是，與相矛盾.【正解】z=，令t=xy, 則，由在上單調(diào)遞減,故當(dāng)t=時 有最小值,所以當(dāng)時z有最小值.（2）以偏概全，重視一般性而忽視特殊情況以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全部答案，從而表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性.例25(1)不等式|x+1|(2x1)0的解集為_(2)函數(shù)的定義域為 .解析：（1）【錯解】.因為|x+1|0恒成立，所以原不等式轉(zhuǎn)化為2x-10，所以【錯因分析】忽略了當(dāng)x=1時|x+1|=0原不等式也成立，即x=-1為不等式的解.【正確解析】.原不等式等價于

10、|x+1|=0或2x-10，所以解集為.(2) 【錯解】或.【錯因分析】兩個錯誤：一是解分式不等式（方程）時未考慮分母不能為0；二是解二次不等式時沒有把二次項系數(shù)變?yōu)檎倏紤]兩根之外或兩根之間，從而導(dǎo)致解集出錯.【正解】例26.過點(0,1)作直線，使它與拋物線僅有一個公共點，這樣的直線有（）A.1條 B.2條 C. 3條 D. 0條【錯解】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，即：，再由0,得k=1,得答案A.【錯因分析】本題的解法有兩個問題，一是將斜率不存在的情況考慮漏掉了，另外又將斜率k=0的情形丟掉了，故本題應(yīng)有三解，即直線有三條.【正確解析】C.由上述分析，y軸本身即為一切線，滿足題意；解方程時

11、，若k=0，即直線y=1也與拋物線僅有一個公共點，又k=1時也合題意，所以有三條直線合題意，選C.（3）解題時忽視等價性變形導(dǎo)致出錯例27. （1）已知f(x) = ax + ，若求的范圍.（2）已知集合，且，求實數(shù)的取值范圍.解析：（1）【錯解】由條件得 由2 2得 +得 【錯因分析】采用這種解法，忽視了這樣一個事實：作為滿足條件的函數(shù)f(x) = ax + ，其值是同時受制約的.當(dāng)取最大（小）值時，不一定取最大（小）值，因而整個解題思路是錯誤的.【正確解析】由題意有, 解得： 把和的范圍代入得 （2）【錯解】由題意，A： B：或(后面略)【錯因分析】求集合B時，未考慮分式不等式中分母為零這

12、一條件（若B中不等式為或形式而不是或則不需要考慮此問題）.【正確解析】由題意，A= B：或由則.例28.已知數(shù)列的前項和，求【錯解】 【錯因分析】 顯然，當(dāng)時，不滿足上述公式.沒有注意公式成立的條件是n.【正確解析】當(dāng)時，n時，.所以.例29.實數(shù)為何值時，圓與拋物線有兩個公共點.【錯解】 將圓與拋物線 聯(lián)立，消去，得 因為有兩個公共點，所以方程有兩個相等正根，得 ， 解之得【錯因分析】如下圖（1）（2）.顯然，當(dāng)時，圓與拋物線有兩個公共點.xyO圖1xyO圖2【正確解析】要使圓與拋物線有兩個交點的充要條件是方程有一正根、一負(fù)根；或有兩個相等正根.當(dāng)方程有一正根、一負(fù)根時，得解之，得因此，當(dāng)或

13、時，圓與拋物線有兩個公共點.例30.(1)設(shè)等比數(shù)列的全項和為.若，求數(shù)列的公比.【錯解】 ，.【錯因分析】在錯解中，由，時，應(yīng)有.在等比數(shù)列中，是顯然的，但公比q完全可能為1，因此，在解題時應(yīng)先討論公比的情況，再在的情況下，對式子進行整理變形.【正確解析】若，則有但，即得與題設(shè)矛盾，故.又依題意 ,即因為，所以所以解得 【點評】本題為1996年全國高考文科試題，不少考生的解法與錯誤解法相同，根據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分.（4）空間識圖不準(zhǔn) 數(shù)學(xué)運算能力包括空間想象能力.空間想象能力是指能根據(jù)條件作出正確的圖形，根據(jù)圖形想象出直觀形象；能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系；能對圖形進行分解、組合

14、與變換；會運用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質(zhì)對圖形的想象主要包括有圖想圖和無圖想圖兩種，是空間想象能力高層次的標(biāo)志而空間識圖不準(zhǔn)導(dǎo)致的立何幾何題目出錯情況很多.例31直二面角的棱上有一點A，在平面、內(nèi)各有一條射線AB，AC與成450，AB，則BAC= .【錯解】如右圖.由最小角定理，.【錯因分析】錯解中忽視了AC的另一位置OD，此時.【正確解析】或.如下圖.當(dāng)時，由最小角定理，；當(dāng)AC在另一邊DA位置時，. （5）推理方向的盲目性根據(jù)題的已知條件及所求的特征，有時直接從已知出發(fā)，運用公式、定理等得結(jié)論，這是綜合法；有時需要從結(jié)論出發(fā)，分析它的必要條件，直到得到一個明顯成立的命題，這是分析

15、法.這是兩種不同的推理方向，如果解題時失主理方向不正確，可能導(dǎo)致解題思路受阻或出錯.例32. 設(shè)f ( x ) = x3x22x5，當(dāng)時，f ( x ) .令，得f(x)的增區(qū)間為，f(-1)=（區(qū)間左端點），(極小值點)，所以時所以m.【錯因分析】推理方向的不正確，f ( x ) 7.由題意，f ( x ) 7.（6）限域求值端點取值不正確例33.若,則【錯解】【正解】例34.已知,則的取值范圍是 .【錯解】.，所以.【錯因分析】當(dāng)時，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，的范圍應(yīng)為而不是.【正確解析】.，所以.（7）說一套做一套，粗枝大葉，心里想的和手上寫的不一致比如分?jǐn)?shù)結(jié)果不約分或不化簡、解集不用集合表示、將非常明確的限定條件遺漏（比如形式二次、對數(shù)真數(shù)為正等）、寫錯運算符號、寫錯數(shù)據(jù)，有時把關(guān)鍵字母寫錯等等.例35.設(shè)A、B是的兩個內(nèi)角，且是方程的兩根，則A+B=_.分析：由韋達定理易知，又，故.部分學(xué)生非常遺憾地把結(jié)論寫成了A+B的