51　平面向量的概念與線性運算

1、丹徒高級中學2015高三數(shù)學（文重）一輪復習文科導學案 班級：高三 班 學號 姓名_總課題高三一輪復習-第五章 平面向量總課時第 課時課 題5.1平面向量的概念及線性運算課型復習課 教 學 目 標1.理解平面向量的概念。.2.掌握向量的線性運算教 學重 點向量的線性運算 教 學 難 點同上 學 法 指 導講練結(jié)合 教 學 準 備導學案 導學 步步高一輪復習資料 自主學習 高 考 要 求 平面向量的概念 B向量的線性運算B教 學 過 程第1課時：一、基礎(chǔ)知識梳理名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為0的向量；其方向是任意的記作0單位

2、向量長度等于1個單位長度的向量非零向量a的單位向量±平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律向量的加法求兩個向量和的運算(1)交換律：abba. (2)結(jié)合律：(ab)ca(bc).向量的減法求兩個向量差的運算三角形法則aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算(1)|a|a|；(2)當>0時，a的方向與a的方向相同；當<0時，a的方向與a的方向相反

3、；當0時，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3.向量共線定理如果有一個實數(shù)，使ba(a0)，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a(a0)是共線向量，那么有且只有一個實數(shù)，使ba.4重要結(jié)論： 0P為ABC的_二、基礎(chǔ)練習訓練1.判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量.()(2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無關(guān).()(3)已知兩向量a，b，若|a|1，|b|1，則|ab|2.()(4)ABC中，D是BC中點，則().()(5)向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上.()(6)當兩個非零

4、向量a，b共線時，一定有ba，反之成立.()2.(2012·四川改編)設(shè)a、b都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是_.(填序號)ababa2b ab且|a|b|3.在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，且a，b， 則_.(用a、b表示) 4設(shè)a、b是兩個不共線向量，2apb，ab，a2b，若A、B、D三點共線，則實數(shù)p的值為_. 5在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點，則用a，b表示為_6已知ABC和點M滿足0.若存在實數(shù)m使得m成立，則m_.三、典型例題分析題型一平面向量的概念辨析例1給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形

5、ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab.其中正確命題的序號是_.變式訓練：下列命題 兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量.兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.a0(為實數(shù))，則必為零. ，為實數(shù)，若ab，則a與b共線.其中錯誤命題的個數(shù)為_.題型二平面向量的線性運算例2如圖，以向量a，b為鄰邊作OADB，用a，b表示，.變式：四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若a，b，則_.(用a，b表示)第2課時：題型三共線向量定理及應(yīng)用例3設(shè)兩個非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(

6、ab)，求證：A、B、D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使kab和akb共線. 變式1：設(shè)a，b是兩個不共線向量，若a與b起點相同，tR，t為何值時，a，tb，(ab)三向量的終點在一條直線上？變式2：如圖所示，平行四邊形ABCD中，b，a，M為AB中點，N為BD靠近B的三等分點，求證：M、N、C三點共線變式3：設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求證：A、C、D三點共線；(2)如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三點共線，求k的值典例賞析(14分)如圖所示，在ABO中，AD與BC相交于點M，設(shè)a，b.試用a和b表示向量.思維啟迪：(1

7、)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本要領(lǐng)，要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去.(2)既然能用a、b表示，那我們不妨設(shè)出manb.(3)利用向量共線建立方程，用方程的思想求解.規(guī)范解答解設(shè)manb，則manba(m1)anb.ab.3分又A、M、D三點共線，與共線.存在實數(shù)t，使得t，即(m1)anbt.(m1)anbtatb. 5分，消去t得，m12n，即m2n1.7分又manbaanb，baab.又C、M、B三點共線，與共線. 10分存在實數(shù)t1，使得t1，anbt1，消去t1得，4mn1.由得m，n，ab.14分溫馨提醒：(1)本題考查了向量的線性運算，知識要點清楚，但解題

8、過程復雜，有一定的難度.(2)易錯點是，找不到問題的切入口，想不到利用待定系數(shù)法求解.(3)數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運算的核心，向量是一個幾何量，是有“形”的量，因此在解決向量有關(guān)問題時，多數(shù)習題要結(jié)合圖形進行分析、判斷、求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧.如本題易忽視A、M、D三點共線和B、M、C三點共線這個幾何特征.(4)方程思想是解決本題的關(guān)鍵，要注意體會.2015六月高考，我們時刻準備著！ 班級：高三 班 學號 姓名_完成日期 一輪復習作業(yè)紙16 5.1平面向量的概念及線性運算一、填空題1.下列命題中正確的序號為_.a與b共線，b與c共線，則a與c也共線；任意兩個相等的非零向

9、量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點；向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；有相同起點的兩個非零向量不平行.2.已知a2b，5a6b，7a2b，則A、B、C、D四點中一定共線的三點是_.3.已知ABC和點M滿足0，若存在實數(shù)m使得m成立，則m_.4.ABC中，AB2，BC3，ABC60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點，若，則_.5設(shè)向量e1，e2不共線，3(e1e2)，e2e1，2e1e2，給出下列結(jié)論：A，B，C共線；A，B，D共線；B，C，D共線；A，C，D共線，其中所有正確結(jié)論的序號為_.6在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點，則_.(用a，b表示)7在ABC中

10、，已知D是AB邊上一點，若2，則_.8如圖所示，在ABC中，D、F分別是BC、AC的中點， a，b.(1)用a、b表示向量，；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點共線.一輪復習作業(yè)紙17 5.1平面向量的概念及線性運算1.在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若，其中，R，則_.2.已知向量a，b是兩個非零向量，則在下列三個條件中，能使a、b共線的條件是_.2a3b4e，且a2b3e；存在相異實數(shù)、，使·a·b0；x·ay·b0(實數(shù)x，y滿足xy0).3.設(shè)O在ABC的內(nèi)部，D為AB的中點，且20，則ABC的面積與AOC的面積的比值為_.4.已

11、知O，A，B是不共線的三點，且mn(m，nR).(1)若mn1，求證：A，P，B三點共線；(2)若A，P，B三點共線，求證：mn1.5.如圖所示：C中，點O是BC的中點.過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若m，n，則mn的值為_.6.如圖，在ABC中，E、F分別為AC、AB的中點，BE與CF相交于G點，設(shè)a，b，試用a，b表示.補充1已知任意平面四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點求證：()2如圖所示，若四邊形ABCD是一個等腰梯形，ABDC，M、N分別是DC、AB的中點，已知a，b，c，試用a、b、c表示，.3如圖所示，平行四邊形ABCD中，b，a，M為AB中點，

12、N為BD靠近B的三等分點，求證：M、N、C三點共線4設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求證：A、C、D三點共線；(2)如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三點共線，求k的值補充1已知任意平面四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點求證：()證明方法一如圖所示，在四邊形CDEF中，0.在四邊形ABFE中，0.得()()()()0.E、F分別是AD、BC的中點，0，0.2，即()方法二取以A為起點的向量，應(yīng)用三角形法則求證E為AD的中點，.F是BC的中點，()又，()()()()即()2如圖所示，若四邊形ABCD是一個等腰梯形，ABDC，M、N分別是DC、AB的中點，已知a，b，c，試用a、b、c表示，.解abc，c，b，a，abc，2a2bc.3如圖所示，平行四邊形ABCD中，b，a，M為AB中點，N為BD靠近B的三等分點，求證：M、N、C三點共線證明在ABD中，因為a，b，所以ba.N點是BD的三等分點，(ba)b，(ba)bab.M為AB中點，a，()ab.由可得：.由共線向量定理知：，又與有公共點C，M、N、C三點共線4設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求