熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散問題的傅里葉解

1、第八章熱傳導(dǎo)方程的傅里葉解第一節(jié)熱傳導(dǎo)方程和擴(kuò)散方程的建立8.1.1熱傳導(dǎo)方程的建立推導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程和前面弦振動(dòng)所用的數(shù)學(xué)方法完全相用，不同之處在于具體的物理規(guī) 律不同。這里用到的是熱學(xué)方面的兩個(gè)基本規(guī)律，即能量守恒和熱傳導(dǎo)的傅里葉實(shí)驗(yàn)定律。熱傳導(dǎo)的傅里葉實(shí)驗(yàn)定律：設(shè)有一塊連續(xù)的介質(zhì)，選定一定的坐標(biāo)系，并用 u(x,y,z,t) 表示介質(zhì)內(nèi)空間坐標(biāo)為的一點(diǎn)在t時(shí)刻的溫度。若沿x方向有一定的溫度差，在x方向也 就一定有熱量的傳遞。從宏觀上看，單位時(shí)間內(nèi)通過垂直 x方向的單位面積的熱量q與溫 度的沿x方向的空間變化率成正比，即qxk(8-1.1 )xq稱為熱流密度，k稱為導(dǎo)熱系數(shù)。公式中的負(fù)號(hào)表示熱

2、流的方向和溫度變化的方向正好相 反，即熱量由高溫流向低溫。研究三維各向同性介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)，在介質(zhì)中三個(gè)方向上存在溫度差，則有-I u «I u -. uqx k，qy k，qz k xyz或即熱流密度矢量q與溫度梯度u成正比。下面以一維均勻細(xì)桿為例，根據(jù)傅里葉實(shí)驗(yàn)定律和能量守恒定律推導(dǎo)介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)方程。第一步，定變量。研究介質(zhì)x位置處在t時(shí)刻的溫度u(x,t)第二步，取局部。在介質(zhì)內(nèi)部隔離出從 x到x x 一段微元長度，在t至ht時(shí)間內(nèi)溫度的變化 u u(x,t t) u(x,t)。第三步，立假設(shè)。假設(shè)均勻介質(zhì)的橫截面積為A,質(zhì)量密度為 ，比熱為c,熱傳導(dǎo)系數(shù)為k。第四步，找規(guī)律。

3、隔離出來的微元長度在t至ht時(shí)間內(nèi)吸收的熱量為：QcmucAxu(8-1.2 )在t至h t時(shí)間內(nèi)，同過x位置處的橫截面的熱量為：Qi qx A tkuxx A t(8-1.3 )在t至h t時(shí)間內(nèi)，同過xx位置處的橫截面的熱量為：Q2 qx x A tkuxx x A t(8-1.4 )如果在微元段內(nèi)有其他的熱源，假設(shè)在單位時(shí)間單位體積內(nèi)產(chǎn)生的熱量為F(x,t),則該熱源在微元內(nèi)產(chǎn)生的熱量為：Q3 F(x,t) t A x(8-1.5 )第五步，列方程。根據(jù)能量守恒定律，凈流入的熱量應(yīng)該等于介質(zhì)在此時(shí)間內(nèi)溫度升 高所需要的熱量。得至上a 2，f(x,t) 3, cc則得到熱傳導(dǎo)方程為(8-1

4、.6 )(8-1.7 )2Ut a Uxx f(x,t)當(dāng)介質(zhì)內(nèi)部無其他熱源時(shí)，熱傳導(dǎo)方程是齊次的，為2Ut a Uxx8.1.2 擴(kuò)散方程的建立擴(kuò)散問題研究的是雜質(zhì)在其他介質(zhì)中的濃度分布，得到的擴(kuò)散方程與熱傳導(dǎo)方程有完 全一樣的形式。過程略。8.1.3 熱傳導(dǎo)問題的定解條件與弦的振動(dòng)一樣，其定解條件包括邊界條件和初始條件。初始條件為：已知初始時(shí)刻細(xì)桿上各點(diǎn)的溫度分布u(x,0)其邊界條件有三種：第一邊界條件：已知細(xì)桿端點(diǎn)的溫度 u(0,t)或者u(l,t)第二邊界條件：已知通過端點(diǎn)的熱量，即已知端點(diǎn)的Ux。例如：當(dāng)介質(zhì)x=0端和外界絕熱，此時(shí)ux(0,t) 0第三邊界條件：例如，已知端點(diǎn)x=

5、l 與某種介質(zhì)按熱傳導(dǎo)中的牛頓實(shí)驗(yàn)定律進(jìn)行著熱量交換，已知端點(diǎn)的溫度為u(l,t),與其接觸的介質(zhì)的溫度為i(t),有牛頓實(shí)驗(yàn)定律知道：在單位時(shí)間內(nèi)由端點(diǎn)x=l 流入介質(zhì)的熱量為由傅里葉實(shí)驗(yàn)定律可知，在單位時(shí)間內(nèi)，端點(diǎn)x=l 流出熱量為：由 Q Q ，就可以得出第三邊界條件為其中， k 為熱傳導(dǎo)系數(shù)，h 為熱交換系數(shù)。第二節(jié) 混合問題的傅里葉解8.2.1 混合問題的解對(duì)于有界桿的熱傳導(dǎo)問題，我們先考慮齊次方程和齊次邊界條件下的混合問題。即：第一步 , 分離變量，將二階偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)常微分方程。令將此代入泛定方程(8-2.1 ) ，得到兩個(gè)常微分方程：T (t)a2T(t) 0( 8-2.

6、4 )X (x) X (x) 0( 8-2.5 )第二步，將u(x,t)原來的邊界條件轉(zhuǎn)化為X(x)的邊界條件。將此u(x,t) X(x)T(t)代入邊界條件，得X(x)的邊界條件:X(0) 0, X(l) 0(8-2.6 )第三步,求解本征信問題通過討論分析得出只有0時(shí)，方程(8-2.5 )的解才有意義。因此， 0時(shí)解(8-2.5 )式得X(x) Acosx Bsin、x.將這個(gè)通解代入邊界條件(8-2.6 ),就有A 0;即 A 0;A cos x l Bsin l 0. B sin 4 l 0.于是sin，0,即，n n 1,2,3,.得到本征值：相應(yīng)的本征函數(shù)是：第四步，求特解，并進(jìn)一

7、步疊加出一般解：對(duì)于每一個(gè)本征值n ,解(8-2.5 )式得出相應(yīng)的Tn(t):(n-a)2tTn(t) Ge l .得到了滿足偏微分方程和邊界條件的特解：n a 2(；-) t nUn(x,t)n 1,2,3,Cne l sin - x得到方程的一般解為u(x,t)，n a、2.( i ) t nCne1 sin 一n 1I(8-2.7 )第五步，利用本征函數(shù)的正交性確定疊加系數(shù)：現(xiàn)在根據(jù)初始條件中的已知函數(shù)(X)定出疊加系數(shù)g,將上面的一般解代入初始條件，并利用本征函數(shù)sin x的正交性得到系數(shù)為l2 1 n xCn ° (x)sin dx(8-2.8 )公式(8-2.7)給出了

8、均勻細(xì)桿上溫度場的分布，表明溫度場隨時(shí)間做指數(shù)衰減。第三節(jié)初值問題的傅里葉解8.3.1利用傅里葉積分求出熱傳導(dǎo)的初值問題對(duì)于無窮長一維介質(zhì)上的熱傳導(dǎo)問題，可以表示為解：令代入泛定方程(8-3.1 ),得到兩個(gè)常微分方程：T(t)a2T(t) 0(8-3.3)(8-3.4 )X (x) X(x) 0解式(8-3.3 )得到：T(t) Cea2t(8-3.5 )由公式(8-3.5 )可以看出：當(dāng) 0時(shí)，溫度隨時(shí)間的變化將趨于無窮大，這與物理事實(shí)不符，因此，0,令 2。(8-3.3 )和(8-3.4 )的解為與 有關(guān)系的一系列解，記為2 2十T (t) e at(8-3.6)解式(8-3.4 )得到

9、：于是得到熱傳導(dǎo)的一系列解為,、2口 -u (x,t) e A( )cos x B( )sin x(8-3.7 )由于這里的沒有邊界條件的限制，所以為任意實(shí)數(shù)值。則u(x,t)的一股解為公式(8-3.7)對(duì)所有值對(duì)應(yīng)解的疊加，由于 為連續(xù)實(shí)數(shù)，因此，u(x,t)的一股解為公式(8-3.7)對(duì)從 到進(jìn)行積分。即2 2+ u(x,t) e a A( )cos x B( )sin xd(8-3.8 )把初始條件代入上式得到：(x)A( )cos x B( )sin xd(8-3.9 )其中傅里葉系數(shù)：1A( ) 2-( )cos d(8-3.10 )_1B( ) 2-( )sin d(8-3.11

10、)把公式(8-3.10 )與(8-3.11 )帶入公式(8.3-9 )得到:利用e x dx聲,得出因此,u（x,t）可以寫為8.3.2u(x,t) 2u(x,t)熱傳導(dǎo)傅里葉解的物理意義()12a . ta2t cos ( x)d d(x)2 )ea"rd(8-3.12 )(8-3.12 )細(xì)桿上位置的點(diǎn)熱源在整個(gè)細(xì)桿上引起的溫度分布為:解（8-3.12）式可以看作是由各個(gè)瞬時(shí)點(diǎn)熱源引起的溫度分布的疊力口。第四節(jié)一端有界的熱傳導(dǎo)問題8.4.1左端有界熱傳導(dǎo)定解問題的解方法1:直接用分離變量法求解。解：令將此代入泛定方程（8-4.1 ）,得到兩個(gè)常微分方程:T(t)a2T(t) 0X

11、 (x)X(x) 0(8-4.4 )(8-4.5 )將此代入邊界條件（8-4.2 ）,得到:X(0) 0(8-4.6 )解式（ 8-4.4 ）得到：T（t） Ce a2t（ 8-4.7 ）由公式（8-4.7 ）可以看出：當(dāng)0時(shí)，溫度隨時(shí)間的變化將趨于無窮大，這與物理事實(shí)不符，因此，0，令2。 （ 8-4.4 ）和（8-4.5 ）的解為與有關(guān)系的一系列解，記為22T （t） e a t（ 8-4.8 ）解式（ 8-4.5 ）得到：把邊界條件（8-4.6 ）代入上式得到：A（ ） 0，因此于是得到熱傳導(dǎo)的一系列解為2a2tu （x, t） e A（ ）cos x B（ ）sin x（ 8-4.9

12、）由于這里的沒有邊界條件的限制，所以為任意實(shí)數(shù)值。則u（x,t）的一股解為公式（8-4.9）對(duì)所有值對(duì)應(yīng)解的疊加，由于 為連續(xù)實(shí)數(shù)，因此，u（x,t）的一股解為公式（8-4.9）對(duì)從 到 進(jìn)行積分。即把初始條件代入上式得到：得出：u(x,t)2a2tB( )e sin xd(x) B( )sin xd8-4.10 )8-4.11 )()sin d(8-4.12 )B()把公式利用因此，(8-4.12 )帶入公式(8-4.10 )得到:12a2tu(x,t) 0 ( ) e cos (x) cos( x)d d(8-4.13 )2-e x dx而，得出u(x,t)可以寫為u(x,t)12at 0

13、(x)2( x)2()e F-e Fd(8-4.14 )方法2：把半無界拓展為無界如何拓展？先看無界熱傳導(dǎo)問題在坐標(biāo)原點(diǎn) 的溫度分布具有什么樣的特點(diǎn)。由第三節(jié)可知，無界熱傳導(dǎo)問題的解為在 x 0 點(diǎn)，有：當(dāng)(x) 為奇函數(shù)時(shí)，u(0,t) 0滿足第一類齊次邊界條件。當(dāng)( x) 為偶函數(shù)時(shí)，ux(0, t ) 0 滿足第二類齊次邊界條件。所以：( 1) 當(dāng)半邊界為第一類齊次邊界條件時(shí)，把半無限問題擴(kuò)展為無限問題為：則其解為把第二項(xiàng)積分變量和區(qū)間變?yōu)?- ，則( 2) 當(dāng)半邊界為第二類齊次邊界條件時(shí)，把半無限問題擴(kuò)展為無限問題為：則其解為把第二項(xiàng)積分變量和區(qū)間變?yōu)?- ，則非齊次偏微分方程的求解齊

14、次偏微分方程和齊次邊界條件在分離法中起著關(guān)鍵的作用：因?yàn)榉匠毯瓦吔鐥l件是齊次的，分離變量法才得以實(shí)現(xiàn)。如果定解問題中的方程和邊界條件不是齊次的，還有沒有可能應(yīng)用分離變量法呢？在第七章弦的振動(dòng)問題中針對(duì)非齊次邊界條件先要進(jìn)行齊次化處理，才能用分離變量法已經(jīng)進(jìn)行了分析說明。對(duì)于非齊次方程的解法在這里詳加分析說明例如：強(qiáng)迫振動(dòng)的定解問題：該弦的振動(dòng)位移可以認(rèn)為是由三部分干擾引起的：第一部分是由初始位移(x)和初始速度(x)引起的振動(dòng)；第二部分是由邊界條件i(t), 2干擾引起的振動(dòng)；第三部分是由強(qiáng)迫力f(x,t)干擾引起的振動(dòng)。因此，求解上述問題強(qiáng)迫振動(dòng)問題，可以轉(zhuǎn)化為求解下面三個(gè)定解問題：2，一一

15、、，一(1.2)(1.3)Utta Uxx (0X l,t 0),(1.1)I： Ux0 0，Uxl 0 (t 0)，Ut 0 X ,Ut t 0(X) (0 x l).2，一一、，一 一Utt auxx (0x l,t0),(2.1)II： Ux0 1(t), Uxl 2(t) (t 0),(2.2)Ut 00，Utt 00 (0 x l).(2.3)2- ,、_.，一一Utta Uxxf(x,t)(0x l,t0),(3.1)III： Ux0 0, Uxl 0 (t 0),(3.2)Ut00,Utt0 0 (0 x l).(3.3)設(shè)方程 I 的解為uI ，方程II 的解為 uII ，方程

16、 III 的解為uIII ，則原定解問題的解為以上三個(gè)定解問題解的和，即方程 I 直接用分離變量法求解；方程II 為非齊次邊界條件，先將邊界條件齊次化后用分離變量法求解。下面研究方程III 的解法?；窘夥ㄒ粚⑽粗庹归_為本征函數(shù)法該方法的前提條件是必須知道對(duì)應(yīng)齊次方程的本征函數(shù)，第七章第四節(jié) “非齊次方程的求解”例題用該方法求解，但最后落腳點(diǎn)還是非齊次常微分方程，非齊次常微分方程的解法用沖量法(基本方法三)或積分變換法(拉普拉斯變換法或傅里葉變換法)?；窘夥ǘ驱R次方程齊次化找出特解v( x,t)令u(x,t) w(x,t) v(x,t),保持原有的齊次邊界條件不變，使得 w(x,t)滿足:則 v( x, t) 滿足常微分方程的邊值問題：該方法的關(guān)鍵在于找出特解v(x,t),適用于f(x,t)比較簡單的情形。第七章習(xí)題第11 題、 第 14題為非齊次方程，其中的自由項(xiàng)比較簡單，可以用該方法求解。第七章第11 題：分析：由于方程(1)的非齊次項(xiàng)知識(shí)x 的函數(shù)，就可以把特解函數(shù)也取為只是 x 的函數(shù)，即令 其中 v(x) 滿足：(4)式的解兩次積分很容易求出來。求出 v(x)后，再求w(x,t)的定解問題：基