2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法(1)學(xué)案新人教A版

1、3.2 一元二次不等式及其解法(1)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系.2.掌握圖象法解一元二次不等式.3.體會數(shù)形結(jié)合、分類討論思想.IT問題導(dǎo)學(xué)-知識點一一元二次不等式的概念思考 我們知道，方程X2= 1 的解集是1 , - 1，解集中的每一個元素均可使等式成立那 么你能寫出不等式X21 的解集嗎？答案 不等式X21 的解集為x|x1，該集合中每一個元素都是不等式的解，而不 等式的每一個解均屬于解集.梳理(1)只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 的不等式，稱為一元二次不等式.(2) 能使不等式成立的未知數(shù)x的一個值稱為不等式的一個解.(3) 不等式所有解的

2、集合稱為解集.知識點二“三個二次”的關(guān)系思考 分析二次函數(shù)y=x2-1 與一元二次方程x2- 1 = 0 和一元二次不等式x2-10 之間的關(guān) 系.答案x2- 10y=x2- 1ix2 1= 0.知識點三一元二次不等式的解法思考 根據(jù)上表，嘗試解不等式x2+ 23x. 答案先化為x2- 3x+ 20.2.方程x 3x+ 2 = 0 的根Xi= 1,X2= 2,原不等式的解集為x|x2.梳理 解一元二次不等式的步驟：_ 2 2(1)化為基本形式ax+bx+c0 或ax+bx+c0)；2計算 =b2 4ac,以確定一元二次方程ax2+bx+c= 0 是否有解;(3) 有根求根；(4) 根據(jù)圖象寫出

3、不等式的解集.題型探究類型一 一元二次不等式的解法命題角度 1 二次項系數(shù)大于 o例 1 求不等式 4x2 4x+ 10 的解集.解因為= ( 4) 4X4X1= 0,21所以方程 4x 4x+ 1 = 0 的解是X1=X2= ,所以原不等式的解集為*x|x豐2 反思與感悟當(dāng)所給不等式是非一般形式的不等式時，應(yīng)先化為一般形式，在具體求解一個一般形式的一元二次不等式的過程中，要密切結(jié)合一元二次方程的根的情況以及二次函數(shù)的 圖象.跟蹤訓(xùn)練 1 求不等式 2x2 3x 20的解集.21解2x 3x 2 = 0 的兩解為X1= 2，X2= 2,且a=20,21不等式 2x 3x 20的解集是x|xw

4、或x2.命題角度 2 二次項系數(shù)小于 0例 2 解不等式x2+ 2x 30.解 不等式可化為x2 2x+ 30.因為 0 轉(zhuǎn)化為x2 2x+ 32 的解集.2解 不等式可化為 3x- 6X+ 20,二X=1 -，X2=1+ ，不等式一 3X2+ 6x2 的解集是X|1 - #x 0,a1/ av0,.-v1,a1 .不等式的解集為xixva或x 1.當(dāng)a= 0 時，不等式即一x+ 1v0,解集為x|x 1.1當(dāng)a0 時，不等式可化為(x才宀1)v0.11當(dāng) 0vav1 時，1,不等式的解集為x|1vxv-.aa當(dāng)a= 1 時，不等式的解集為?.11當(dāng)a 1 時，1，不等式的解集為xjvxv1.

5、aa1 綜上，當(dāng)av0 時，解集為x|xv-或x 1;a當(dāng)a= 0 時，解集為x|x 1;1 當(dāng) 0vav1 時，解集為x|1vxv-;a當(dāng)a= 1 時，解集為?;1 當(dāng)a 1 時，解集為x|vxv1.a反思與感悟解含參數(shù)的不等式，可以按常規(guī)思路進行：先考慮開口方向，再考慮判別式的正負(fù)，最后考慮兩根的大小關(guān)系，當(dāng)遇到不確定因素時再討論.2跟蹤訓(xùn)練 3 解關(guān)于x的不等式(xa)(xa)v0.解當(dāng)av0 或a 1 時，有ava2,此時，不等式的解集為 x|avxva2;當(dāng) 0vav1 時，2 2有ava,此時，不等式的解集為 x|avxva；當(dāng)a= 0 或a= 1 時，原不等式無解.綜上，當(dāng)av0

6、 或a 1 時，原不等式的解集為x|avxva2；當(dāng) Ovav1 時，原不等式的解集為x|a2vxva;當(dāng)a= 0 或a= 1 時，解集為？類型二“三個二次”間對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用例 4 已知關(guān)于x的不等式x2+ax+b0 的解集.解由根與系數(shù)的關(guān)系，可得a=1+2,fa = 3,即b=1x2,|b=2,224不等式bx+ax+ 10，即 2x- 3x+ 1O.21由 2x 3x+ 10,解得x1.2r1bx+ax+ 10 的解集為x|xv或x 1 反思與感悟給出一元二次不等式的解集，相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)的開口方向及與x軸的交點，可以利用代入根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù).2跟蹤訓(xùn)練 4 已知不等

7、式axbx+ 20 的解集為x|1x0,且 1,2 是方程ax2bx+ 2 = 0 的兩實根.（bf1+2 2=a，由根與系數(shù)的關(guān)系，知2 仆 2=a，Laa= 1,解得*b= 3.方法二 把x= 1,2 分別代入方程ax2bx+ 2= 0 中，ab+ 2= 0,a= 1,得。解得 14a 2b+ 2= 0,b= 3.當(dāng)堂訓(xùn)練1 .不等式 2x2x 10 的解集是（）A.B. x|x 15C. x|xV1 或x2 1、D.，x|xv-或x1 答案 D2解析V2xx- 1 = (2x+ 1)(x 1),由 2x2-x- 10,得(2x+ 1)(x- 1)0,1解得x1 或x 1 2不等式一 6x

8、2-x+ 2W0的解集是(2 1 A.咲|-3wxw1c.欣|x1.答案 B解析 6x2-x+ 2w0,2 6x + x 20, (2x 1)(3x+ 2) 0,1 2 x 或xw-3.23若不等式ax+ 8ax+ 210 的解集是x| - 7x- 1，那么a的值是()A. 1 B . 2 C . 3 D . 4答案 C解析 由題意可知7 和1 為方程ax2+ 8ax+ 21 = 0 的兩個根. 7X( 1)=，故a= 3.a4 .不等式x2+x- 20 的解集為 _.答案x| - 2x1解析由x2+x-20,得2x1,故其解集為x| - 2x1.5若不等式(a 2)x2+ 2(a-2)x-4

9、0 的解集為 R,求實數(shù)a的取值范圍. 解 當(dāng)a-2 = 0,即a=2 時，原不等式為一 40,所以a= 2 時解集為 R.當(dāng)a-2 工0時，由題意得 F F- -2 20 0，IA 0,D.，x|6a2,即21 a-22-a-?1(I,解得2a0(a0)或ax+bx+c0)；2求方程ax2+bx+c= 0(a0)的根，并畫出對應(yīng)函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的簡圖；3由圖象得出不等式的解集.(2) 代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解.當(dāng)n0，則可得xn或xim若(xm)(xn)0，則可得mx0,a0)，根( = 0)，無根( X2,xi=x,xiX2.40 分鐘課時作業(yè)一、

10、選擇題1.一元二次方程ax2+bx+c= 0 的根為 2, 1,則當(dāng)a0的解集 為（）A. x|x2B. x|x2C. x|1x2D. x|1xw2答案 Dbc解析由題意知，一；=1 -= 2,aa b= a,c= 2a,又a0,27 xx2w0,. 1wxw2.812若 0t0 的解集是()1A.，x| fxt 1Cx|xt 答案 D1 1解析 .ot1，二tt.1B.，x|x-或1Dx|tx0? (x1)(x1)0?tx-.不等式2x 2x 22x+x+ 12 的解集為(A. x|x工一 2B. RC. ?D. x|x2答案 A2解析/x+x+10 恒成立，原不等式？x2 2x 20? (

11、x+ 2)20,不等式的解集為x|x2.4.已知f(x) = (xa)(xb) + 2(avb)，且a,3(a v 3)是方程f(x) = 0 的兩根，則a,3,a,b的大小關(guān)系是()A.av a v 3 vbB. av a vbv 3C.a vavbv 3D.a vav 3 vb答案 A解析設(shè)g(x) = (xa)(xb),則g(x)向上平移 2 個單位得到f(x)的圖象，如圖易知av a v 3 vb.92 2解析/mx+ 2mx-40.當(dāng)m=2 時，40,不等式的解集為 R,滿足題意;答案 A2解析f(1)= 1 4X1+ 6= 3,2當(dāng)x0時，x 4x+ 63，解得x3 或 OWx1;

12、當(dāng)x3,解得3xf(1)的解集是(一 3,1)U(3 ,+3).二、填空題7.不等式一 1x2+ 2x 1W2的解集是 _ 答案x| 3x 2 或 0 xw12x+2x3W0,解析/2 3x 2 或 00,8 .若不等式x2+ m+ 10 的解集為 R,貝U m的取值范圍是 _ .答案(一 2,2)解析 由題意知，不等式x2+ m+10 對應(yīng)的函數(shù)的圖象在x軸的上方，所以=m 4X1X10,所以一 20的解，貝Uk的取值范圍是 _答案(a,2U4, +3)解析x= 1 是不等式k2x2 6kx+ 80的解，把x= 1 代入不等式得k2 6k+ 80,解得k4或kw2.210._ 不等式x 3|

13、x| +2W0的解集為 _.答案x|2Wxw1 或 1wxw2解析 原不等式等價于|X|2 3|x| + 2W0,即卩 1W|x|W2.當(dāng)x0時，1wxw2;當(dāng)x0 時，一 2wxw1.所以原不等式的解集為x| 2wxw 1 或 1wxw2.2當(dāng)n2 時， = (4 2n) 16(2 n)0,解得一 2n2.此時，不等式的解集為R,綜上所述，20,6設(shè)函數(shù)f(x)=x+ 6,xf(1)的解集是()(3,1)U(2,+R)(33)U(1,3)10三、解答題11. 解關(guān)于x的不等式：x2+ (1 a)xa0.解 方程x+ (1 a)xa= 0 的解為xi= 1,X2=a.因為函數(shù)y=x2+ (1

14、a)xa的圖象開口向上，所以1當(dāng)a 1 時，原不等式的解集為x|ax 1 時，原不等式的解集為x| 1x0的解集為x| 3xW2，求關(guān)于x的不等式ex2bx+a0 的解集.2 1 、解由ax+bx+ O0 的解集為 3WxW21b+ 2 =3 十2 2a，52/.b= a,e= a,33?2不等式exbx+a0 可變形為_oI又/a0,2x5x30,解得xv3,所求不等式的解集為*x| 1 1x13 .解關(guān)于x的不等式ax2 2(a+1)x+ 40.解(1)當(dāng)a= 0 時，原不等式可化為一 2x+ 40,解得x2,所以原不等式的解集為x|x0 時，原不等式可化為(ax 2)(x 2)0，對應(yīng)方程的兩個根為* =2,沁=2.a21當(dāng) 0a2,a222當(dāng)a=1 1時，a=2 2,所以原不等式的解集為 BxBx豐2 2；知a0,且關(guān)于x的方程ax2+bx+e= 0 的兩個根分別為3，2 21e3x2 2=a，2+aa或x1 時，|2 或x|22當(dāng)10 時，原不等式可化為(一ax+ 2)(x 2)0，對應(yīng)