26.2 二次函數(shù)的圖象與性質(B卷)

1、26.2 二次函數(shù)的圖象與性質(B卷)(100分 70分鐘)一、學科內(nèi)綜合題:(每題5分,共15分)1.已知:在O的內(nèi)接ABC中,AB+AC=12,ADBC于D,且AD=3,設O的半徑為y, AB的長為x. (1)求y與x之間的函數(shù)關系式;(2)當AB的長為多少時,O的面積最大?并求出O的最大面積.2.若拋物線y=ax2+x+2經(jīng)過點(-1,0). (1)求a的值,并寫出這個拋物線的頂點坐標; (2)若點P(t,t)在拋物線上,則點P叫做拋物線上的不動點,求出這個拋物線上所有不動點的坐標.3.在直角坐標系中,拋物線y=x2-2mx+n+1的頂點A在x軸負半軸上,與y 軸交于點B,拋物線上一點C

2、的橫坐標為1,且AC=3. (1)求此拋物線的函數(shù)關系式; (2)若拋物線上有一點D,使得直線DB經(jīng)過第一、二、四象限,且原點O 到直線DB的距離為,求這時點D的坐標.二、學科間綜合題:(8分)4.電源電壓為220伏,若使標有“220V800V”的電器能在110伏220伏的電壓下工作(用電器的電阻恒定),求: (1)要使用電器達到使用要求,電器中應連接一個什么樣的電器?怎樣連接? (2)這個電器消耗的最大功率是多少?三、應用題:(每題5分,共25分)5.如圖所示,已知ABC的面積為2400cm2,底邊BC長為80cm.若點D在BC邊上,E在AC邊上,F在AB邊上,且四邊形BDEF為平行四邊形,

3、設BD=xcm, =ycm2,求: (1)y與x的函數(shù)關系式; (2)自變量x的取值范圍;(3)當x為何值時,y有最值,最值是多少?6.如圖所示,一個運動員推鉛球,鉛球在點A處出手,出手時球離地面約.鉛球落地點在B處,鉛球運行中在運動員前4m處(即OC=4)達到最高點,最高點高為3m.已知鉛球經(jīng)過的路線是拋物線,根據(jù)圖示的直角坐標系,你能算出該運動員的成績嗎?7.有一條長7.2米的木料,做成如圖所示的“日”字形的窗框, 問窗的高和寬各取多少米時,這個窗的面積最大?(不考慮木料加工時損耗和中間木框所占的面積)8.某公司生產(chǎn)的A種產(chǎn)品,每件成本是2元,每件售價是3元,一年的銷售量是10萬件.為了獲

4、得更多的利潤,公司準備拿出一定資金來做廣告.根據(jù)經(jīng)驗,每年投入的廣告費為x(萬元)時,產(chǎn)品的年銷售量是原來的y倍,且y是x的二次函數(shù),公司作了預測,知x與y之間的對應關系如下表:x(萬元)012y11.51.8 (1)根據(jù)上表,求y關于x的函數(shù)關系式; (2)如果把利潤看成是銷售總額減去成本和廣告費,請你寫出年利潤S(萬元) 與廣告費x(萬元)的函數(shù)關系式; (3)從上面的函數(shù)關系式中,你能得出什么結論?9.有一個拋物線形的拱形橋洞,橋洞離水面的最大高度為4m,跨度為10m,如圖所示,把它的圖形放在直角坐標系中. (1)求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式;(2)在對稱軸右邊1m處,橋洞離水面的高是

5、多少?四、創(chuàng)新題:(每題4分,共12分) (一)教材中的變型題10.(課本P15第1題變型) (1)說出拋物線y=3(x+3)2-4的開口方向、對稱軸及頂點坐標. (2)說出拋物線y=3(x-3)2+4的開口方向、對稱軸及頂點坐標.(3)說出拋物線y=3(x-3)x-4的開口方向、對稱軸及頂點坐標. (二)多解題11.已知一個二次函數(shù)的圖象過點(0,1),它的頂點坐標是(8,9), 求這個二次函數(shù)的關系式. (三)多變題12.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標為x1=1,x2=2.當x=3時,y=4,求這個函數(shù)的關系式,并寫出它的對稱軸和頂點坐標. (1)一變:已知

6、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸兩交點間的距離為1, 對稱軸為x= ,且當x=3時,y=4.求這個函數(shù)的關系式,并寫出圖象的頂點坐標和最值.五、中考題:(40分)13.(2003,大連,3分)拋物線y=(x-2)2+3的對稱軸是( ) A.直線x=-3 B.直線x=3 C.直線x=-2 D.直線x=214.(2004,呼和浩特,3分)如圖所示四個二次函數(shù)的圖象中, 分別對應的是y=ax2;y=bx2;y=cx2;y=dx2.則a、b、c、d的大小關系為( ) A.a>b>c>d B.a>b>d>c C.b>a>c>d D.b>

7、a>d>c15.(2003,濰坊,3分)已知二次函數(shù)y=3(x-1)2+k的圖象上有 三個點,則y1、 y2、y3的大小關系為( ) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y116.(2004,濰坊,3分)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則a、b、c滿足( ) A.a<0,b<0,c>0 B.a>0,b<0,c<0 C.a<0,b>0,c>0 D.a>0,b<0,c>017.(2003,江蘇鹽城,3分)函

8、數(shù)y=ax+b與y=ax2+bx+c的圖象如圖所示, 則下列選項中正確的是( ) A.ab>0,c>0 B.ab<0,c>0 C.ab>0,c<0 D.ab<0,c<018.(2003,廣西,3分)函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示, 那么關于x 的方程ax2+bx+c-3=0的根的情況是( ) A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個異號實數(shù)根 C.有兩個相等實數(shù)根 D.無實數(shù)根19.(2004,甘肅,8分)將直線y=2x-3向右平移3個單位,再向上平移1個單位,求平移后的直線的關系式. 解:在直線y=2x-3上任取兩點A(1,-1),B(0,

9、-3). 由題意知: 點A向右平移3個單位得A(4,-1);再向上平移1個單位得A(4,0) 點B向右平移3個單位得B(3,-3);再向上平移1個單位得B(3,-2) 設平移后的直線的關系式為y=kx+b. 則點A(4,0),B(3,-2)在該直線上, 可解得k=2,b=-8. 所以平移后的直線的關系式為y=2x-8. 根據(jù)以上信息解答下面問題: 將二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象向左平移1個單位,再向下平移2個單位,求平移后的拋物線的關系式.(平移拋物線形狀不變)20.(2004,大連,7分)如圖,拋物線y=-x2+5x+n經(jīng)過點A(1,0),與y軸于交點B. (1)求拋物線的關系式;(2

10、)P是y軸正半軸上一點,且PAB是以AB為腰的等腰三角形,試求P點坐標.21.(2003,山西,7分)啟明公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每件產(chǎn)品成本是3元,售價是4元, 年銷售量為10萬件,為了獲得更好的效益,公司準備拿出一定的資金做廣告. 根據(jù)經(jīng)驗,每年投入的廣告費是x(萬元)時,產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的y倍,且y=. 如果把利潤看作是銷售總額減去成本費和廣告費. (1)試寫出利潤S(萬元)與廣告費x(萬元)的函數(shù)關系式,并計算廣告費是多少萬元時,公司獲得的年利潤最大,最大年利潤是多少萬元? (2)把(1)中的最大利潤留出3萬元做廣告,其余的資金投資新項目,現(xiàn)有6個項目可供選擇,各項目的每股投資金額

11、和預計年收益如下表:項目ABCDEF每股(萬元)526468收益(萬元)0.550.40.60.50.91 如果每個項目只能投一股,且要求所有投資項目的收益總額不得低于1.6萬元, 問有幾種符合要求的投資方式?寫出每種投資方式所選的項目.答案:一、1.解:如答圖所示,(1)作直徑AE,連結BE. AE為直徑,ABE=90°,ABE=ADC=90°. E=C,ABEADC. ,即,y與x之間的函數(shù)關系式為y= (2)方法一(配方法): y= 當x-6=0,即x=6時,y最大值=6. SO最大值=.方法二:y=-x2+2x,當x= 時,y最大值=.SO最大值=.2.解:(1)拋

12、物線經(jīng)過點(-1,0),(-1)2·a+(-1)+2=0,解得a=-1.拋物線y=-x2+x+2的頂點坐標為.(2)根據(jù)題意,得-t2+t+2=t.解得t=, 這個拋物線上有兩個不動點,坐標分別為和 .3.解:(1)根據(jù)題意,畫出示意圖如答圖所示,過點C作CEx軸于點E.拋物線上一點C的橫坐標為1,且AC=3,C(1,n-2m+2),其中n-2m+2>0,OE=1, CE=n-2m+2.拋物線的頂點A在x軸負半軸上,A(m,0),其中m<0,OA=-m,AE=OE+OA=1-m. 由已知得 把(1),得n=m2-1. (3) 把(3)代入(2),得(m2-2m+1)2+(

13、m2-2m+1)-90=0. (m2-2m+11)(m2-2m-8)=0. m2-2m+11=0 (4) 或m2-2m-8=0 (5).對方程(4),=(-2)2-4×11=-40<0,方程m2-2m+11=0沒有實數(shù)根. 由解方程(5),得m1=4,m2=-2. m<0,m=-2.把m=-2代入(3),得n=3. 拋物線的關系式為y=x2+4x+4.(2)直線DB經(jīng)過第一、二、四象限,設直線DB交x軸正半軸于點F,過點O作OMDB于點M. 點O到直線DB的距離為,OM=.拋物線y=x2+4x+4與y軸交于點B,B(0,4),OB=4,BM=OBOF,OMBF,OBMFO

14、M., OF=2BO=8,F(8,0). 直線BF的關系式為y=-x+4. 點D既在拋物線上,又在直線BF上, ,解得 BD為直線,點D與點B不重合,點D的坐標為.二、4.解:(1)由題意分析可知,電路中應串聯(lián)一個滑動變阻器,且由串聯(lián)電路的分壓性知,滑動變阻器的最大阻值R最大應與用電器阻值R0相等,故R最大=. (2)設滑動變阻器兩端電壓為U時,消耗功率最大,則有P=,.三、5.解:(1)設DCE的高為hcm,如答圖所示.ABC的高為bcm,則y=x·h SABC=BC·b, 2400=×80b,b=60(cm). EDAB,EDCABC. , 即, h=. y=

15、·x=-x2+60x. (2)自變量x的取值范圍是0<x<80. (3)a= -<0,y有最大值. 當x=40時,y最大值=1200(cm2).6.解:能.OC=4,CD=3,頂點D坐標為(4,3),設 y=a(x-4)2+3,把A代入上式,得 =a(0-4)2+3, a=-,y= -(x-4)2+3,即y=x2+.令y=0,得x2+=0,x1=10,x2=-2(舍去), 故該運動員的成績?yōu)?0m.7.解:設窗框的寬為x米,則窗框的高為 米. 則窗的面積S=x·=.當x=1.2(米)時,S有最大值.此時,窗框的高為 =1.8(米).8.解:(1)設所求函數(shù)

16、關系式為y=ax2+bx+c,把(0,1),(1,1.5),(2,1.8)分別代入上式,得, 解得, (2)S=(3-2)×10y-x=()×10-x=-x2+5x+10. (3)S=-x2+5x+10=-.當0x2.5時,S隨x的增大而增大,因此當廣告費在0-2.5萬元之間時, 公司的年利潤隨廣告費的增大而增大.9.解:(1)B點坐標為(10,0),作AB的中垂線CD交AB于D,交拋物線于C, AB=10m,OD=×10=5(m).又CD=4m,拋物線頂點為(5,4). 設所求拋物線的關系式為y=a(x-5)2+4,把B(10,0)代入上式,得0=a(10-5)

17、2+4,a=-. y=-(x-5)2+4(0x10). (2)設對稱軸右邊1m處的點為M.OM=5+1=6,當x=6時,y=-(6-5)2+4=3.84(m).故橋洞離水面的高是3.84m.四、(一)10.解:(1)拋物線y=3(x+3)2-4開口向上,對稱軸是直線x=-3,頂點坐標為(-3,-4). (2)拋物線y=3(x-3)2+4開口向上,對稱軸是直線x=3,頂點坐標為(3,4). (3)拋物線y=3(x-3)2-4開口向上,對稱軸是直線x=3,頂點坐標為(3,-4).(二)11.解法一:頂點坐標為(8,9),設所求二次函數(shù)關系式為y=a(x-8)2+ 9.把(0,1)代入上式,得 a(

18、0-8)2+9=1,a=-. y=-(x-8)2+9,即y=-x2+2x+1.解法二:設所求二次函數(shù)關系式為y=ax2+bx+c.由題意,得, 解得 所求二次函數(shù)關系式為y=x2+2x+1.(三)12.解:兩個交點橫坐標為x1=1,x2=2, 這兩個交點坐標為(1,0),(2,0).把(1,0),(2,0),(3,4)分別代入y=ax2+bx+c,得,解得 y=2x2-6x+4. 頂點為,對稱軸為直線x=. (1)拋物線與x軸兩交點間距離為1,對稱軸為x=,拋物線與x軸的兩個交點坐標為(1,0),(2,0).于是把(1,0),(2,0),(3,4)分別代入y=ax2+bx+c,得,解得 y=2x2-6x+4. , 頂點為, a=2>0,函數(shù)有最小值,當x=時,y最小值=.五、13.D 14.A 15.D 16.A 17.D 18.C19.解:方法一: 在拋物線y=-x2+2x+3上任取兩點A(0,3),B(1,4). 由題意知: 點A向左平移1個單位得A(-1,3);再向下平移2個單位得A(-1,1). 點B向左平移1個單位得B(0,4);再向下平移2個單位得B(0,2). 設平移后的拋物線的關系式為y=-x2+bx+c. 則點A(-1,1),B