數(shù)學(xué)中的向量與物理中的矢量-2019年文檔

1、數(shù)學(xué)中的向量與物理中的矢量學(xué)生的學(xué)習(xí)和思考從生活中的實(shí)例和現(xiàn)象開始,這是深度學(xué)習(xí)的起點(diǎn)之一,學(xué)生遇到的任何一個(gè)問題都不是孤立的,不同的學(xué)科會從不同的角度進(jìn)行研究,表達(dá)出不同學(xué)科的特點(diǎn)和本 質(zhì).學(xué)科教學(xué)設(shè)置了明確的學(xué)科邊界, 經(jīng)常將學(xué)生原本整體的認(rèn) 知割裂開來,穿越學(xué)科邊界進(jìn)行設(shè)計(jì)課程, 回歸學(xué)生對問題本質(zhì) 的理解,通過跨學(xué)科的知識解決問題, 我們在高中數(shù)學(xué)“平面向 量的教學(xué)中進(jìn)行了嘗試.進(jìn)行學(xué)科穿越的課程設(shè)計(jì)首先要明確學(xué)科間聯(lián)系的本質(zhì).數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué),數(shù)學(xué)對象既有代數(shù)的特 性,又有幾何的特性,平面向量也具備這兩種特性,它是近代數(shù) 學(xué)中重要和根本的數(shù)學(xué)概念之一,是溝通代數(shù)、幾

2、何與三角函數(shù)的一種工具,在物理中有廣泛的應(yīng)用,有極其豐富的實(shí)際背景.物理中的力、速度、加速度、位移都是矢量,在數(shù)學(xué)學(xué)科中抽象 成自由向量,矢量和向量都是既有大小又有方向的量,是同一性質(zhì)的量在不同學(xué)科中的描述. 有大量的物理問題或現(xiàn)象能夠抽象 成相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題,數(shù)學(xué)問題對應(yīng)的數(shù)學(xué)本質(zhì)研究會促進(jìn)相應(yīng)物 理問題的解決.結(jié)合高中物理必修1和必修2中的物理問題,總 結(jié)出數(shù)學(xué)和物理學(xué)科聯(lián)系的內(nèi)容見表1.學(xué)科穿越的邊界在哪里？這需要從學(xué)科的界定談起.物理中的矢量除了有大小和方向要素外,還有作用點(diǎn),每個(gè)矢量有其物理意義,而在數(shù)學(xué)學(xué)科向量只有大小和方向的要素,是在矢量基礎(chǔ)上的進(jìn)一步抽象.實(shí)驗(yàn)水平是物理學(xué)科的重要

3、水平之一,在高中物理必修1教材中通過實(shí)驗(yàn)探究求合力的方法得到矢量求和 的平行四邊形定那么,進(jìn)而應(yīng)用這一法那么解決問題, 運(yùn)算求解是數(shù) 學(xué)學(xué)科的重要水平之一,數(shù)學(xué)中平面向量的加法運(yùn)算是借助物理 學(xué)科的位移求和問題進(jìn)行定義,然后研究向量加法的符號表示、 運(yùn)算律及其坐標(biāo)運(yùn)算,突出運(yùn)算的特性.不同的學(xué)科對同一對象 的研究關(guān)注點(diǎn)不同,與學(xué)科水平的培養(yǎng)有密切關(guān)系. 學(xué)生在遇到 問題的時(shí)候,需要明確不同學(xué)科的邊界, 又要綜合運(yùn)用不同的學(xué) 科水平解決問題.物理教師積累的學(xué)生測試數(shù)據(jù)顯示： 學(xué)生對于物理問題,能 從實(shí)際問題當(dāng)中抽象模型的占 11%熟練掌握矢量的表示方式與 運(yùn)算方法的占14%理解并能運(yùn)用力的運(yùn)動關(guān)

4、系的物理思想的占 29%能對結(jié)果進(jìn)行正確討論的占17%從這些數(shù)據(jù)可以看出, 學(xué)生將實(shí)際的物理問題抽象成數(shù)學(xué)模型的水平欠缺,應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)行運(yùn)算的意識比擬薄弱,在物理學(xué)科中只用物理方法來解物理 題,在數(shù)學(xué)學(xué)科中只用數(shù)學(xué)方法來做數(shù)學(xué)題,孤立的、割裂的學(xué) 習(xí)使得學(xué)生在面對實(shí)際問題的時(shí)候不能綜合分析,整體認(rèn)知,所以在平面向量教學(xué)中,我們通過設(shè)計(jì)盡量來改善這個(gè)問題.我們將單元設(shè)計(jì)的主題選定為： 數(shù)學(xué)中的向量與物理中的矢 量.單元目標(biāo)的設(shè)計(jì)也突出學(xué)科間的穿越,例如：學(xué)生通過抽象 引體向上運(yùn)動,分析理解向量的根本概念和根本運(yùn)算；學(xué)生更新已有初中時(shí)對功的公式的熟悉, 通過功的背景來理解向量的數(shù)量 積運(yùn)算,用函數(shù)的

5、思想來研究功與力和位移的關(guān)系,探究向量與數(shù)量的關(guān)系；學(xué)習(xí)平面向量數(shù)量積以后, 學(xué)生通過功的專題學(xué)習(xí) 來整理總結(jié)學(xué)習(xí)收獲等. 這些目標(biāo)的設(shè)計(jì)從真實(shí)的問題出發(fā),結(jié)合學(xué)生已有的認(rèn)知水平,需要經(jīng)歷分析問題一抽象概念一探究方 法和策略一體會學(xué)科思想一解決實(shí)際問題的過程,這個(gè)過程中既有物理學(xué)科的知識和方法, 也有數(shù)學(xué)學(xué)科的思想和方法, 二者交 融在一起.學(xué)科穿越的設(shè)計(jì)要以學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)科認(rèn)知為根底.平面向量單元的概念較多,核心概念是向量,它的兩個(gè)要素是大小和方向, 需要在向量概念的根底上繼續(xù)抽象相關(guān)的概念.為了整合學(xué)生在物理學(xué)習(xí)中已有的知識和經(jīng)驗(yàn),實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課的進(jìn)一步抽象和運(yùn) 算,我們在課程設(shè)計(jì)的時(shí)候設(shè)計(jì)學(xué)生

6、熟悉的物理情境：在單杠上做引體向上,兩臂的夾角越小越省力. 你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這 種現(xiàn)象嗎？Q1.用圖和式表示題目中的量及其關(guān)系.Q2.用什么數(shù)學(xué)方法解釋現(xiàn)象？Q3.問題中的量與數(shù)量有什么不同？Q4.向量的定義和表示方法.Q5.舉例說明你學(xué)習(xí)過的向量有哪些？Q6.你能發(fā)現(xiàn)問題中的向量之間有哪些關(guān)系？Q7.分別從大小和方向兩個(gè)角度說明問題中特殊的向量有哪些？Q8.如何計(jì)算做一次引體向上需要消耗的能量？Q9.物理中的平行四邊形法那么和數(shù)學(xué)中向量的加法有什么關(guān)系？Q10.平面向量的代數(shù)形式是什么？在物理情境的引導(dǎo)下,學(xué)生能夠自發(fā)地提出上述的一些問 題.學(xué)生提問題的過程就是參與思考、進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的過

7、程.與 以往的概念和運(yùn)算學(xué)習(xí)相比,學(xué)生對概念抽象的意義理解更深 刻,對概念的本質(zhì)把握更準(zhǔn)確,在經(jīng)歷了充分地分析和抽象以后, 學(xué)生不僅能夠自主地建構(gòu)平面向量的概念網(wǎng),而且也體驗(yàn)了將知識應(yīng)用于生活的過程.要通過穿越學(xué)科的邊界來看問題的本質(zhì),比方,物理學(xué)科中矢量的分解問題,對應(yīng)到數(shù)學(xué)內(nèi)容上是平面向量根本定理,表達(dá)出數(shù)學(xué)學(xué)科根本量的思想,即要用平面內(nèi)根本的量來表示平面內(nèi) 的任意一個(gè)向量.這個(gè)內(nèi)容在物理學(xué)科中有相應(yīng)的表達(dá),如圖 2 所示.圖2這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)就是平面向量根本定理的應(yīng)用, 需要學(xué)生結(jié) 合知識進(jìn)行物理現(xiàn)象的想象并用運(yùn)動軌跡呈現(xiàn)出來. 在平面向量 根本定理教學(xué)的時(shí)候,可以從根本的物理問題出發(fā)進(jìn)行

8、探究： 任 何一個(gè)力都可以沿著兩個(gè)方向進(jìn)行分解嗎？如果能, 說明怎么分 解,如果不能,說明理由.需要學(xué)生將這個(gè)問題用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述,應(yīng)用已有的向量加法法那么進(jìn)行探究, 最后給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué) 證實(shí),是物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果的抽象化和邏輯化的提升. 怎么讓學(xué)生體 會平面向量根本定理中蘊(yùn)含的根本量的思想？我們設(shè)計(jì)了圖 3 的例題.圖3這個(gè)例題的設(shè)計(jì),教師關(guān)注三個(gè)方面的內(nèi)容：1在同一基底下表示不同的向量；2在不同的基底下來表示同一個(gè)向 量；3比擬選取不同基底的優(yōu)劣,突出對數(shù)學(xué)思想的體驗(yàn)過 程.評估也能夠表達(dá)出穿越學(xué)科邊界學(xué)習(xí)的意義.作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種評估,我們設(shè)計(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)方法來解決的物理問題,比方說這樣的一個(gè)問

9、題：如圖4所示,電線AB下有一盞電燈,用繩子 BC將其拉離墻壁.在保證電線 AB與豎直墻壁間的夾角 6不變 的情況下,使繩子BC由水平方向逐漸向上轉(zhuǎn)動, 那么繩子BC中的 拉力的變化情況是A.逐漸增大B.逐漸減小C.先增大,后減小D.先減小,后增大這一問題的解決對學(xué)生來講有一定難度,對于物理中的三個(gè) 矢量來說,其中一個(gè)矢量始終是不變的, 另外一個(gè)矢量是方向不 變,第三個(gè)矢量是大小和方向都在變, 這是從變化的角度來分析物理中矢量的變化.那么構(gòu)建數(shù)學(xué)模型以后, 學(xué)生就需要應(yīng)用學(xué) 習(xí)的向量加法的三角形法那么進(jìn)行分析, 對矢量進(jìn)行平移,平移以 后已經(jīng)不是具有物理意義的矢量了, 而是應(yīng)用數(shù)學(xué)中向量的三角 形法那么,還可以進(jìn)一步應(yīng)用函數(shù)的模型解決,應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題也是物理學(xué)科中重要的水平之一.在學(xué)科穿越的過程當(dāng)中,怎么能夠表達(dá)學(xué)科的本質(zhì)？需要從 學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)角度審視我們的設(shè)計(jì). 數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科重要 的學(xué)科素養(yǎng),目前學(xué)生在這方面相對較弱, 我們設(shè)計(jì)了 “功的 主題研究,讓學(xué)生從學(xué)科開展和學(xué)科融合的方面進(jìn)行知識和方法 的總結(jié),體會數(shù)學(xué)和物理學(xué)科的相互融合和相互促進(jìn),形成學(xué)科思想指導(dǎo)下的認(rèn)知整體.圖5數(shù)學(xué)思想統(tǒng)領(lǐng)學(xué)科穿越數(shù)學(xué)學(xué)科和物理學(xué)科的關(guān)系非常緊密,比方學(xué)生接觸到的物理公式與數(shù)學(xué)學(xué)科的函數(shù)模型是對應(yīng)的,都表達(dá)了變量和對應(yīng)思想,物理學(xué)