課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題

1、13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)1. 目標(biāo)：能利用軸對(duì)稱(chēng)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題， 體會(huì)圖形的變化在解決最值問(wèn) 題中的作用；感悟轉(zhuǎn)化思想2. 能利用軸對(duì)稱(chēng)將線段和最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“連點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題；在探索最算路徑的過(guò)程中，體會(huì)軸對(duì)稱(chēng)的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想重點(diǎn)：禾I用軸對(duì)稱(chēng)將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“連點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題 難點(diǎn)：如何利用軸對(duì)稱(chēng)將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段和最小問(wèn)題 教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容與教師活動(dòng)學(xué)生活 動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情景引入課題師：前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段 最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線 段最短”等的問(wèn)題，我們稱(chēng)它們?yōu)樽疃搪窂?/p>

2、問(wèn)題現(xiàn)實(shí)生活 中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探 究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問(wèn)題” （板書(shū)）課題學(xué)生思 考教師 展示問(wèn) 題，并觀 察圖片， 獲得感 性認(rèn)識(shí)從生活中問(wèn) 題出發(fā)，喚 起學(xué)生的學(xué) 習(xí)興趣及探 索欲望二、自主探究合作交流建構(gòu)新知 追冋1:觀祭思考，抽象為數(shù)學(xué)冋題 這是一個(gè)實(shí)際冋題，你打算首先做什么？ 活動(dòng)1:思考畫(huà)圖、得出數(shù)學(xué)問(wèn)題將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河1抽象為一條直線.動(dòng)手畫(huà) 直線為學(xué)生提供 參與數(shù)學(xué)活 動(dòng)的生活情B。A觀察口 答鄉(xiāng)J H J 丁亠1 口丨曰 境，培養(yǎng)學(xué) 生的把?；?問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 數(shù)學(xué)問(wèn)題的 能力l追問(wèn)2你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思， 并把

3、它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試回答， 并互相補(bǔ)充，最后達(dá)成共識(shí)：（1）從A地出發(fā)，到河邊I飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A,B連 接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從 A地 到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和；（3）現(xiàn)在的問(wèn)題是怎 樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線 I上的點(diǎn).設(shè)C為 直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn) C在I的 什么位置時(shí)，AC與CB的和最?。ㄈ鐖D）.動(dòng)手連 線觀察口 答經(jīng)歷觀察- 畫(huà)圖-說(shuō)理 等活動(dòng)，感 受幾何的研 究方法，培 養(yǎng)學(xué)生的邏 輯思考能 力.活動(dòng)2:嘗試解決數(shù)學(xué)問(wèn)題問(wèn)題2 :如圖，點(diǎn)A，B在直線I的同側(cè)，點(diǎn)C是直線

4、 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在I的什么位置時(shí)，AC與CB的和 最?。孔穯?wèn)1你能利用軸對(duì)稱(chēng)的有關(guān)知識(shí)，找到上問(wèn)中符合條 件的點(diǎn)B'嗎？B獨(dú)立思 考合作交流匯報(bào)交 流成果, 書(shū)寫(xiě)理由達(dá)到軸對(duì)稱(chēng) 知識(shí)的學(xué)以 致用注意問(wèn)題解 決方法的小 結(jié)：抓對(duì)稱(chēng) 性來(lái)解決思考感 悟活動(dòng)1 中的將 軍飲馬 問(wèn)題，把 剛學(xué)過(guò) 的方法 經(jīng)驗(yàn)遷 移過(guò)來(lái)及時(shí)進(jìn)行學(xué) 法指導(dǎo)，注 重方法規(guī)律 的提煉總結(jié).學(xué)生獨(dú) 立完成， 集體訂 正學(xué)以致用, 及時(shí)鞏固問(wèn)題3如圖，點(diǎn)A, B在直線I的同側(cè)，點(diǎn)C是直線 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在I的什么位置時(shí)，AC與CB的和 最??？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，畫(huà)圖分析，并嘗試回答，互相 補(bǔ)充如果學(xué)生有困

5、難，教師可作如下提示 作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'（2）連接AB，與直線I相交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求. 如圖所示：學(xué)生獨(dú) 立完成， 集體訂 正經(jīng)歷觀察- 畫(huà)圖-說(shuō)理 等活動(dòng)，感 受幾何的研 究方法，培 養(yǎng)學(xué)生的邏 輯思考能 力.注意問(wèn)題解 決方法的小 結(jié)：抓軸對(duì) 稱(chēng)來(lái)解決問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC +BC最短嗎?教師展示：證明：如圖，在直線I上任取一點(diǎn)C （與點(diǎn) C不重合），連接AC，BC，B' C'.由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知，BC =B C, BC =B ' C AC +BC=AC +B ' C = AB '，AC ' +BC=

6、AC ' +B' C互相交 流解題 經(jīng)驗(yàn)提煉思想方 法：軸對(duì)稱(chēng), 線段和最短方法提煉：將最短路徑問(wèn)題抽象為“線段和最小問(wèn)題”.問(wèn)題4'獨(dú)立完 成，交流 經(jīng)驗(yàn)觀察思 考，動(dòng)手 畫(huà)圖，用 軸對(duì)稱(chēng) 知識(shí)進(jìn) 行解決體會(huì)轉(zhuǎn)化思 想，體驗(yàn)軸對(duì)稱(chēng) 知識(shí)的應(yīng)用練習(xí) 如圖，一個(gè)旅游船B大橋AB的P處前往山腳下的 Q處接游客，然后將游客送往河岸 BC上，再返回P處，請(qǐng) 畫(huà)出旅游船的最短路徑.基本思路：由于兩點(diǎn)之間線段最短，所以首先可連接 PQ 線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路將河岸抽象為一 條直線BC，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P，Q在直線BC的同側(cè), 如何在BC上找到一點(diǎn)R,使PR與QR的

7、和最小”.問(wèn)題5造橋選址問(wèn)題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋 MN喬早在何處才能使從 A到B的路徑AMN最短？（假定河 的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）思維分析：1、如圖假定任選位置造橋MN,連接AM和 BN,從A到B的路徑是AM+MN+B那么怎樣確定什么情況 下最短呢？各抒己 見(jiàn)動(dòng)手體驗(yàn)合作與 交流動(dòng)手作圖2、禾U用線段公理解決問(wèn)題我們遇到了俘障礙呢？思維點(diǎn)撥：改變 AM+MN+B的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？ 什么圖形變換能幫助我們呢？（估計(jì)有以下方法）1、把A平移到岸邊2、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和A相連.4、把橋平移到和B相連.教師：上述方法都能做到使AM+MN+

8、B不變呢？請(qǐng)檢驗(yàn).1、2兩種方法改變了 .怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或 上平移一個(gè)橋長(zhǎng)那么怎樣確定橋的位置呢 ？問(wèn)題解決：如圖，平移 A到A1,使A A1等于河寬，連接 A1B交河岸于N作橋MN,此時(shí)路徑AM + MN+BN最 短. 理由；另任作橋MINI,連接AM1,BN1,A INI . 由平移性質(zhì)可知，AM=A1N,AA1=MN = M1N1,AM1=A1N1. AM+MN+B轉(zhuǎn)化為 AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1 轉(zhuǎn)化為AA1+ A1N1+BN1 . 在A1N1B中，由線段公理知 A1N1+BNA A1B 因此 AM1+M1N1 + BN1 > AM+MN+BN如0

9、 圖所示：A交流體 會(huì)體驗(yàn)轉(zhuǎn)化思 想Ai*M、 MiJ11方法提煉：7、 7將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線段和最小問(wèn)題N 1教學(xué)內(nèi)容與教師活動(dòng)學(xué)生活 動(dòng)設(shè)計(jì)意圖三、鞏固訓(xùn)練1、最短路徑問(wèn)題(1)求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題，只要連接這兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求.如圖所示，點(diǎn)A, B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在1上找一個(gè)點(diǎn) C,使CA + CB最短，這時(shí)點(diǎn) C是直線1與AB的交點(diǎn).A ,(2)求直線冋側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)， 則與該直線的交點(diǎn)即為所求.如圖所示，點(diǎn)A, B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在

10、1上找一個(gè)點(diǎn) C,使CA + CB最短，這時(shí)先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B',則點(diǎn)C 是直線1與AB'的交點(diǎn).學(xué)生獨(dú) 立思考 解決問(wèn) 題鞏固所學(xué)知 識(shí)，增強(qiáng)學(xué) 生應(yīng)用知識(shí) 的能力，滲 透轉(zhuǎn)化思 想.X V I1込2.如圖，A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一 座橋MN和PQ橋分別建在何處才能使從 A到B的路徑最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直)如圖，問(wèn)題中所走總路徑是 AM+MN+NP+RQB .橋 MN和PQ 在中間，且方向不能改變，仍無(wú)法直接利用“兩點(diǎn)之間，線 段最短”解決問(wèn)題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè) 先走橋長(zhǎng).平移的方法有三種：兩個(gè)橋長(zhǎng)都平

11、移到A點(diǎn)處、都 平移到B點(diǎn)處、MN平移到A點(diǎn)處，PQ平移到B點(diǎn)處獨(dú)立思 考，合提煉方法， 為課本例題 奠定基礎(chǔ).作a.交四、反思小結(jié)布置作業(yè)自由發(fā)總結(jié)回顧學(xué)小結(jié)反思-_:言,相習(xí)內(nèi)容，幫(1)本節(jié)課研究問(wèn)題的基本過(guò)程是什么？互借助學(xué)生歸納(2)軸對(duì)稱(chēng)在所研究問(wèn)題中起什么作用？鑒.自反思所學(xué)知解決問(wèn)題中，我們應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？我評(píng)識(shí)及思想方你還有哪些收獲？?jī)r(jià)法.作業(yè)布置、課后延伸關(guān)注學(xué)生的必做題：課本P93-15題；選做題：生活中，你發(fā)現(xiàn)那些需要 用到本課知識(shí)解決的最短路徑問(wèn)題個(gè)體差異.板書(shū)設(shè)計(jì)：13.4最短路徑問(wèn)題兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂

12、線段取短”等的問(wèn)題，我們稱(chēng)它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)題. 方法提煉：將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線段和最小問(wèn)題”教學(xué)反思：第2課時(shí) 含30°角的直角三角形的性質(zhì)2能靈活運(yùn)用含30。角的直角三角形的性質(zhì)定理解決有關(guān)問(wèn)題.（難點(diǎn)）一、情境導(dǎo)入問(wèn)題：1. 我們學(xué)習(xí)過(guò)直角三角形，直角三角形的角之間都有什么數(shù)量關(guān)系？2. 用你的30°角的直角三角尺，把斜邊和30°角所對(duì)的直角邊量一量， 你有什么發(fā)現(xiàn)? 今天，我們先來(lái)看一個(gè)特殊的直角三角形，看它的邊角具有什么性質(zhì).二、合作探究探究點(diǎn)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)【類(lèi)型一】 利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)D 如圖

13、，在 Rt ABC中, / ACB= 90°, / B= 30°, CD是斜邊 AB上的高，AD= 3cm, 則AB的長(zhǎng)度是（）A. 3cm B . 6cm C. 9cm D . 12cm解析：在 Rt ABC中，T CD是斜邊 AB上的高，./ ADC= 90°,./ ACD= / B= 30°在 Rt ACD中, AC= 2AD= 6cm 在 Rt ABC中，AB= 2AG= 12cm. / AB的長(zhǎng)度是 12cm.故選 D.【類(lèi)型二】與角平分線或垂直平分線性質(zhì)的綜合運(yùn)用12如圖,AO圧/ BO圧 15°, PC/ OA交 OB于 C, P

14、D丄 OA于 D 若 PC= 3,貝U PD方法總結(jié)：運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)時(shí)，要分清線段所在的直角三角形.等于（）A. 3 B . 2 C . 1.5 D . 1解析：如圖，過(guò)點(diǎn) P 作 PEL OB于 E T PC/ OAAOP= / CPO/ PCE= Z BOP-/ CPO= Z BOZ AOP= Z AOB= 30 ° .又 t PC= 3, a PE= |pC= | x 3 = 1.5. tZ AOP= Z BOPPDL OA a PD= PE= 1.5.故選 C.方法總結(jié)：含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運(yùn)用時(shí)，關(guān)

15、鍵是尋 找或作輔助線構(gòu)造含 30°角的直角三角形.【類(lèi)型三】利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)探究線段之間的倍、分關(guān)系D如圖，在 ABC中，/ C= 90°, AD是/ BAC勺平分線，過(guò)點(diǎn) D作DEL AB DE恰好 是/ ADB的平分線.CD與 DB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：由條件先證 AEDA BED得出/ BAD= Z CAD= Z B,求得/ B= 30°,即可得到1CD= 2DB1解：CD= qDB 理由如下：T DEI AB / AED=Z BED= 90° . / DE 是Z ADB的平分線，Z ADE=Z BDE又t

16、DE= DE AEDA BEDASA), AD= BD Z DAE=Z B. tZ BAD=1Z CAD= -Z BAC Z BAD=Z CAD=Z B tZ BADfZ CA9Z B= 90° , / B=Z BAD=Z CAD1 1 1=30° .在 Rt ACC中,tZ CAD= 30°, CD= -AD= -BD 即 CD= qDB方法總結(jié)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)是表示線段倍分關(guān)系的一個(gè)重要的依據(jù)，如 果問(wèn)題中出現(xiàn)探究線段倍分關(guān)系的結(jié)論時(shí)，要聯(lián)想此性質(zhì).14【類(lèi)型四】利用含30°角的直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題某市在“舊城改造”中計(jì)劃在

17、市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮以美化環(huán)境，已知 AC= 50m AB= 40m Z BAC= 150 ° ,這種草皮每平方米的售價(jià)是a元，求購(gòu)買(mǎi)這種草皮至少需要多少元？解析：作BDL CA交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D.在Rt ABD中 ,利用30°角所對(duì)的直角邊是斜 邊的一半求BD即厶ABC勺高運(yùn)用三角形面積公式計(jì)算面積求解.解：如圖所示,作 BDL CA于 D 點(diǎn).tZ BAC= 150 ° ,DAB= 30° . t AB= 40m - BD1 1 2=-AB= 20m -&abc= - x 50 x 20= 500(m ).已知這種草皮每平方米 a元，所以