高中數(shù)學(xué)第四屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩大賽《映射》教案

1、映 射教學(xué)目的：1、 了解映射的概念及符號表示方法；2、 了解象與原象的概念；3、 在映射概念的形成過程中，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較和歸納的能力。教學(xué)重點(diǎn)：映射的概念。教學(xué)難點(diǎn)：映射概念的形成與認(rèn)識(shí)。教學(xué)過程：引入：初中所學(xué)的對應(yīng)1）、對于任何一個(gè)實(shí)數(shù)a，數(shù)軸上都有唯一的一點(diǎn)P和它對應(yīng)；2）、對于坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一個(gè)點(diǎn)A，都有唯一的一個(gè)有序?qū)崝?shù)對（x,y）和它對應(yīng)；這節(jié)課就是在集合的基礎(chǔ)之上重點(diǎn)研究兩個(gè)集合元素與元素之間的一種特殊的對應(yīng)映射。新課：1、觀察討論中接近概念1）、引例：觀察以下幾個(gè)集合間的對應(yīng)，討論特征 A B 1 2 3 41 A B A B取倒數(shù) 9 4 13-32-21-1 開平

2、方 一對一一對多 BBAA 1 2 3 123456 取絕對值 乘以2 1-1 2-2 0 120 多對一 一對一 A B A B 高 一 （9） 班 同 學(xué)高 一 （9） 班 學(xué)生證 3 -3 2 -2 1 -1941 每人領(lǐng)自己平方 的學(xué)生證 多對一 一對一 講解：）、以上對應(yīng)的特征：對于集合A中的任何一個(gè)元素,按照某種對應(yīng)法則f ,在集合B中都有確定的一個(gè)或幾個(gè)元素和它對應(yīng)。具體為：一對多，一對一，多對一。）、在這些對應(yīng)中有那些是讓中元素就對應(yīng)中唯一的一個(gè)元素：（讓學(xué)生仔細(xì)觀察，回答）的共性：中的每個(gè)元素在中都有唯一的元素與之對應(yīng)，直觀語言表述：A中的每個(gè)元素在B中的結(jié)果均唯一。（由學(xué)生

3、總結(jié)，教師補(bǔ)充整理引出映射定義）定義1：一般地，設(shè)、是兩個(gè)集合，若按照某種對應(yīng)法則f，對于集合中的任何一個(gè)元素，在集合中都有唯一的元素和它對應(yīng)，則這樣的對應(yīng)叫做集合到集合的映射，記作f：AB。（這種具有對應(yīng)關(guān)系的元素也有自己的名稱，引出象與原象的概念。）定義2：給定一個(gè)映射f：AB，且aA,bB，若元素a與元素b對應(yīng)，則b叫做a的象，而a叫做b的原象。（以具體說明誰是誰的象，誰是誰的原象）。2、映射定義剖析：1）、映射是由三部分構(gòu)成的一個(gè)整體：集合A、集合B、對應(yīng)法則f，這一點(diǎn)從映射的符號表示f：AB可看出，其中集合A、B可以是數(shù)集、點(diǎn)集或其他集合，可以是有限集也可以是無限集，但不能是空集。（

4、用引例說明）2）、映射f：AB是一種特殊的對應(yīng)，它要求A中的任何一個(gè)元素在B中都有象，并且象唯一，即元素與元素之間的對應(yīng)必須是“任一對唯一”，不能是“一對多”。如：引例中不是映射。又如：設(shè)A=0、1、2，B=0、1、，對應(yīng)法則f：取倒數(shù)，可記為f:x,因A中0無象，所以不是映射。3）、映射f：AB中，A中不同的元素允許有相同的象，即可以“多對一”，如。4）、映射f：AB中，不要求B中每一個(gè)元素都有原象，如。即若映射f：AB的象集為C，則CB。5）、映射是有順序的，即映射f：AB與f：BA的含義不同。3、概念的初步應(yīng)用1）、例1、設(shè)集合A=a,b,c, B=x,y,z,從集合A到集合B的對應(yīng)方式

5、如下圖所示，其中，哪幾個(gè)對應(yīng)關(guān)系是從集合A到集合B的映射？ A B A B A Babcxyzabcxyzabcxyz A B A Babcxyzabcxyz 分析：判斷兩個(gè)集合之間的對應(yīng)關(guān)系是否為映射的方法：根據(jù)映射的定義，對于集合A中的任意一個(gè)元素a,在對應(yīng)法則f的作用下，在集合B中有且只有一個(gè)元素b與之對應(yīng)。符合這個(gè)條件的就是從集合A到集合B的映射，否則就不是。解：所示的對應(yīng)關(guān)系中，對于集合A中的任意一個(gè)元素，在對應(yīng)法則f的作用下，在集合B中都有唯一確定的元素與之對應(yīng)，因此，它們都是從集合A到集合B的映射；在所示的對應(yīng)關(guān)系中，對于集合A中的元素b，沒有指定集合B中的對應(yīng)元素，因此，它不是

6、映射；在所示的對應(yīng)關(guān)系中，對于集合A中的元素a，在集合B中有兩個(gè)元素x、y與之對應(yīng)，因此，它也不是因映射。注：判斷兩個(gè)集合的對應(yīng)關(guān)系是否為映射，關(guān)鍵在于抓住“任意”“唯一”這兩個(gè)關(guān)鍵詞，一般性結(jié)論是：一對一，多對一是映射。例2：判斷下列對應(yīng)是否是從集合A到集合B的映射、A=R，B=x|x0 且xR,f：xy=|x|解：0A，在法則f下0|0|=0B 不是從集合A到集合B的映射、A=N，B=N，f：xy=|x-1|解：1A，在法則f下：1|1-1|=0B不是從集合A到集合B的映射A=x|x0 且xR，B=R，f：xy=x2解：對于任意xA,依法則f：xx2 R，該對應(yīng)是從集合A到集合B的映射注：

7、映射是兩個(gè)集合之間的一種特殊的對應(yīng)關(guān)系，它要求集合A中任意一個(gè)元素x，都可以運(yùn)用對應(yīng)法則f實(shí)施運(yùn)算，運(yùn)算產(chǎn)生的結(jié)果y一定在集合B中，且唯一確定。2）、由學(xué)生自己舉幾個(gè)映射的例子，學(xué)生先評判，教師再點(diǎn)評備用例子A=，1，-2，B=3，2，1，0 f：xy=+1,xA,yBA=R，B=R，f：xy=2x+1, xA,yBA=N*,B=0,1, f：除以2的余數(shù)A=某商場的所有商品B=商品的價(jià)格f：每種商品對自己的價(jià)格 4、 小結(jié)：、映射是特殊的對應(yīng)， 是“一對一”或“多對一”的對應(yīng)對 應(yīng)映 射 、映射與對應(yīng)的關(guān)系如圖所示5、作業(yè)：習(xí)題2、1 1、2、7、8研究課題：（1）、對應(yīng)與映射的區(qū)別是什么？

8、（2）、設(shè)映射f：AB中象集為C，若集合A中有m個(gè)元素，象集C中有n個(gè)元素，則m與n的關(guān)系是什么？（3）、設(shè)A=a、b,B=c、d、用圖示法表示集合A到集合B的所有不同映射；、若B=c、d、e,則A到B可建立多少個(gè)不同映射；教案說明1、 對教材地位與作用的認(rèn)識(shí)函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一。初中課本已初步討論了函數(shù)的概念 ，學(xué)生在頭腦中已具備函數(shù)定義的雛形，知道函數(shù)是變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系，為了深入理解函數(shù)概念，高中數(shù)學(xué)將從映射的角度來解釋函數(shù)。所以映射概念是學(xué)習(xí)函數(shù)概念的基礎(chǔ)。理解了映射的結(jié)構(gòu)，可幫助學(xué)生順利掌握函數(shù)的三要素。學(xué)生若透徹理解了映射的意義，也就尋得了函數(shù)學(xué)習(xí)的入門之徑，從

9、而讓學(xué)生很自然的做好初高中數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)上的銜接，順利的為進(jìn)一步挖掘函數(shù)的性質(zhì)鋪好道路。2、對學(xué)習(xí)目標(biāo)的確定映射概念是一個(gè)比較抽象的概念，特別是用抽象的符號表示，使得學(xué)生在理解和認(rèn)識(shí)上都有一定的困難，針對這種情況，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)只能定在“了解”的水平上，但“了解”不等同于“輕視”，反映在學(xué)生的學(xué)習(xí)行為上，即要求學(xué)生能清楚映射的三大組成部分缺一不可，能明白映射是一種特殊的對應(yīng)，能從不同的對應(yīng)中識(shí)別出映射。3、如何突破難點(diǎn)映射是比較抽象的概念，需要用抽象的符號表示，這在學(xué)習(xí)中是比較困難的，因此在教學(xué)中一定要遵循學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，利用他們已具備的知識(shí)結(jié)構(gòu)，循序漸進(jìn)，有條理的逐步加深。映射是在初中所學(xué)對

10、應(yīng)的基礎(chǔ)上研究兩個(gè)集合間元素的對應(yīng)關(guān)系，集合的相關(guān)知識(shí)在前一章里已學(xué)習(xí)過，對集合的表示方式學(xué)生已具備感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，據(jù)此決定用圖形表示映射，在集合的選擇上選擇能用列舉法表示的有限集，對應(yīng)法則用語言描述，這樣首先直觀的把映射的特點(diǎn)展現(xiàn)出來，從而突破難點(diǎn)。通過圖示狠抓“任一對唯一”的特征，從對應(yīng)中篩出“一對一”和“多對一”的對應(yīng)，逐步歸納概括出映射的基本特征，讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)，自然得出映射定義，再抽象成符號表示，強(qiáng)調(diào)映射的組成部分。這種層層遞進(jìn)的思維模式，將有助于學(xué)生的理解。4、對數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)能力的培養(yǎng)與知識(shí)的學(xué)習(xí)同等重要，每節(jié)課都應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容來確定能力訓(xùn)練的方向。本節(jié)課是一堂

11、數(shù)學(xué)概念教學(xué)課，大量的通過圖形來表現(xiàn)映射的本質(zhì)，在要求學(xué)生探求指定對應(yīng)共性時(shí)對學(xué)生的觀察歸納能力也進(jìn)行了一定的訓(xùn)練。同時(shí)從特殊的對應(yīng)歸納出映射的一般概念的邏輯思維過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上常采用的從特殊到一般的思想方法。5、教學(xué)過程的設(shè)計(jì)、復(fù)習(xí)集合的相關(guān)知識(shí)，舉出初中對應(yīng)的實(shí)例，引出課題；、觀察所列對應(yīng)的特點(diǎn)，帶著“任一對唯一”的條件尋找符合要求的對應(yīng)，在得到映射概念的同時(shí)強(qiáng)化其重要特征；、用正反實(shí)例對定義進(jìn)行剖析；、初步運(yùn)用，舉例辨析。6、作業(yè)的設(shè)計(jì)本堂課的作業(yè)練習(xí)分為兩個(gè)部分，習(xí)題的安排都是直接利用圖示觀察寫出結(jié)果，比較直觀，之后再安排了3個(gè)研究課題 ，主要側(cè)重訓(xùn)練學(xué)生思維，需要他們深刻領(lǐng)會(huì)映射定義。 7、對學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的引導(dǎo)與組織 教學(xué)應(yīng)該師生互動(dòng)，只有學(xué)生積極的參與才有可能取得良好的教學(xué)效果。本節(jié)課是一堂概念課，例題與練習(xí)題不多，需要學(xué)生在實(shí)例中觀察、比較。剛開始學(xué)生可能會(huì)對討論方向把握不住，所以先給出需要尋找的對應(yīng)的共性，便于讓學(xué)生找到符合條件的對應(yīng)，再啟發(fā)學(xué)生共同討論出映射的特點(diǎn)，體現(xiàn)從“特殊到一般”的方法。在進(jìn)行定義剖析時(shí)，每說明一點(diǎn)都要給出具體的實(shí)例加以印證，以加深學(xué)生的理解與認(rèn)識(shí)。在要求學(xué)生自己舉出映射的例子