高中物理競(jìng)賽試題解題方法：對(duì)稱法1

1、高中物理競(jìng)賽試題解題方法：對(duì)稱法方法簡(jiǎn)介由于物質(zhì)世界存在某些對(duì)稱性，使得物理學(xué)理論也具有相應(yīng)的對(duì)稱性，從而使對(duì)稱現(xiàn)象普遍存在于各種物理現(xiàn)象和物理規(guī)律中. 應(yīng)用這種對(duì)稱性它不僅能幫助我們認(rèn)識(shí)和探索物質(zhì)世界的某些基本規(guī)律，而且也能幫助我們?nèi)デ蠼饽承┚唧w的物理問題，這種思維方法在物理學(xué)中稱為對(duì)稱法. 利用對(duì)稱法分析解決物理問題，可以避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)演算和推導(dǎo)，直接抓住問題的實(shí)質(zhì)，出奇制勝，快速簡(jiǎn)便地求解問題.賽題精析例1：沿水平方向向一堵豎直光滑的墻壁拋出一個(gè)彈性小球A，拋出點(diǎn)離水平地面的高度為h，距離墻壁的水平距離為s，小球與墻壁發(fā)生彈性碰撞后，落在水平地面上，落地點(diǎn)距墻壁的水平距離為2s，如圖71

2、所示. 求小球拋出時(shí)的初速度. 解析：因小球與墻壁發(fā)生彈性碰撞，故與墻壁碰撞前后入射速度與反射速度具有對(duì)稱性， 碰撞后小球的運(yùn)動(dòng)軌跡與無墻壁阻擋時(shí)小球繼續(xù)前進(jìn)的軌跡相對(duì)稱，如圖71甲所示，所以小球的運(yùn)動(dòng)可以轉(zhuǎn)換為平拋運(yùn)動(dòng)處理，效果上相當(dāng)于小球從A點(diǎn)水平拋出所做的運(yùn)動(dòng).根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律：因?yàn)閽伋鳇c(diǎn)到落地點(diǎn)的距離為3s，拋出點(diǎn)的高度為h代入后可解得：例2：如圖72所示，在水平面上，有兩個(gè)豎直光滑墻壁A和B，間距為d， 一個(gè)小球以初速度從兩墻正中間的O點(diǎn)斜向上拋出， 與A和B各發(fā)生一次碰撞后正好落回拋出點(diǎn)O，求小球的拋射角. 解析：小球的運(yùn)動(dòng)是斜上拋和斜下拋等三段運(yùn)動(dòng)組成，若按順序求解則相當(dāng)復(fù)雜，

3、如果視墻為一平面鏡，將球與墻的彈性碰撞等效為對(duì)平面鏡的物、像移動(dòng)，可利用物像對(duì)稱的規(guī)律及斜拋規(guī)律求解.物體跟墻A碰撞前后的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于從O點(diǎn)開始的斜上拋運(yùn)動(dòng)，與B墻碰后落于O點(diǎn)相當(dāng)于落到O點(diǎn)，其中O、O關(guān)于A墻對(duì)稱，O、O對(duì)于B墻對(duì)稱，如圖72甲所示，于是有 代入可解得所以拋射角例3：A、B、C三只獵犬站立的位置構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形，每只獵犬追捕獵物的速度均為，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，為追捕到獵物，獵犬不斷調(diào)整方向，速度方向始終“盯”住對(duì)方，它們同時(shí)起動(dòng)，經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間可捕捉到獵物？解析：以地面為參考系，三只獵犬運(yùn)動(dòng)軌跡都是一條復(fù)雜的曲線，但根據(jù)對(duì)稱性，三只獵犬最后相交

4、于三角形的中心點(diǎn)，在追捕過程中，三只獵犬的位置構(gòu)成三角形的形狀不變，以繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的參考系來描述，可認(rèn)為三角形不轉(zhuǎn)動(dòng)，而是三個(gè)頂點(diǎn)向中心靠近，所以只要求出頂點(diǎn)到中心運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即可.由題意作圖73，設(shè)頂點(diǎn)到中心的距離為s，則由已知條件得 由運(yùn)動(dòng)合成與分解的知識(shí)可知，在旋轉(zhuǎn)的參考系中頂點(diǎn)向中心運(yùn)動(dòng)的速度為由此可知三角形收縮到中心的時(shí)間為 此題也可以用遞推法求解，讀者可自己試解。例4：如圖74所示，兩個(gè)同心圓代表一個(gè)圓形槽，質(zhì)量為m，內(nèi)外半徑幾乎同為R. 槽內(nèi)A、B兩處分別放有一個(gè)質(zhì)量也為m的小球，AB間的距離為槽的直徑。不計(jì)一切摩擦?，F(xiàn)將系統(tǒng)置于光滑水平面上，開始時(shí)槽靜止，兩小球具有垂直于AB方向的速

5、度，試求兩小球第一次相距R時(shí)，槽中心的速度。 解析：在水平面參考系中建立水平方向的x軸和y軸.由系統(tǒng)的對(duì)稱性可知中心或者說槽整體將僅在x軸方向上運(yùn)動(dòng)。設(shè)槽中心沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)的速度變?yōu)椋瑑尚∏蛳鄬?duì)槽心做角速度大小為的圓周運(yùn)動(dòng)，A球處于如圖74甲所示的位置時(shí)，相對(duì)水平面的兩個(gè)分速度為 B球的運(yùn)動(dòng)與A球的運(yùn)動(dòng)是對(duì)稱的.因系統(tǒng)在x軸方向上動(dòng)量守恒、機(jī)械能也守恒，因此將、式代入、式得：由此解得 當(dāng)兩球間距離為R時(shí)，代入可解得槽中心運(yùn)動(dòng)的速度為例5：用一輕質(zhì)彈簧把兩塊質(zhì)量各為M和m的木板連接起來，放在水平上，如圖75所示，問必須在上面木板上施加多大的壓力F，才能使撤去此力后，上板跳起來恰好使下板離地？解

6、析：此題可用能量守恒的觀點(diǎn)求解，但過程較繁，而用彈簧形變的“對(duì)稱性”求解就顯得簡(jiǎn)潔明了。若用拉力F作用在m上，欲使M離地，拉力F至少應(yīng)為F=（M+m）g根據(jù)彈簧的拉伸和壓縮過程具有的對(duì)稱性，故要產(chǎn)生上述效果，作用在m上的向下的壓力應(yīng)為F=（M+m）g例6：如圖76所示，長(zhǎng)為l的兩塊相同的均勻長(zhǎng)方形磚塊A和B疊放在一起，A磚相對(duì)于B磚伸出，B磚放在水平桌面上，磚的端面與桌面平行. 為保持兩磚不翻倒，B磚伸出桌面的最大長(zhǎng)度是多少？ 解析：此題可用力矩平衡求解，但用對(duì)稱法求解，會(huì)直觀簡(jiǎn)潔.把A磚右端伸出B端的截去，補(bǔ)在B磚的右端，則變成圖76甲所示的對(duì)稱形狀. 伸出最多時(shí)對(duì)稱軸應(yīng)恰好通過桌邊。 所以

7、：解得B磚右端伸出桌面的最大長(zhǎng)度為.例7：如圖77所示，OABC是一張水平放置的桌球臺(tái)面.取OA為x軸，OC為y軸，P是紅球，坐標(biāo)為（x，y），Q是白球，坐標(biāo)為（，）（圖中未畫出Q球在臺(tái)面上的位置）。已知OA=BC=25dm，AB=OC=12dm。若P球的坐標(biāo)為：處，問Q球的位置在什么范圍內(nèi)時(shí)，可使擊出的Q球順次與AB、BC、CO和OA四壁碰撞反彈，最后擊中P球？ 解析：由于彈性碰撞反彈服從的規(guī)律與光線的反射定律相同，所以作P點(diǎn)對(duì)OA壁的鏡像P1，P1對(duì)CO壁的鏡像P2，P2對(duì)BC壁的鏡像P3和P3對(duì)AB壁的鏡像P4，則只需瞄準(zhǔn)P4點(diǎn)擊出Q球，Q球在AB壁上D點(diǎn)反彈后射向P3，又在BC壁上E點(diǎn)

8、反彈后射向P2，依次類推，最后再經(jīng)F，G二點(diǎn)的反彈擊中P點(diǎn)，如圖77甲所示. 但是，若反彈點(diǎn)E離B點(diǎn)太近，Q球從E點(diǎn)反彈后EP2線與CO的交點(diǎn)，可能不在CO壁的范圍內(nèi)而在CO的延長(zhǎng)線上，這時(shí)Q球就無法擊中CO壁（而擊到OA壁上），不符合題目要求，所以，Q球能夠最后按題目要求擊中P球的條件是：反彈點(diǎn)D、E、F、和G一定要在相應(yīng)的臺(tái)壁范圍之內(nèi).已知P點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，8），由此可知，各個(gè)鏡像點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P1（10，8），P2（10，8），P3（10，32），P4（60，32）設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為；直線QP4的方程為 D點(diǎn)在此直線上，由上式得： 直線DP3的方程為 E點(diǎn)在此直線上，YE=12，由 此式及式得 直線EP2的方程為 F點(diǎn)在此直線上，最后，直線FP1的方程為 G點(diǎn)在此直線上，YG=0，所以 反彈點(diǎn)位于相應(yīng)臺(tái)壁上的條件為將、和式代入，除肯定滿足無需討論的不等