1示范教案(211_數(shù)列的概念與簡單表示法(一))2

1、2.1數(shù)列的概念與簡單表示法2.1.1數(shù)列的概念與簡單表示法(一)一、教學目標（一）知識與技能：1.理解數(shù)列及其有關概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關系；2.了解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項；3.對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的通項公式.（二）過程與方法：1.采用探究法，按照思考、交流、實驗、觀察、分析、得出結論的方法進行啟發(fā)式教學；2.發(fā)揮學生的主體作用，作好探究性學習；3.理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生的學習積極性.（三）情感態(tài)度與價值觀：1.通過日常生活中的大量實例，鼓勵學生動手試驗.理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生對科學的探究精神和嚴肅認真的科學態(tài)度，培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點；

2、2.通過本節(jié)課的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高數(shù)學學習的興趣.二、教學重點 數(shù)列及其有關概念，通項公式及其應用.三、教學難點 根據(jù)一些數(shù)列的前幾項抽象、歸納數(shù)列的通項公式四、教學過程導入新課師 課本圖2.1-1中的三角形數(shù)分別是多少？生 1，3，6，10，.師 圖2.1-2中的正方形數(shù)呢？生 1，4，9，16，25，.師 像這樣按一定次序排列的一列數(shù)你能否再舉一些？生 -1的正整數(shù)次冪：-1，1，-1，1，;無窮多個數(shù)1排成一列數(shù)：1，1，1，1，.生 一些分數(shù)排成的一列數(shù)：，.講授新課合作探究折紙問題師 請同學們想一想，一張紙可以重復對折多少次？請同學們隨便取一張紙試試生 一般折5、6次就不

3、能折下去了，厚度太高了.師 你知道這是為什么嗎？我們設紙原來的厚度為1長度單位，面積為1面積單位，隨依次折的次數(shù)，它的厚度和每層紙的面積依次怎樣？生 隨著對折數(shù)厚度依次為:2，4，8，16，256，；隨著對折數(shù)面積依次為, , , , ,.生 對折8次以后，紙的厚度為原來的256倍，其面積為原來的1/256，再折下去太困難了.師 說得很好，隨數(shù)學水平的提高，我們的思維會更加理性化.請同學們觀察上面我們列出的這一列一列的數(shù)，看它們有何共同特點？生 均是一列數(shù).生 還有一定次序.師 它們的共同特點：都是有一定次序的一列數(shù).教師精講1.數(shù)列的定義：按一定順序排列著的一列數(shù)叫做數(shù)列.注意：（1）數(shù)列的

4、數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；（2）定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn).2.數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項.各項依次叫做這個數(shù)列的第1項(或首項)，第2項，第n項，.同學們能舉例說明嗎？生 例如，上述例子均是數(shù)列，其中中，“2”是這個數(shù)列的第1項(或首項)，“16”是這個數(shù)列中的第4項.3.數(shù)列的分類：1)根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分：有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是有窮數(shù)列.無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是無窮數(shù)列.2)根據(jù)數(shù)列項的大小分

5、：遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列.遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列.常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列.擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列.請同學們觀察：課本P 33的六組數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動數(shù)列？ 生 這六組數(shù)列分別是(1)遞增數(shù)列，(2)遞增數(shù)列，(3)常數(shù)數(shù)列，(4)遞減數(shù)列，(5)擺動數(shù)列，(6)1.遞增數(shù)列，2.遞減數(shù)列.知識拓展師 你能說出上述數(shù)列中的256是這數(shù)列的第多少項？能否寫出它的第n項？生 256是這數(shù)列的第8項，我能寫出它的第n項，應為an=2n.合作探究同學們看數(shù)列2，4，8

6、，16，256，中項與項之間的對應關系，項2481632 序號 1 2 3 4 5你能從中得到什么啟示？生 數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集1，2，3，n)的函數(shù)an=f(n)，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值.反過來，對于函數(shù)y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4)有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列f(1),f(2),f(3),f(n),.師 說的很好.如果數(shù)列an的第n項an與n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.例題剖析1.根據(jù)下面數(shù)列an的通項公式，寫出前5項：(1)an=;(2)an=(-1)n·n.師

7、 由通項公式定義可知，只要將通項公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到數(shù)列的前5項.生 解：(1)n=1,2,3,4,5.a1=;a2=;a3=;a4=;a5=.(2)n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2;a3=-3;a4=4;a5=-5.師 好！就這樣解.2.根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：(1)3，5，7，9，11，；(2)，；(3)0，1，0，1，0，1，；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，；(5)2，-6，12，-20，30，-42，.師 這里只給出數(shù)列的前幾項的值，哪位同學能寫出這些數(shù)列的一個通項公式？(給學生一定的思考時間)生老師，我寫好了！解

8、：(1)an2n1；(2)an；(3)an；(4)將數(shù)列變形為10，21，30，41，50，61，70，81，ann；(5)將數(shù)列變形為1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，an(-1)n+1n(n1).師 完全正確！這是由“數(shù)”給出數(shù)列的“式”的例子，解決的關鍵是要找出這列數(shù)呈現(xiàn)出的規(guī)律性的東西，然后再通過歸納寫出這個數(shù)列的通項公式.合作探究師 函數(shù)與數(shù)列的比較(由學生完成此表)：函數(shù)數(shù)列(特殊的函數(shù))定義域R或R的子集N*或它的有限子集1，2，n解析式y(tǒng)=f(x)an=f(n)圖象點的集合一些離散的點的集合師 對于函數(shù)，我們可以根據(jù)其

9、函數(shù)解析式畫出其對應圖象，看來，數(shù)列也可根據(jù)其通項公式來畫出其對應圖象，下面同學們練習畫數(shù)列:4，5，6，7，8，9，10;1, , , ,的圖象.生 根據(jù)這數(shù)列的通項公式畫出數(shù)列、的圖象為師 數(shù)列4，5，6，7，8，9，10,的圖象與我們學過的什么函數(shù)的圖象有關？生 與我們學過的一次函數(shù)y=x+3的圖象有關.師 數(shù)列1, , , ,的圖象與我們學過的什么函數(shù)的圖象有關？生 與我們學過的反比例函數(shù)的圖象有關.師 這兩數(shù)列的圖象有什么特點？生 其特點為：它們都是一群孤立的點.生 它們都位于y軸的右側，即特點為：它們都是一群孤立的，都位于y軸的右側的點.本課時的整個教學過程以學生自主探究為主，教師

10、起引導作用，充分體現(xiàn)學生的主體作用，體現(xiàn)新課程的理念.課堂小結對于本節(jié)內(nèi)容應著重掌握數(shù)列及有關定義，會根據(jù)通項公式求其任意一項，并會根據(jù)數(shù)列的前n項求一些簡單數(shù)列的通項公式.布置作業(yè) 課本33頁習題2.1 A組第1、2題.五、板書設計數(shù)列的概念與簡單表示法(一)定義1.數(shù)列 例12.項3.一般形式 例2 函數(shù)定義4.通項公式 5.有窮數(shù)列 6.無窮數(shù)列2.1.2數(shù)列的概念與簡單表示法(二)一、教學目標（一）知識與技能：1.了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；2.會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.（二）過程與方法：1.經(jīng)歷數(shù)列知識的感受及理解運用的過程；2.發(fā)揮學生的主體作用，

11、作好探究性實驗；3.理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生的學習積極性.（三）情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高數(shù)學學習的興趣.二、教學重點 根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.三、教學難點 理解遞推公式與通項公式的關系.四、教學過程導入新課師 同學們，昨天我們學習了數(shù)列的定義，數(shù)列的通項公式的意義等內(nèi)容，哪位同學能談一談什么叫數(shù)列的通項公式？生 如果數(shù)列an的第n項與序號之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.師 你能舉例說明嗎？生 如數(shù)列0，1，2，3，的通項公式為an=n-1(nN*);1,1,1的通項公式為an=1(nN*,1n3)；1, , ,

12、 ,的通項公式為an= (nN*).合作探究數(shù)列的表示方法師 通項公式是表示數(shù)列的很好的方法，同學們想一想還有哪些方法可以表示數(shù)列？生 圖象法，我們可仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形.具體方法是以項數(shù)n為橫坐標，相應的項an為縱坐標，即以(n,an)為坐標在平面直角坐標系中作出點(以前面提到的數(shù)列1, ,為例，作出一個數(shù)列的圖象)，所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數(shù)，所以這些點都在y軸的右側，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù).從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢.師 說得很好，還有其他的方法嗎？生 師 下面我們來介紹數(shù)列的另一種表示方法：遞推公式法知識都來源于實

13、踐，同時還要應用于生活，用其來解決一些實際問題.下面同學們來看右下圖：鋼管堆放示意圖(投影片).觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，看看能否建立它的一些數(shù)學模型. 生 模型一：自上而下第1層鋼管數(shù)為4,即1：41+3;第2層鋼管數(shù)為5,即2：52+3;第3層鋼管數(shù)為6,即3：63+3;第4層鋼管數(shù)為7,即4：74+3;第5層鋼管數(shù)為8,即5：85+3;第6層鋼管數(shù)為9,即6：96+3;第7層鋼管數(shù)為10,即7：107+3.若用an表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且an=n+3(1n7). 師 同學們運用每一層的鋼管數(shù)與其層數(shù)之間的對應規(guī)律建立了數(shù)列模型，這完全正確，運用這一關

14、系，會很快捷地求出每一層的鋼管數(shù).這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便.讓同學們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？(啟發(fā)學生尋找規(guī)律)生 模型二：上下層之間的關系自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1,即a1=4；a2=5=4+1=a1+1；a3=6=5+1=a2+1.依此類推：an=a n-1+1(2n7).師 對于上述所求關系，同學們有什么樣的理解?生 若知其第1項，就可以求出第二項，以此類推，即可求出其他項.師 看來，這一關系也較為重要，我們把數(shù)列中具有這種遞推關系的式子叫做遞推公式.推進新課1.遞推公式定義：如果已知數(shù)列an的第1項(或前幾項)，且任一項an與它的前一項an-1(或

15、前n項)間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.注意：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法.如下列數(shù)字排列的一個數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89.遞推公式為：a1=3,a2=5,an=an-1+a n-2(3n8).2.數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，函數(shù)的表示法有：列表法、圖象法、解析式法.相對于數(shù)列來說也有相應的這幾種表示方法：即列表法、圖象法、解析式法.例題剖析【例1】 設數(shù)列an滿足.寫出這個數(shù)列的前五項.師 分析：題中已給出an的第1項即a1=1，題目要求寫出這個數(shù)列的前五項，因而只要再求出二到五項即可.這個遞推公式：an=1

16、+我們將如何應用呢?生 這要將n的值2和a1=1代入這個遞推公式計算就可求出第二項，然后依次這樣進行就可以了.師 請大家計算一下!生 解：據(jù)題意可知：a1=1,a2=1+ =2,a3=1+ =,a4=1+ =,a5=師 掌握遞推公式很關鍵的一點就是其中的遞推關系，同學們要注意探究和發(fā)現(xiàn)遞推公式中的前項與后項，或前后幾項之間的關系.【例2】 已知a1=2，an+1=2an，寫出前5項，并猜想an.師 由例1的經(jīng)驗我們先求前5項.生 前5項分別為2，4，8，16，32.師 對，下面來猜想第n項.生 由a1=2，a2=2×2=22，a3=2×22=23觀察可得，我猜想an=2n.

17、師 很好!生 老師，本題若改為求an是否還可這樣去解呢?師 不能.必須有求解的過程.生 老師，我由a n+1=2an變形可得an=2a n-1，即，依次向下寫，一直到第一項，然后將它們乘起來，就有×，所以an=a1·2n-1=2n.師 太妙了，真是求解的好方法.你所用的這種方法通常叫迭乘法，這種方法在已知遞推公式求數(shù)列通項的問題中是比較常用的方法，對應的還有迭加法.知識拓展已知a1=2，an+1=an-4,求an.師 此題與前例2比較，遞推式中的運算改為了減法，同學們想一想如何去求解呢?生1 寫出：a1=2，a2=-2，a3=-6，a4=-10，觀察可得：an=2+(n-1

18、)(n-4)=2-4(n-1).生2 他這種解法不行，因為不是猜出an，而是要求出an.我這樣解：由an+1-an=-4依次向下寫，一直到第一項，然后將它們加起來,an-a n-1=-4 an-1-an-2=-4 an-2-an-3=-4 an=2-4(n-1).師 好極了，真是觸類旁通啊，這種方法也請同學們課后多體會.教師精講(1)數(shù)列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項的遞推關系確定的，如果只有遞推關系而無初始值，那么這個數(shù)列是不能確定的.例如，由數(shù)列an中的遞推公式an+1=2an+1無法寫出數(shù)列an中的任何一項，若又知a1=1，則可以依次地寫出a2=3,a3=7,a4=15,.(2)遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，由遞推公式可能求出數(shù)列的通項公式，也可能求不出通項公式.學生活動根據(jù)各個數(shù)列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式.(1)a10，an+1an(2n-1)(nN)；(2)a11，a n+1 (nN)；(3)a13，an+13an-2(nN).解：(1)a10，a21，a34，a49，a516，an(n-1)2.(2)a11，a2，a3=，a4，a5 =，an.(3)a131+2×30，a271+2×31，a3191+2×32，a4551+2&#