高中數(shù)學 含參數(shù)的一元二次不等式解法 （一）．二次項系數(shù)為常數(shù)（二）復習 新人教A版必修5

1、含參數(shù)的一元二次不等式的解法基礎(chǔ)知識：1.一元二次不等式的形式：與 （a0）2. 只考慮的情形。當a0時，將不等式兩邊乘1就化成 了“a0”。3.一元二次不等式、一元二次方程和二次函數(shù)的聯(lián)系：從函數(shù)的觀點來考慮。設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c  (a0)的圖象是拋物線L，則不等式ax2+bx+c0，ax2+bx+c0的解集分別是拋物線L在x軸上方，在x軸下方的點的橫坐標x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是拋物線L與x軸的公共點的橫坐標。二次函數(shù)的根的解集的解集的解集的解集4.一元二次不等式的解法步驟。1）化為一般式ax2+bx+c0 (a0)或ax2+bx+c0 (a0)。

2、這步可簡記為“使a0”。2）.計算=b24ac，判別與求根：解對應(yīng)的二次方程ax2+bx+c=0，判別根的三種情況，0時求出根。3）.寫出解集：用區(qū)間或用大括號表示解集。  注意：1.解題策略：使a值為正，求得兩根，“”則兩根之外；“”則兩根之內(nèi)。2.不要死記書上的解集表，要抓住對應(yīng)的二次方程的“根”來活記活用。二次不等式的解集求法可用數(shù)軸標根。<0 >0 +- 0注意：正反思維：不等式的解集區(qū)間端點值就是不等式相應(yīng)方程的根；關(guān)于含參數(shù)（單參）的一元二次不等式的解法（一）二次項系數(shù)為常數(shù)1.解關(guān)于x的不等式：x2(m2)x2m0。解

3、：(x2)(xm)0(1) m2時，x(m，2)(2) m2時，x(2，m)(3) m2時，x 反思：(1) 引起討論的原因是什么？m與2大小的不確定性 (2) 如何進行討論？比較大小2.解關(guān)于的不等式：解： （1）當時, 兩根為，.解集為()()；（2）當時，解集為()()；（3）當時，解集為；（二）二次項系數(shù)含參數(shù)3. 解關(guān)于x的不等式：mx2(m1)x10。解：(mx1)(x1)0(1) m0時，不等式為 (x1)0，得x10，不等式的解為x1(2) m0時，不等式為 m (x)(x1)0(i) m0，不等式為 (x)(x1)0 1 不等式的解為x或x1(ii) m0，不等式為 (x)(

4、x1)0若1即m1時，不等式的解為x1若1即0m1時，不等式的解為1x若1即m1時，x 反思：(1) 引起討論的原因是什么？如何進行討論？第一層次：一次不等式還是二次不等式的不確定性，對m0與m0進行討論第二層次：x2前系數(shù)正負(不等號方向)的不確定性，對m0與m0進行討論第三層次：與1大小的不確定性，對m1、m1與m1進行討論4.解關(guān)于的不等式：解：若，原不等式若，原不等式或若，原不等式 其解的情況應(yīng)由與1的大小關(guān)系決定，故（1）當時，式的解集為；（2）當時，式；（3）當時，式.綜上所述，當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為.5.解關(guān)于的不等式：解： （1）時

5、，時，則或，此時兩根為，.（2）當時，；（3）當時，.當時，；當時，；綜上，可知當時，解集為(,)； 當時，解集為； 當時，解集為()(); 當時，解集為()().練習解不等式：mx 2-2x+10.解：(1)當m0時，方程為-2x+10,解集為x|x,時，=4-4m=4(1-m) 兩根為（2）m0當0m1時,0，此時,解集為.當m1時, ，不等式為(x-1)20,其解集為x|x1;當m1時,此時0,故其解集為R.（3）m0當m0時,0,此時. 解集為 .三正反思維：已知一元二次不等式解集，求參數(shù)問題思考1：能否寫出一個解集為(2，1)的一元二次不等式？這樣的不等式有幾個？2x1 (x2)(x

6、1)0 x2x20 ；有無數(shù)個。思考2：若不等式2x2axb0的解集為(，1)(3，)，求a、b值。解法一：(x1)(x3)0 x22x30，即2x24x60比較可知：a4，b6解法二：不等式的解集區(qū)間端點值-1，3是不等式相應(yīng)方程的根例已知不等式的解集為，則不等式的解集為 解法一：由解集可得即的解集為，不妨假設(shè)，則即為即為解得解法二：由題意2，4是不等式相應(yīng)方程的根：，可化為即，解得變式：1.若不等式ax 2+5x+b0的解集為x|x，則a、b的值分別是_. 2.已知的解集為，則不等式的解集是 . 四.一元二次不等式解集為R或問題7不等式（a2-1）x2-(a-1)x-1 <0的解集為

7、R，求a的取值范圍。 當a2-1=0時a=1,有x R. 當a2-1 0時，a2-1<0且 （a-1）2+4(a2-1)=5a2-2a-3<0時解集為R 即<a<1  綜上所述：<a1例1 k為何值時，關(guān)于x的不等式(k1)x22x(k1)0的解集為？解：(1) k10即k1時， 得 k2(2) k10即k1時，不等式為2x0，不符合題意。由(1) (2)可知：k2時，不等式解集為。反思：(1)要對不等式的類型進行討論，即對x2前系數(shù)進行討論；(2)若是一元二次不等式，對應(yīng)二次函數(shù)圖象開口向下，與x軸最多有一個交點。變式1：

8、已知不等式的解集為R，求實數(shù)k的取值范圍2. .已知關(guān)于x的不等式解集為，求實數(shù)a的取值范圍3.已知不等式（1）若對于所有實數(shù)x不等式恒成立，求m的取值范圍？（2）若對于不等式恒成立，求實數(shù)x的取值范圍？1已知，（1）若，求的取值范圍； （2）若，求的取值范圍解：，當時，；當時，；當時，（1）若，則；（2）若， 當時，滿足題意；當時，此時；當時，不合題意所以，的取值范圍為2已知，（1）如果對一切，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）如果對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍 解：（1）；（2）或或，解得或或，的取值范圍為3已知二次函數(shù)的圖象過點，問是否存在常數(shù)，使不等式對一切都成立？解：假設(shè)存在常數(shù)滿足題意

9、，的圖象過點， 又不等式對一切都成立，當時，即， 由可得：，由對一切都成立得：恒成立，的解集為，且，即且，存在常數(shù)使不等式對一切都成立5.已知不等式kx2-2x+6k<0（1）若不等式的解集是x|x<-3或x>-2,求k的值；（2）若不等式的解集是全體實數(shù)集R,求k的值6已知不等式；，要使同時滿足的也滿足，則的取值范圍是7已知不等式的解集是，對于有以下結(jié)論：；其中正確的有 、 8若0x2+ax+54有且只有一解，則實數(shù)a的值為 .9在R上定義運算若不等式對任意實數(shù)成立，求a的取值范圍10.何值時，關(guān)于x的方程x2(m1)x10的兩根中一根介于(0，1)之間，另一根介于(1，2)之間？11.函數(shù)y=的定義域為R,求實數(shù)m 的取值范圍12方程（k+1)x 2+4kx+3k-2=0有兩個負實根，求實數(shù)k的取值范圍.解：要使原方程有兩個負實根，必須-2k-1或k1.實數(shù)k的取值范圍是k|-2k-1或k1.【例4】 當m取什么實數(shù)時，方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0分別有:兩個實根；一正根和一負根；兩根都大于1.解：設(shè)方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0的兩根為x 1，x2.若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有兩個正根，