時間序列計量經濟模型的平穩(wěn)性檢驗

1、 a ij $=a ij exp i y j $+i , j! a ijexp i y j$+(16 其 中 i 為 關 于 行 列 和 信 息 的 拉 格 朗日因子。事 實 上 , GJR 提 供 的 目 標 函 數(shù) 并 不 是一個單一的交叉熵 , 而是列交叉熵的 和 , 因為 :CE=j ! CE j =j ! i! a ij $log(a $ij 其中 CE j 為第 j 列的 初 始 估 計 與 最終估計的交叉熵 , 也就是說上述規(guī)劃問題就是一個最小交叉熵和的問題。因此 Robert A.McDougall (1999 稱 此 模 型 為MSCE (minimum sum of cro

2、ss-entropy model 。三、 RAS 與 CE 的聯(lián)系如果假設列系數(shù)陣 A 是由交易陣 T這樣形成的 :a ij =t iji , j! tij(17即列系數(shù)陣的構成元素是以相對于 交易價值流的總和來衡量 , 則 MSCE 模 型的目標函數(shù)就變成了一個單一交叉熵 的形式 :CE=a ij $log(a ij $其中 , a ij $=t ij $i , j! tij$。此時 SAM 的平衡就是解決以下優(yōu)化 問題 :Min CE=i ! j! a ij $log(a ij $ij S.t.i! tij$=t .j $, j! t ij $=t i. $(18定義拉格朗日函數(shù) :L=i

3、 ! j ! a ij $log(a ij $ij+i ! i (j ! a ij $-t i. $+j ! j (i! a ij$-t .j$(19一階條件為 :log(a $ij=-1-i -j即 :a ij $=a ij exp -1-i -j +(20 這就是 RAS 方法解的結構 , 式 (20經過調整可以寫成雙邊比例運算的函數(shù) 形式 :a ij $=r i a ij s j即 RAS 方法的典型形式 , 也就是說 RAS 方法是一個最小交叉熵方法。雖 然 有 些 學 者 認 為 RAS 方 法 的 誤差較大 (羅伯勛 1987, 安玉理 1995等 ,而且 RAS 方法有以下局限

4、:(1 缺乏經濟 基礎 , RAS 方法使用雙邊等比例調整雖 然在缺乏經濟結構有關信息的情況下避 免了植入不可檢驗的經濟機制 , 但這種 調整缺乏經濟理論基礎 ; (2 不能容納各 種來源的數(shù)據(jù)信息 , 也就是說無法增加 使 用 某 些 確 定 的 信 息 來 幫 助 我 們 的 研 究。但 CE 方法并不是對 RAS 方法的一 個超越和替代。因為通過 (14 、 (20 二 式 , 我們可以發(fā)現(xiàn) , 在假設擁有相同的行 列 和 信 息 的 情 況 下 , RAS 方 法 得 到 的SAM 價值流更“近似” 于初始價值流 , 即 盡量保持了價值流結構的一致性 , 而 CE 方 法 得 到 的

5、SAM 新 的 列 系 數(shù) 陣 則 更 加 “近似” 于初始的系 數(shù) 陣 , 即 盡 量 保 持 了 成本結構的一致性。當我們將行系數(shù)與 列系數(shù)視為同等重要 , 而將注意力放在 SAM 的 名 義 流 時 , 無 疑 RAS 方 法 是 首 選。而當我們擁有各方面的信息來源并 且 用 于 諸 如 乘 數(shù) 分 析 及 估 計 CGE 模 型 中的各種比例系數(shù)時 , 無疑 CE 方法是 首選。也就是說二者的使用選擇取決于 研究者的側重角度及面臨的研究條件即 信息的充分性。(作者單位 /煙臺大學經管學院 (責任編輯 /浩 天 一、 平穩(wěn)隨機過程任何時間序列數(shù)據(jù)都可看成由一個 隨機過程產生的結果 ,

6、即隨機過程的一 個 (特殊的 實現(xiàn) , 也就是一個樣本。 如果 一個隨機過程的均值和方差在時間過程 上都是常數(shù) , 并且在任何兩時期之間的 協(xié)方差值僅依賴于該兩時期間的距離或 滯后 , 而不依賴于計算這個協(xié)方差的實 際時間 , 就稱它是平穩(wěn)的。簡言之 , 如果 一個時間序列是平穩(wěn)的 , 就不管在什么 時間測量 , 它的均值、 方 差 和 (各 種 滯 后 的 協(xié)方差都保持不變。 這一表述用數(shù)學 模型可表示為 , 平穩(wěn)隨機時間序列 Y t 具 有下列性質 :均值 :E(Y t =(1 方差 :var(Y t =E(Y t - 2=2(2協(xié)方差 :k =E(Y t -(Y t+k -=(3 二、

7、平穩(wěn)性的自相關函數(shù)檢驗 平穩(wěn)性可以通過自相關函數(shù) (簡記 為 ACF 來加以檢驗 , 滯后 k 期的 ACF 記作 k 并定義為 :k =0(4其中 0為方差 , k 為滯后 k 期的協(xié) 方差。由于方差與協(xié)方差具有相同的單 位度量 , 故自相關函數(shù) k 是一個無量綱 的量 (純數(shù) , 它同任何相關系數(shù)一樣 , 取 值落在 -1與 +1之間。由于實際上對一個隨機過程只有一 個實現(xiàn) (樣本 , 我 們 只 能 計 算 樣 本 自 相關函數(shù) k 。為了計算 k , 必須先計算滯后 k 期的樣本協(xié)方差 k 和樣本方差 0, 二者 的定義分別為 :k = (Y t -(Y t+k -(5 0= (Y t

8、 - 2(6其中 n 是樣本含量 , 是樣本均值。 因此 , 滯后 k 期的樣本自相關函數(shù)可表 示為 :k =k0(7假 如 根 據(jù) 1980至 2001年 間 我 國 GDP 時間序列的季度數(shù)據(jù) , 利用 (5 、(6 和 (7 可 以 得 到 如 表 1所 示 的 各 種 滯 后基金項目 :廣東省教育廳自然科學基金資助項目 (Z02063李軍孫彥彬 期的樣本自相關函數(shù) k 。表 1數(shù)據(jù)的一 個醒目特征就是它從一個很高 (0.97 的 值開始 , 然后非常緩慢地下降 , 即使到了 滯后 14期 , 自相關系數(shù)仍然是一個可觀 的數(shù)值 (0.5 , 這一模式象征著時間序列 的非平穩(wěn)性。由 于 G

9、DP 時 間 序 列 的 季 度 數(shù) 據(jù) 不 具有平穩(wěn)性 , 因此 , 我們在確定性趨勢錯 誤 假 設 下 所 得 到 的 回 歸 GDP t =0+1t+t , 其價值是值得懷疑的。三、 平穩(wěn)性的單位根檢驗樣本自相關函數(shù)雖然可以實現(xiàn)時間 序列平穩(wěn)性的檢驗 , 但計算量比較大。 如 果時間序列時刻 t 的模型值 Y t 等于時刻 t-1的 模 型 值 Y t-1加 上 一 個 隨 機 沖 擊 t (Y t =Y t-1+t , 那么我們同樣也可以判斷 該時間序列是隨機時間序列 (非平穩(wěn)時 間序列 。從這一事實出發(fā) , 考慮如下模 型 :Y t =Y t-1+t (8 如果 (8 存在一個根 =

10、1, 則我們說 隨機變量 Y t 有一個單位根。因此 , 在時 間序列計量經濟學中 , 一個有單位根的 時間序列即為非平穩(wěn)的時間序列。 假設 4t 5是均值為 , 恒定方差為 2且是系列不相關的一個隨機序列 , 序列 7Y t 8存在一個單位根 , 于是 (8 可改寫為 : Y t =Y t-1+t (9 令 Y 0=0, 于是有 :Y 1=1, Y 2=1+2, , Y t =t 。因此 , 一個非平穩(wěn)的時間序 列 , 對應 E(Y t =E(t =t , var(Y t =t 2。 這 剛好與平穩(wěn)的 定 義 相 吻 合 , Y t 的 均 值 和 方差均隨時間的變化而變化 , 因此過程 是

11、非平穩(wěn)的。由 于 7Y t -Y t-15=是 一 個 純 隨 機 過 程 , 故 (8 常用的另一種形式可表示為 : Y t =Y t -Y t-1=(-1Y t-1+t =Y t-1+t (10 其中 =-1, 此時用來假設檢驗的 虛擬假設應該是 =0。如果一個非平穩(wěn)時間序列的一階差 分是平穩(wěn)的 , 我們就說原始的序列是一 階序列 , 記為 d(1 。一個非平穩(wěn)的時間序 列可以通過若干次差分轉換為平穩(wěn)的時 間序列 , 如果一個原始序列在變成平穩(wěn) 之前必須經過 n 次差分 , 則稱原始序列 為 n 階序列 , 記為 d(n 。為了檢驗一個時間序列 Y t (例如上述 GDP 序列 是 否 平

12、 穩(wěn) , 可 做 回 歸 (10 , 看 是否統(tǒng)計上等于 0。這似乎很簡單 ,其實不然。麻煩就出在顯著性是通過 t 函數(shù)加以檢驗的 , 而 t 函數(shù)的構造本身又是以平穩(wěn)時間序列為前提的。 這也就是說 , 當時間序列為非平穩(wěn)時 , 慣 常 所 計 算 的 統(tǒng) 計 量 t根本不服從 t 分布。如何解決這一問題呢 ? 在 =0的虛擬假設下 , 我們把慣常所計 算 的 t 統(tǒng) 計 量 改 造 成 為 統(tǒng) 計 量 , 從而利用 Dickey 和 Fuller 給出的 臨界值表 , 進行所謂的 DF 檢驗。DF 檢驗的最簡單形式 , 就是首先將(10 所估計的 除以其標準差 , 得到一個統(tǒng) 計 量 , 然

13、 后 再 查 DF 臨 界 值 表 , 看 是否可以拒絕虛擬假設 =0。如果所計算的 統(tǒng)計量的絕對值超過 DF 臨界值的絕對值 , 就可以拒絕 =0, 進而接受時間序列是平穩(wěn)的 ; 如果所計算的統(tǒng)計量的絕對值小于 DF 臨界值的絕對值 , 則不能拒絕 =0, 進而認為時間序列是非平穩(wěn)的。實踐上常采用如下兩種形式 : Y t =1+Y t-1+t (11 Y t =1+2t+Y t-1+t (12其中 t 是時間或趨勢變量 , 兩種形式中虛擬假設都是 =0, 其差別在于是否含有趨勢項?；?到 上 述 GDP 時 間 序 列 的 季 度 數(shù)據(jù) , 根 據(jù) MICRO TSP7.0對 應 (11 的

14、 回歸給出如下結果 : GDP t =32.9693-0.0025GDP t-1t=(1.3304 (-0.3932R 2=0.0018d=1.3520對應 (12 的回歸給出如下結果 : G D P t =183.9751+1.3949t-t=(1.7877(1.51110.0579GDP t-1(-1.5563R 2=0.0286d=1.3147德 賓 (Durbin -沃 森 (Watson 統(tǒng) 計量 d 定義如下 :d=nt =2! (t -t-1 2t =2! t 2(13統(tǒng)計量 d 的一大優(yōu)點是 , 它僅依賴估計的殘差值。 正因為這一優(yōu)點 , 多數(shù)系統(tǒng) 均 將 d 和 R 2一 起

15、 報 告 。 Granger 和Newbold 曾 經 提 出 一 個 良 好 的 經 驗 規(guī)則 , 即 當 R 2>d 時 , 所 估 計 的 回 歸 就 有 謬誤之嫌。對于我們的目的 , 重要的 GDP t-1是變量的 統(tǒng)計量 , 注意我們的虛擬假設 是 =0, 也就 是 說 有 單 位 根 =1。 對 應 (11 的 回 歸 結 果 , 所 計 算 的 值 是 -0.3932, 而 1%、 5%和 10%的 統(tǒng) 計 量 的 臨界值分別為 -3.5073,-2.8951,-2.5844。 由 于 計 算 的 值 在 絕 對 值 上 小 于 1%、 5%和 10%的臨界值的絕對值 ,

16、我們不拒 絕虛擬假設 =0, 即 GDP 時間序 列 是 非 平穩(wěn)的。對 應 (12 的 回 歸 結 果 , 所 計 算 的 值 是 -1.5563, 而 1%、 5%和 10%的 統(tǒng) 計量的臨界值分別為 -4.06733,-3.4620,-3.1570, 同樣我們不拒絕虛擬假設 =0, 即 GDP 時間序列是非平穩(wěn)的?，F(xiàn) 在 我 們 來 考 慮 這 樣 一 個 問 題 , GDP 的一階差分是否平穩(wěn)。重復上面的 檢 驗 , 只 不 過 這 次 我 們 要 檢 驗 GDP t = (GDP t -GDP t-1 是否是平穩(wěn)的 , 對應 (11 的 回歸給出如下結果 : GDP t =15.53

17、13-0.6748GDP t-1 t=(3.4830(-6.4956 R 2=0.3436由 于 所 計 算 的 值 是 -6.4956, 而 1%、 5%和 10%的 統(tǒng) 計 量 的 臨 界 值 分 別 為 -3.5082,-2.8955,-2.5846, 的 絕 對 值超過了臨界絕對值 , 因此可以拒絕虛 擬假設 =0, 即 GDP 的一階差分 序 列 是 平穩(wěn)的。四、 結束語時間序列的平穩(wěn)性檢驗是研究計量 經濟學模型的基礎 , 傳統(tǒng)的 t 檢驗、 F 檢 驗等均以此假設作為依據(jù)。實際上大多 數(shù)經濟時間序列是非平穩(wěn)的 , 在一個非 正式的判別水準上 , 平穩(wěn)性可以通過時 間序列各種滯后的自相關函數(shù)來加以檢 驗 ; 在一個正式的判別水準上 , 平穩(wěn)性可 以通過時間序列是否含有單位根來加以 檢驗。 雖然從理論上講 , 一個非平穩(wěn)的時 間序列可以通過若干次差分轉換為平穩(wěn) 的時間序列 ; 但大多數(shù)經濟理論都是以 變量的原始 取 值 而 非 差 分 形 式 給 出 的 , 經過若干次差分也許會把變量的原始取 值所反映的有價值信息丟掉了。 此外 , 盡 管兩變量都是非平穩(wěn)的 , 但這并不能排 除兩變量的 線 性 組 合 是 平 穩(wěn) 的 可 能 性 。 如果如此 , 兩變量在原始取值上的回歸 就是有意義