專題20正方形--拔高題

1、專題20 正方形 閱讀與思考 矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，但它們都是有特殊條件的平行四邊形，正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是鄰邊相等的特殊矩形，也是有一個角是直角的菱形，因此，我們可以利用矩形、菱形的性質(zhì)來研究正方形的有關(guān)問題正方形問題常常轉(zhuǎn)化為三角形問題解決，在正方形中，我們最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本圖形例題與求解【例l】 如圖，在正方形紙片中，對角線，交于點，折疊正方形紙片，使落在上，點恰好與上的點重合，展開后，折痕分別交，于點，.下列結(jié)論：；四邊形是菱形；.其中，正確結(jié)論的序號是_ （重慶市中考試題）解題思路：本題需綜合運用軸對稱、菱形判定、數(shù)形結(jié)合等知識方

2、法 【例2】如圖1，操作：把正方形的對角線放在正方形的邊的延長線上，取線段的中點.連， （1）探究線段，的關(guān)系，并加以證明 （2）將正方形繞點旋轉(zhuǎn)任意角后（如圖2），其他條件不變 探究線段，的關(guān)系，并加以證明 （大連市中考題改編）解題思路：由為中點，想到“中線倍長法”再證三角形全等 【例3】如圖，正方形中，是，邊上兩點，且，于，求證：. （重慶市競賽試題） 解題思路：構(gòu)造的線段是解本例的關(guān)鍵 【例4】 如圖，正方形被兩條與邊平行的線段、分割成四個小矩形，是與的交點，若矩形的面積恰是矩形面積的2倍，試確定的大小，并證明你的結(jié)論 （北京市競賽試題） 解題思路：先猜測的大小，再作出證明，解題的關(guān)鍵是

3、由條件及圖形推出隱含的線段間的關(guān)系 【例5】 如圖，在正方形中，分別是邊，上的點，滿足，分別與對角線交于點 求證：（1）； （2） （四川省競賽試題） 解題思路：對于（1），可作輔助線，創(chuàng)造條件，再通過三角形全等，即可解答；對于（2），很容易聯(lián)想到直角三角形三邊關(guān)系 【例6】已知 ：正方形中，繞點順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交，（或它們的延長線）于點 當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證（1）當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖2），線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；（2）當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想 （黑龍江省中考試題） 解題思路：對于（2），構(gòu)造是解題

4、的關(guān)鍵 圖1 圖2 圖3能力訓(xùn)練A級1. 如圖，若四邊形是正方形，是等邊三角形，則的度數(shù)為_.（北京市競賽試題）2. 四邊形的對角線相交于點，給出以下題設(shè)條件：；其中，能判定它是正方形的題設(shè)條件是_. （把你認為正確的序號都填在橫線上） （浙江省中考試題） 3如圖，邊長為1的兩個正方形互相重合，按住一個不動，將另一個繞頂點順時針旋轉(zhuǎn)，則這兩個正方形重疊部分的面積是_. （青島市中考試題） 第1題圖 第3題圖 第4題圖4.如圖，是正方形內(nèi)一點，將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)至能與重合，若，則=_. （河南省中考試題） 5.將個邊長都為的正方形按如圖所示擺放，點分別是正方形的中心，則個正方形重疊形成的重疊部

5、分的面積和為( )A . B C. D. （晉江市中考試題） 第5題圖 第6題圖 6. 如圖，以的斜邊為一邊在的同側(cè)作正方形，設(shè)正方形的中心為，連接，如果，則的長為( )A . 12 B8 C. D. （浙江省競賽試題） 7如圖，正方形中，那么是( )A . B C. D. 8如圖，正方形的面積為256，點在上，點在的延長線上，的面積為200，則的值是( )A15 B12 C11 D10 9如圖，在正方形中，是邊的中點，與交于點，求證： 10. 如圖，在正方形中，是邊的中點，是上的一點，且 求證：平分 11. 如圖，已知是正方形對角線上一點，分別是垂足求證：（揚州市中考試題） 12.（1）如圖

6、1，已知正方形和正方形，在同一條直線上，為線段的中點探究：線段的關(guān)系（2）如圖2，若將正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使得正方形的對角線在正方形的邊的延長線上，為的中點試問：（1）中探究的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由（大連市中考試題） 圖1 圖2 B級1. 如圖，在四邊形中，于，若四邊形的面積為8，則的長為_.2.如圖，是邊長為1的正方形內(nèi)一點，若，則_. （北京市競賽試題）3.如圖，在中，以為一邊向三角形外作正方形，正方形的中心為，且，則的長為_.（“希望杯”邀請賽試題）4.如圖：邊長一定的正方形，是上一動點，交于，過作交于點，作于點，連接，下列結(jié)論：；為定值，其中一定成立的是(

7、 )A . B C. D. 5.如圖，是正方形，是菱形，則與度數(shù)的比值是( )A . 3 B4 C. 5 D. 不是整數(shù)6.一個周長為20的正方形內(nèi)接于一個周長為28的正方形，那么從里面正方形的頂點到外面正方形的頂點的最大距離是( )A . B C. 8 D. E.（美國高中考試題）7.如圖，正方形中，是的中點，設(shè)，在上取一點，使，則的長度等于 ( )A . 1 B2 C. 3 D. （“希望杯”邀請賽試題）8.已知正方形中，是中點，是延長線上一點，且交平分線于（如圖1）（1）求證：；（2）若將上述條件中的“是中點”改為“是上任意一點”其余條件不變（如圖2），（1）中結(jié)論是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由；（3）如圖2，點是的延長線上（除點外）的任意一點，其他條件不變，則（1）中結(jié)論是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由； （臨汾市中考試題） 9.已知求證：10.如果，點分別在正方形的邊上，已知的周長等于正方形周長的一半，求的度數(shù) （“祖沖之杯”邀請賽試題）