知識(shí)講解-變化率與導(dǎo)數(shù)-基礎(chǔ)

1、精品文檔1歡迎下載【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)理解平均變化率的概念；(2)了解瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念；(3)理解導(dǎo)數(shù)的概念，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵;(4)會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或瞬時(shí)變化率；【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平均變化率問題1.變化率事物的變化率是相關(guān)的兩個(gè)量的增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值；2.平均變化率般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間x1, x2上的平均變化率為：f(X2)f (X1)X2X-I要點(diǎn)詮釋:1本質(zhì)：如果函數(shù)的自變量的“增量”為X,且x x2為，相應(yīng)的函數(shù)值的“增量”為y,y f(X2)f(xj,則函數(shù)f(x)從X!到x?的平均變化率為 f

2、(X2)f(Xl)XX2X-I2函數(shù)的平均變化率可正可負(fù)，平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢(shì)即遞增或遞減幅度的大小。對(duì)于不同的實(shí)際問題，平均變化率富于不同的實(shí)際意義。如位移運(yùn)動(dòng)中，位移 平均變化率即為tl秒到t2秒這段時(shí)間的平均速度。高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中平均速度只能粗略地描述物體在某段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，要想更精確地刻畫物體運(yùn)動(dòng), 就要研究某個(gè)時(shí)刻的速度即瞬時(shí)速度。3.如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法:2.Vx是一個(gè)整體符號(hào)，而不是V與x相乘。3.求函數(shù)平均變化率時(shí)注意Vx, Vy，兩者都可正、可負(fù)，但Vx的值不能為零，Vy的值可以為零。若函數(shù)y f x為常函數(shù)，

3、則Vy=O.要點(diǎn)二、導(dǎo)數(shù)的概念變化率與導(dǎo)數(shù)S(m)從11秒到t2秒的作差：求出f (X2)f (x1)和X X2X1作商：對(duì)所求得的差作商，即要點(diǎn)詮釋：yf(x2)f(xQXX2X1.X是X1的一個(gè)“增量”，可用X1x代替x2，同樣y f (x2) f (x-i)。精品文檔2歡迎下載2X 0時(shí)，y在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)。即存在一個(gè)常數(shù)與 一丫 丄0X)f (x)無限接近。XX3導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率。如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí) 刻的瞬間變化率。要點(diǎn)三、求導(dǎo)數(shù)的方法: 求導(dǎo)數(shù)值的一般步驟：求函數(shù)的增量：y f (xX)f (X0);

4、求平均變化率：yf(x0X)f (X0).XX求極限，得導(dǎo)數(shù)：f (X0)lim -x 0Xrf (X0limx) f(X0)X也可稱為三步法求導(dǎo)數(shù)?！镜湫屠}】類型一：求平均變化率1例1函數(shù)y f (x)一在區(qū)間1,1 +AX內(nèi)的平均變化率為 _X【解析】y f (1 X).yX【點(diǎn)評(píng)】由于平均變化率是函數(shù)值增量與自變量增量之比，所以求函數(shù)在給定區(qū)間X0,X0+AX上的平均變化率問題，就是求亠血一X)f(x)的值。XX舉一反三：_ _ 2【變式1】求y x在x x0附近的平均變化率.定義：函數(shù)f (x)在X x0處瞬時(shí)變化率是limf XoXfXox 0，我們稱它為函數(shù)y f x在x x0處

5、的導(dǎo)數(shù)，記作fXoxxo即yf x0f x0= lim lim -x 0 xx 0f Xo要點(diǎn)詮釋：增量X可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于有多近，即I x 0|可以小于給定的任意小的正數(shù)。0。X 0的意義：X與0之間距離要多近f(1)1精品文檔3歡迎下載【答案】y化x)2x02精品文檔4歡迎下載所以x(XoX)2X02X2 2 2Xo2xox xXo2xo2所以y x在x Xo附近的平均變化率為2xox【變式2】求y 2x21在Xo到XoX之間的平均變化率，并求xo1,X-時(shí)平均變化率的值2【答案】當(dāng)變量從X變到XoX時(shí)，函數(shù)的平均變化率為f (Xox) f(Xo)X2(x0 x)21

6、2詳14xo2 x1當(dāng)Xo 1，x-時(shí)，平均變化率的值為：4【變式3】已知函數(shù)f(x)=x2x的圖象上的一點(diǎn)A(1,2)及臨近一點(diǎn)B( 1 x, 2 y),【答案】則丄Xy ( 1 x)2( 1 x)，(1X)2( 1 x) 23x【高清課堂：變化率與導(dǎo)數(shù)383113例1】類型二：利用定義求導(dǎo)數(shù)值例2(1)求函數(shù)f (x) 3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).(2)求函數(shù)f(x)=X2X在X1附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).【解析】(1)y f(1 X) f(1)3(1 x)233( x)26 x 3( x)26x1叫63 x)f (1) 6.所以函數(shù)f (x) 3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù)為(2)依照

7、定義,f(x)在X1的平均變化率，為兩增量之比,需先求y f (xoX) f (Xo)(1x)2(X)X ( X)2,2十y 3 x ( x)再求：3xxX,即為f(X)=x21附近的平均變化率。精品文檔5歡迎下載再由導(dǎo)數(shù)定義得：f ( 1) limylim(3 x) 3x 0 xX 0【點(diǎn)評(píng)】利用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值，需熟練掌握求導(dǎo)數(shù)的步驟和方法，即三步法。舉一反三：【變式1】、1求函數(shù)y在點(diǎn)xx 3處的導(dǎo)數(shù).【答案】x，所以3(3 x)y _x 3(3【變式2】【答案】【變式3】【答案】類型三:例3.度【解析】【點(diǎn)評(píng)】f(X。)limo求函數(shù)求yf (Xo)若f(x)因?yàn)樗砸驗(yàn)樗詘)2l

8、ixmof(2)f(2)譏0(xf(22x在x Xo附近的平均變化率,2y (xox)X。2，所以0 x并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).2xo2Xo2xoylim(2 x0 x) 2滄X1)2,lxmo2x)2 2XX02xox求f (2)和(f (2)f(2)(1x)2212 x ( x)，所以x) 21，所以實(shí)際是求函數(shù)y 1在x 1處的導(dǎo)數(shù)值，y0,即(f (2)= 0實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s=2t2+3做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位:cm,時(shí)間單位：s)，求質(zhì)點(diǎn)根據(jù)平均速度的意義，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求解。2 2瞬時(shí)速度v=ims(2 t) s(2)lim2(2 t) 3(2 23)t 0ttot=l

9、im(8+2At)=8(cm/s)t 0t=2時(shí)的瞬時(shí)速度就是t=2附近平均速度的極限，亦即速度在t=2時(shí)導(dǎo)數(shù)。M在t=2時(shí)的瞬時(shí)速精品文檔6歡迎下載舉一反三:【變式1】如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從固定點(diǎn)3A開始運(yùn)動(dòng)，關(guān)于時(shí)間t的位移函數(shù)是s(t) t 3求(1)t=4時(shí)，物體的位移是s(4);(2)t=4時(shí)，物體的速度v(4);(3)t=4時(shí)，物體的加速度a.33(4 t) 3 (43)48 12 t ( t)2當(dāng)時(shí)間增量t很小時(shí)，從3秒到(3+t)秒這段時(shí)間內(nèi)，小球下落的快慢變化不大因此，可以用這段時(shí)間內(nèi)的平均速度近似地反映小球在下落從3秒到(3+t)秒這段時(shí)間內(nèi)位移的增量：2 2 2s s(3 t)

10、s(3)4.9(3 t) 4.9 329.4 t 4.9( t)s從而，v29.4 4.9 t.ts結(jié)論：t越小， 越接近29.4米/秒ts當(dāng)t無限趨近于0時(shí)，無限趨近于29.4米/秒.【變式3】質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s (t)=at2+1做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：m時(shí)間單位：s)。若質(zhì)點(diǎn)在t=2 s時(shí)的瞬時(shí)速度為8 m / s，求常數(shù)a的值。【答案】(1)3s(4)4367t=4lim t 0tv(4)=48s (t- v(t)litm0limt 04812 t ( t)2slim 3t23ttt 0v(t t) v(4)483t t (t)23(4t)2tt)23t2vlimt 0t a=24【變式2】一個(gè)小球自由下落，它在下落1【答案】自由落體