第26講含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問題

1、第二十六講含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問題對于一元二次方程ax2+ bx+c=0(a w0)的實(shí)根情況,可以用判別式A =b2-4ac來判別,但是對于一個含參數(shù)的一元二次方程來說,要判斷它是 否有整數(shù)根或有理根,那么就沒有統(tǒng)一的方法了,只能具體問題具體分析 求解,當(dāng)然,經(jīng)常要用到一些整除性的性質(zhì). 本講結(jié)合例題來講解一些主 要的方法.例1 m是什么整數(shù)時,方程(m2-1)x 2-6(3m-1)x + 72=0有兩個不相等的正整數(shù)根.解法 1 首先,m-lw0, m ±1. A =36(m-3)2>0,所以 m 3.用求根 公式可得由于與,x2是正整數(shù),所以n-1=1, 2, 3

2、, 6, m+1=1 2, 3, 4, 6, 12,解得 m=2 這時 x1=6, x2=4.解法2首先,m-1w0,±1.設(shè)兩個不相等的正整數(shù)根為 必,x2,那么由根與系數(shù)的關(guān)系知2 T W 21m - 1m - 1所以 m-1=2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72,即m=3, 4, 5, 7, 9, 10, 13, 19, 25, 37, 73,只有 吊=4, 9, 25才有可能,即 m=± 2, ±3, ±5.經(jīng)檢驗(yàn),只有m=2時方程才有兩個不同的正整數(shù)根.說明一般來說,可以先把方程的根求出來(如果比擬容易求的話

3、), 然后利用整數(shù)的性質(zhì)以及整除性理論,就比擬容易求解問題,解法1就是這樣做的.有時候也可以利用韋達(dá)定理,得到兩個整數(shù),再利用整除性質(zhì) 求解,解法2就是如此,這些都是最自然的做法.例2關(guān)于x的方程a2x2-(3a2-8a)x + 2a2-13a+ 15=0(其中a是非負(fù)整數(shù))至少有一個整數(shù)根,求a的值.把它分析“至少有一個整數(shù)根應(yīng)分兩種情況：一是兩個都是整數(shù)根, 另一種是一個是整數(shù)根,一個不是整數(shù)根.我們也可以像上題一樣, 的兩個根解出來.解由于aw0,所以(婕 _力)土而？ _苛-4a2a5 -13a +n) 加2?(V -8a)±(a3 + 2a)所以3aJ- Sa + fa2+

4、 2a)3力2工3r-82一爐+ 2a)5叼-22aaa所以只要a是3或5的約數(shù)即可,即a=1, 3, 5.例3設(shè)m是不為零的整數(shù),關(guān)于x的二次方程mX-(m-1)x + 1 = 0有有理根,求m的值.解一個整系數(shù)的一元二次方程有有理根,那么它的判別式一定是 全平方數(shù).令A(yù) =(m-1) 2-4m= n2,其中n是非負(fù)整數(shù),于是m6m+1=n,所以(m-3)2-n2=8,(m-3+ n)(m-3-n) =8.由于n-3+n>n-3-n,并且(m-3+ n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶數(shù),所以m3+n與m3-n同奇偶,所以1rm-3+n = 4,'m=3 + n = -2,I

5、 m 3-n = 2 ；m-3-口= 4所以所以m = 6,這時方程的兩個根為說明一個整系數(shù)的一元二次方程如果有整數(shù)根或有理根,那么它的 判別式一定是完全平方數(shù),然后利用平方數(shù)的性質(zhì)、解不定方程等手段可 以將問題解決.例4關(guān)于x的方程ax2+2(a-3)x+(a -2)=0至少有一個整數(shù)解,且a是整數(shù),求a的值.解 當(dāng)a=0時,原方程變成-6x-2=0,無整數(shù)解.當(dāng)aw0時,方程是一元二次方程,它至少有一個整數(shù)根,說明判別A = 4(a -3) 2-4a(a -2) = 4(9 -4a)為完全平方數(shù),從而9-4a是完全平方數(shù).令9-4a=n2,那么n是正奇數(shù), 且否那么覆=0),所以次=子.由

6、求根公式得-2土為到2a所以要使xi為整數(shù),而n為正奇數(shù),只能n=1,從而a=2.要使x2為整數(shù), 即 n-3 | 4, n 可取 1, 5, 7,從而 a=2, -4, -10.綜上所述,a的值為2, -4, -10.說明此題是前面兩種方法的“綜合.既要用判別式是平方數(shù),又 要用直接求根.有時候,往往是幾種方法一同使用.例5關(guān)于x的方程x2+ (a -6)x + a=0的兩根都是整數(shù),求a的值.解 設(shè)兩個根為X1>X2,由韋達(dá)定理得從上面兩式中消去a得XlX2+Xl+X2=6,所以(x i+ 1)(x 2+1)=7,所以 a=xiX2=0 或 16.說明 利用韋達(dá)定理,然后把參數(shù)消去,

7、得到的是關(guān)于Xi, X2的不定方程,而求解這個對稱的不定方程往往是容易入手的.例6求所有有理數(shù)r,使得方程rx2+(r+1)x + (r -1)=0的所有根是整數(shù).分析 首先對r=0和rw0進(jìn)行討論.r=0時,是關(guān)于x的一次方程； rw0時,是關(guān)于x的二次方程,由于r是有理數(shù),處理起來有些困難, 這時用直接求根或用判別式來做, 均不能奏效.可用韋達(dá)定理,先把這個 有理數(shù)r消去.解 當(dāng)r=0時,原方程為x-1=0,所以x=1.當(dāng)rw0時,原方程是關(guān)于x的一元二次方程,設(shè)它的兩個整數(shù)根為Xi, X2,且 Xi>X2,那么消去r得XiX2-Xi-X2 = 2,所以(x i-1)(x 2-1)=

8、3 .所以綜上所述,當(dāng)r = g, 0, 1時,方程的所有根都是整數(shù).例7a是正整數(shù),且使得關(guān)于x的一元二次方程ax2+2(2a-1)x +4(a-3)=0至少有一個整數(shù)根,求a的值.解將原方程變形為(x + 2) 2a= 2(x +6).顯然x+ 2豐0,于是2G 4 0("2尸由于a是正整數(shù),所以a>1,即2儀+ 0 »所以 x2+2x-8<0,(x+4)(x -2)<0,所以-4<x<2(x-2).當(dāng) x=-4, -3, -1 ,0,1,2 時,得 a 的值為 1 , 6, 10, 3, y, L所以g的值為1, 3, 6. 10.說明

9、從解題過程中知,當(dāng)a=1時,有兩個整數(shù)根-4, 2;當(dāng)a=3, 6, 10時,方程只有一個整數(shù)根.有時候,在關(guān)于 x的一元二次方程中,如 果參數(shù)是一次的,可以先對這個參數(shù)來求解.例8方程x2+bx+c=0與x2+cx+b=0各有兩個整數(shù)根xi,X2和右般且%跖>0, &；>0(1)求匹兄?電子啊疝<0,又；匕.,(2)求證：b-1<c< b+ 1;(3)求b, c的所有可能的值.解(1)由乂仇2>0知,x1與x2同號.假設(shè)x1>0,那么x2>0,這時-6 =防+盯07所以b?0.與b ="聲;>0矛盾p所以,笈 句?0,同

10、理可證發(fā)'Of名#0.(2)由(1)知,x1<0, x2<0,所以 x&-1, x2<-1.由韋達(dá)定理c-(b-1)=x1xz + x1 + x?+ 1=(x1 + 1)(x2+1) >0,所以c >b-1.同理有b- (c-l) =苒1笈3+這l +工)+1所以c < b+1,所以 b-1<c<b+1.(3)由(2)可知,b與c的關(guān)系有如下三種情況:(i)c=b +1.由韋達(dá)定理知xX2=-(x 1 + x2) + 1 ,所以(x 1+1)(x 2+1)=2,所以了十1二)了1 +1 =+1= -2j | 三1+ 1 = -1.

11、解得 xTx2=-5, x<X2=6,所以 b=5, c=6.(ii)c=b .由韋達(dá)定理知XlX2=-(X l+X2),所以(x i + 1)(x 2+ 1)=1 ,所以 xi =x2=-2,從而 b=4, c=4.(iii)c=b -1.由韋達(dá)定理知所以區(qū) +.區(qū)+ D =2r解得加+冗；=-5,笈；笈；=&所如=6, c = 5.綜上所述,共有三組解：(b, c)=(5 , 6), (4, 4), (6, 5).練習(xí)二十六1.填空：(1)方程x2+px+1997=0恰有兩個正整數(shù)根x% x2,那么7的值是 + l)(x2 十 1)(2)k為整數(shù),且關(guān)于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x + 18=0有兩個不相同的正整數(shù)根,那么 k=.(3)兩個質(zhì)數(shù)a, b恰好是關(guān)于x的方程x2-21x+t=0的兩個根,心+=|a b (4)方程x2+px+q=0的兩個根都是正整數(shù),并且p+q=1992,那么方程較 大根與較小根的比等于(5)方程(a2-1)x2-2(5a+1)x+24=0有兩個不相等的負(fù)整數(shù)根,那么 整數(shù)a的值是.2 .設(shè)m為整數(shù),且4<m<