2015高考數(shù)學(xué)（文）（離散型隨機(jī)變量的均值與方差）一輪復(fù)習(xí)學(xué)案

1、學(xué)案68離散型隨機(jī)變量的均值與方差導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念.2.能計算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實際問題自主梳理1離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值稱E(X)_為隨機(jī)變量X的均值或_，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的_(2)方差稱D(X)_為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的_，其_為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差2均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)_.(2)D(aXb)_.(a，b為實數(shù))3兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若X服從兩點分布，則E(X)_，D(X)_

2、.(2)若XB(n，p)，則E(X)_，D(X)_.自我檢測1若隨機(jī)變量X的分布列如下表，則E(X)等于()X012345P2x3x7x2x3xxA.B.C.D.2(2011·菏澤調(diào)研)已知隨機(jī)變量X服從二項分布，且E(X)2.4，D(X)1.44，則二項分布的參數(shù)n，p的值為()An4，p0.6Bn6，p0.4Cn8，p0.3Dn24，p0.13(2010·全國)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需要再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為()A100B200C300D4004(2011·浙江)某畢業(yè)生參加人才

3、招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的，記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)若P(X0)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)_.5(2011·杭州月考)隨機(jī)變量的分布列如下：101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列若E()，則D()_.探究點一離散型隨機(jī)變量的期望與方差例1袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n1,2,3,4)現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標(biāo)號(1)求的分布列、期望和方差；(2)若ab，E()1，D()11，試求a，b的值變式遷移1編號

4、1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號為1,2,3的三個座位，每位學(xué)生坐一個座位，設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的個數(shù)是X.(1)求隨機(jī)變量X的分布列；(2)求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差探究點二二項分布的期望與方差例2(2011·黃山模擬)A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進(jìn)行對比試驗每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為.(1)求一個試驗組為甲類組的概率；(2)觀察3個試驗組，用表示這3個試驗組中甲類組的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)

5、期望變式遷移2某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是2min.(1)求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；(2)求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時間的分布列及期望探究點三離散型隨機(jī)變量期望與方差的應(yīng)用例3購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費a元，若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得10000元的賠償金假定在一年度內(nèi)有10000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為1.(1)求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率p；(2)設(shè)保

6、險公司開辦該項險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(單位：元)變式遷移3因冰雪災(zāi)害，某柑桔基地果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果樹的方案，每種方案都需分兩年實施若實施方案一，預(yù)計第一年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5.若實施方案二，預(yù)計第一年可以使柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0.

7、4、0.6.實施每種方案第一年與第二年相互獨立，令i(i1,2)表示方案i實施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù)(1)寫出1、2的分布列；(2)實施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？(3)不管哪種方案，如果實施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)不到、恰好達(dá)到、超過災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計利潤分別為10萬元、15萬元、20萬元問實施哪種方案的平均利潤更大？1若ab，則E()aE()b，D()a2D()2若B(n，p)，則E()np，D()np(1p)3求離散型隨機(jī)變量的期望與方差的常用方法有：(1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機(jī)變量的期望、方差，求的線性函

8、數(shù)ab的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的期望、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機(jī)變量，是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，可直接利用它們的期望、方差公式求解(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2011·福州質(zhì)檢)已知某一隨機(jī)變量的概率分布列如下，且E()6.3，則a的值為()4a9P0.50.1bA.5B6C7D82設(shè)B(n，p)，若有E()12，D()4，則n、p的值分別為()A18，B16，C20，D15，3隨機(jī)變量X的分布列為X124P0.40.30.3則E(5X4)等于()A15B11C2.2D2.34設(shè)擲1枚骰子的點數(shù)為，則()AE()3.5，D

9、()3.52BE()3.5，D()CE()3.5，D()3.5DE()3.5，D()5(2011·成都調(diào)研)已知拋物線yax2bxc (a0)的對稱軸在y軸的左側(cè)，其中a、b、c3，2，1,0,1,2,3，在這些拋物線中，記隨機(jī)變量為“|ab|的取值”，則的數(shù)學(xué)期望E()為()A.B.C.D.二、填空題(每小題4分，共12分)6(2011·上海)馬老師從課本上抄錄一個隨機(jī)變量的概率分布列如下表：x123P(x)？?。空埿∨Ｍ瑢W(xué)計算的數(shù)學(xué)期望盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同據(jù)此，小牛給出了正確答案E()_.7(2011

10、3;泰安模擬)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,4.P(Xk)akb(k1,2,3,4)又X的均值E(X)3，則ab_.8兩封信隨機(jī)投入A、B、C三個空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X)_.三、解答題(共38分)9(12分)(2011·江西)某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進(jìn)行一次測試，以便確定工資級別公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料若4杯都選對，則月工資定為3500元；若4杯選對3杯，則月工資定為2800元；否則月工資定為2100元令X表示此人選對A飲料的杯數(shù)

11、假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力(1)求X的分布列；(2)求此員工月工資的期望10(12分)(2011·山東)紅隊隊員甲、乙、丙與藍(lán)隊隊員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對A、乙對B、丙對C各一盤已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5，0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立(1)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；(2)用表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E()11(14分)現(xiàn)有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資十萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、；已知乙項目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中，價格下降的概率都是p(0<p<

12、;1)設(shè)乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨立的調(diào)整，記乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為，對乙項目投資十萬元，取0、1、2時，一年后相應(yīng)利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元隨機(jī)變量1、2分別表示對甲、乙兩項目各投資十萬元一年后的利潤(1)求1、2的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(1)、E(2)；(2)當(dāng)E(1)<E(2)時，求p的取值范圍學(xué)案68離散型隨機(jī)變量的均值與方差自主梳理1(1)x1p1x2p2xipixnpn數(shù)學(xué)期望平均水平(2) (xiE(X)2pi平均偏離程度算術(shù)平方根2.(1)aE(X)b(2)a2D(X)3(1)pp(1p)(2)npnp(1p)自我檢測1C2.B3.B4.解

13、析由題意知P(X0)(1p)2，p.隨機(jī)變量X的分布列為：X0123PE(X)0×1×2×3×.5.課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引要求期望，需先求出分布列，要求分布列，需先求隨機(jī)變量取每個值的概率，而求概率離不開常見事件概率的計算方法第(2)小題注意性質(zhì)E(ab)aE()b，D(ab)a2D()的應(yīng)用解(1)的分布列為01234PE()0×1×2×3×4×1.5.D()(01.5)2×(11.5)2×(21.5)2×(31.5)2×(41.5)2×2.75.(2)

14、由D()a2D()，得a2×2.7511，即a±2.又E()aE()b，所以當(dāng)a2時，由12×1.5b，得b2；當(dāng)a2時，由12×1.5b，得b4.或變式遷移1解(1)P(X0)；P(X1)；P(X3).隨機(jī)變量X的分布列為X013P(2)E(X)0×1×3×1.D(X)(10)2×(11)2×(31)2×1.例2解題導(dǎo)引(1)準(zhǔn)確理解事件“甲類組”的含義，把“甲類組”這一復(fù)雜事件用幾個互斥的基本事件的和來表示；(2)第(2)小題首先判斷隨機(jī)變量服從二項分布，再求其分布列和均值解(1)設(shè)Ai表示

15、事件“一個試驗組中，服用A有效的小白鼠有i只”，i0,1,2，Bi表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小白鼠有i只”，i0,1,2.依題意有P(A1)2××，P(A2)×.P(B0)×，P(B1)2××.所求的概率為PP(B0A1)P(B0A2)P(B1A2)×××.(2)的可能值為0,1,2,3，且B.P(0)3，P(1)C××2，P(2)C×2×，P(3)3.的分布列為0123P數(shù)學(xué)期望E()0×1×2×3×.變式遷移2解

16、(1)設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈為事件A.因為事件A等價于事件“這名學(xué)生在第一和第二個路口沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈”，所以事件A的概率為P(A)××.(2)由題意可得，的可能取值為0,2,4,6,8(單位：min)事件“2k”等價于事件“該學(xué)生在上學(xué)路上遇到k次紅燈”(k0,1,2,3,4)，所以P(2k)Ck4k (k0,1,2,3,4)即的分布列是02468P所以的期望是E()0×2×4×6×8×.例3解題導(dǎo)引各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是p，投保人中出險人數(shù)B(104，p)，進(jìn)

17、而利用二項分布的有關(guān)性質(zhì)求解解各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是p，記投保的10000人中出險的人數(shù)為，則B(104，p)(1)記A表示事件：保險公司為該險種至少支付10000元賠償金，則發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)0，P(A)1P()1P(0)1(1p)104，又P(A)10.999104，故p0.001.(2)該險種總收入為10000a元，支出是賠償金總額與成本的和支出1000050000.盈利10000a(1000050000)，盈利的期望為E()10000a10000E()50000，由B(104,103)知，E()10000×103，E()104a104E()5×1041

18、04a104×104×1035×104.E()0104a104×105×1040a1050a15(元)故每位投保人應(yīng)交納的最低保費為15元變式遷移3解(1)1的所有取值為0.8、0.9、1.0、1.125、1.25，2的所有取值為0.8、0.96、1.0、1.2、1.44.1、2的分布列分別為：10.80.91.01.1251.25P0.20.150.350.150.1520.80.961.01.21.44P0.30.20.180.240.08(2)令A(yù)、B分別表示方案一、方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量這一事件，P(A)0.150.150.3

19、，P(B)0.240.080.32.可見，方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大(3)令表示方案i的預(yù)計利潤，則1101520P0.350.350.32101520P0.50.180.32所以E(1)14.75，E(2)14.1，可見，方案一的預(yù)計利潤更大課后練習(xí)區(qū)1C由分布列性質(zhì)知：0.50.1b1，b0.4.E()4×0.5a×0.19×0.46.3.a7.2AE()np12，D()np(1p)4.1p，p，n18.3AE(X)1×0.42×0.34×0.32.2，E(5X4)5E(X)411415.4BE()1×2

20、×3×4×5×6×3.5，D()(13.5)2(23.5)2(33.5)2(43.5)2(53.5)2(63.5)2.5A對稱軸在y軸的左側(cè)(a與b同號)的拋物線有2CCC126條，的可取值有0、1、2，P(0)，P(1)，P(2)，E()0×1×2×.62解析設(shè)“？”處的數(shù)值為x，則“！”處的數(shù)值為12x，則E()1·x2×(12x)3xx24x3x2.7.解析離散型隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,4.P(Xk)akb (k1,2,3,4)，所以(ab)(2ab)(3ab)(4ab)1，即1

21、0a4b1，又X的均值E(X)3，則(ab)2(2ab)3(3ab)4(4ab)3，即30a10b3，a，b0，ab.8.解析由題意知XB，E(X)2×.9解(1)X的所有可能取值為0,1,2,3,4.(2分)P(Xi)(i0,1,2,3,4)(4分)即X01234P(6分)(2)令Y表示此員工的月工資，則Y的所有可能取值為2100，2800,3500.(8分)則P(Y3500)P(X4)，P(Y2800)P(X3)，P(Y2100)P(X2).E(Y)3 500×2 800×2 100×2 280.(10分)所以此員工月工資的期望為2280元(12分)10解(1)設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則，分別表示甲不勝A，乙不勝B，丙不勝C的事件因為P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5，由對立事件的概率公式知P()0.4，P()0.5，P()0.5.(2分)紅隊至少兩人獲勝的事件有：DE，DF，EF，DEF.由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，(4分)因此紅隊至少兩人獲勝的概率為PP(DE)P(DF)P(EF)P(DEF)0.6×0.5×0.50.6×0.5×0.50.4×0.5×0.50.6×0.5