2015高考數(shù)學(xué)（文）（等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和）一輪復(fù)習(xí)學(xué)案

1、學(xué)案29等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.4.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題自主梳理1等差數(shù)列的有關(guān)定義(1)一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第_項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的_等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列符號(hào)表示為_ (nN*，d為常數(shù))(2)數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是_，其中A叫做a，b的_2等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an_，anam_ (m，nN*)(2)前n項(xiàng)和公式：Sn_.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Snn2n.數(shù)

2、列an是等差數(shù)列的充要條件是其前n項(xiàng)和公式Sn_.4等差數(shù)列的性質(zhì)(1)若mnpq (m，n，p，qN*)，則有_，特別地，當(dāng)mn2p時(shí)，_.(2)等差數(shù)列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差數(shù)列(3)等差數(shù)列的單調(diào)性：若公差d>0，則數(shù)列為_；若d<0，則數(shù)列為_；若d0，則數(shù)列為_自我檢測1(2010·北京海淀區(qū)模擬)已知等差數(shù)列an中，a5a9a710，記Sna1a2an，則S13的值為()A130B260C156D1682等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S36，a34，則公差d等于()A1B.C2D33(2010·泰安一模)設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n

3、項(xiàng)和，若，則等于()A1B1C2D.4(2010·湖南師大附中)若等差數(shù)列an的前5項(xiàng)之和S525，且a23，則a7等于()A12B13C14D155設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S972，則a2a4a9_.探究點(diǎn)一等差數(shù)列的基本量運(yùn)算例1等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn.已知a1030，a2050，(1)求通項(xiàng)an；(2)若Sn242，求n.變式遷移1設(shè)等差數(shù)列an的公差為d (d0)，它的前10項(xiàng)和S10110，且a1，a2，a4成等比數(shù)列，求公差d和通項(xiàng)公式an.探究點(diǎn)二等差數(shù)列的判定例2已知數(shù)列an中，a1，an2 (n2，nN*)，數(shù)列bn滿足bn (nN*)(1)求證：

4、數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an中的最大值和最小值，并說明理由變式遷移2已知數(shù)列an中，a15且an2an12n1(n2且nN*)(1)求a2，a3的值(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由探究點(diǎn)三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例3若一個(gè)等差數(shù)列的前5項(xiàng)之和為34，最后5項(xiàng)之和為146，且所有項(xiàng)的和為360，求這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)變式遷移3已知數(shù)列an是等差數(shù)列(1)前四項(xiàng)和為21，末四項(xiàng)和為67，且前n項(xiàng)和為286，求n；(2)若Sn20，S2n38，求S3n；(3)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)和為44，偶數(shù)項(xiàng)和為33，求數(shù)列的中間項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)探究點(diǎn)四等差數(shù)列的綜合應(yīng)用例4(2

5、011·廈門月考)已知數(shù)列an滿足2an1anan2 (nN*)，它的前n項(xiàng)和為Sn，且a310，S672.若bnan30，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和的最小值變式遷移4在等差數(shù)列an中，a16a17a18a936，其前n項(xiàng)和為Sn.(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值時(shí)n的值(2)求Tn|a1|a2|an|.1等差數(shù)列的判斷方法有：(1)定義法：an1and (d是常數(shù))an是等差數(shù)列(2)中項(xiàng)公式：2an1anan2 (nN*)an是等差數(shù)列(3)通項(xiàng)公式：anpnq (p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式：SnAn2Bn(A、B為常數(shù))an是等差數(shù)列2對(duì)于等差數(shù)列有關(guān)計(jì)算

6、問題主要圍繞著通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，在兩個(gè)公式中共五個(gè)量a1、d、n、an、Sn，已知其中三個(gè)量可求出剩余的量，而a與d是最基本的，它可以確定等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式3要注意等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，如anam(nm)d，S2n1(2n1)an等4在遇到三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列問題時(shí)，可設(shè)三個(gè)數(shù)為a，ad，a2d；ad，a，ad；ad，ad，a3d等可視具體情況而定(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2010·重慶)在等差數(shù)列an中，a1a910，則a5的值為()A5B6C8D102(2010·全國)如果等差數(shù)列中，a3a4a512，那么

7、a1a2a7()A14B21C28D353(2010·山東濰坊五校聯(lián)合高三期中)已知an是等差數(shù)列，a19，S3S7，那么使其前n項(xiàng)和Sn最小的n是()A4B5C6D74在等差數(shù)列an中，若a4a6a8a10a12120，則a9a11的值為()A14B15C16D175等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和滿足S20S40，下列結(jié)論中正確的是()AS30是Sn中的最大值BS30是Sn中的最小值CS300DS600題號(hào)12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6(2010·遼寧)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S33，S624，則a9_.7(2009·海南，寧夏)等差數(shù)列a

8、n的前n項(xiàng)和為Sn，已知am1am1a0，S2m138，則m_.8在數(shù)列an中，若點(diǎn)(n，an)在經(jīng)過點(diǎn)(5,3)的定直線l上，則數(shù)列an的前9項(xiàng)和S9_.三、解答題(共38分)9(12分)(2011·莆田模擬)設(shè)an是一個(gè)公差為d (d0)的等差數(shù)列，它的前10項(xiàng)和S10110，且aa1a4.(1)證明：a1d；(2)求公差d的值和數(shù)列an的通項(xiàng)公式10(12分)(2010·山東)已知等差數(shù)列an滿足：a37，a5a726，an的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn (nN*)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.11(14分)(2010·廣東湛師附中第六次月

9、考)在數(shù)列an中，a11,3anan1anan10(n2)(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)；(3)若an對(duì)任意n2的整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍答案自主梳理1(1)2差an1and(2)A等差中項(xiàng)2(1)a1(n1)d(nm)d(2)na1d3.An2Bn4.(1)amanapaqaman2ap(3)遞增數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列自我檢測1A2.C3.A4.B5.24課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)等差數(shù)列an中，a1和d是兩個(gè)基本量，用它們可以表示數(shù)列中的任何一項(xiàng)，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，列方程組解a1和d，是解決等差數(shù)列問題的常用方法；(2)由a1，d，n，an，Sn這五

10、個(gè)量中的三個(gè)量可求出其余兩個(gè)量，需選用恰當(dāng)?shù)墓?，利用方程組觀點(diǎn)求解解(1)由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程組解得所以an2n10.(2)由Snna1d，Sn242. 得12n×2242.解得n11或n22(舍去)變式遷移1解由題意，知即d0，a1d.解得a1d2，an2n.例2解題導(dǎo)引1.等差數(shù)列的判定通常有兩種方法：第一種是利用定義，即anan1d(常數(shù))(n2)，第二種是利用等差中項(xiàng)，即2anan1an1 (n2)2解選擇、填空題時(shí)，亦可用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和直接判斷(1)通項(xiàng)法：若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)，即anAnB，則an是等差數(shù)列(2)前n項(xiàng)和法：

11、若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn是SnAn2Bn的形式(A，B是常數(shù))，則an為等差數(shù)列3若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說明任意連續(xù)三項(xiàng)不是等差數(shù)列即可(1)證明an2 (n2，nN*)，bn，當(dāng)n2時(shí)，bnbn11.又b1.數(shù)列bn是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)知，bnn，則an11，設(shè)函數(shù)f(x)1，易知f(x)在區(qū)間和內(nèi)為減函數(shù)當(dāng)n3時(shí)，an取得最小值1；當(dāng)n4時(shí)，an取得最大值3.變式遷移2解(1)a15，a22a122113，a32a223133.(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列設(shè)bn，由bn為等差數(shù)列，則有2b2b1b3.2×.，解得1.事實(shí)上，bn1

12、bn(an12an)1(2n11)11.綜上可知，存在實(shí)數(shù)1，使得數(shù)列為首項(xiàng)為2、公差為1的等差數(shù)列例3解題導(dǎo)引本題可運(yùn)用倒序求和的方法和等差數(shù)列的性質(zhì)：若mnpq (m，n，p，qN*)，則amanapaq，從中我們可以體會(huì)運(yùn)用性質(zhì)解決問題的方便與簡捷，應(yīng)注意運(yùn)用；也可用整體思想(把a(bǔ)1d看作整體)解方法一設(shè)此等差數(shù)列為an共n項(xiàng)，依題意有a1a2a3a4a534，anan1an2an3an4146.根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，得a5an4a4an3a3an2a2an1a1an.將兩式相加，得(a1an)(a2an1)(a3an2)(a4an3)(a5an4)5(a1an)180，a1an36.由Sn

13、360，得n20.所以該等差數(shù)列有20項(xiàng)方法二設(shè)此等差數(shù)列共有n項(xiàng)，首項(xiàng)為a1，公差為d，則S55a1d34，SnSn5na1(n5)a1d5a1(5n15)d146.兩式相加可得10a15(n1)d180，a1d18，代入Snna1dn360，得18n360，n20.所以該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為20項(xiàng)變式遷移3解(1)依題意，知a1a2a3a421，an3an2an1an67，a1a2a3a4an3an2an1an88.a1an22.Sn286，n26.(2)Sn，S2nSn，S3nS2n成等差數(shù)列，S3n3(S2nSn)54.(3)設(shè)項(xiàng)數(shù)為2n1 (nN*)，則奇數(shù)項(xiàng)有n項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有n1項(xiàng)，中間項(xiàng)為

14、an，則S奇n·an44，S偶(n1)·an33，.n4，an11.數(shù)列的中間項(xiàng)為11，項(xiàng)數(shù)為7.例4解題導(dǎo)引若an是等差數(shù)列，求前n項(xiàng)和的最值時(shí)，(1)若a1>0，d<0，且滿足，前n項(xiàng)和Sn最大；(2)若a1<0，d>0，且滿足，前n項(xiàng)和Sn最小；(3)除上面方法外，還可將an的前n項(xiàng)和的最值問題看作Sn關(guān)于n的二次函數(shù)最值問題，利用二次函數(shù)的圖象或配方法求解，注意nN*.解方法一2an1anan2，an是等差數(shù)列設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公差為d，由a310，S672，得，.an4n2.則bnan302n31.解得n.nN*，n15.bn前15項(xiàng)為負(fù)

15、值. S15最小可知b129，d2，S15225.方法二同方法一求出bn2n31.Snn230n(n15)2225，當(dāng)n15時(shí)，Sn有最小值，且最小值為225.變式遷移4解(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，a16a17a183a1736，a1712，d3，ana9(n9)·d3n63，an13n60，令，得20n21，S20S21630，n20或21時(shí)，Sn最小且最小值為630.(2)由(1)知前20項(xiàng)小于零，第21項(xiàng)等于0，以后各項(xiàng)均為正數(shù)當(dāng)n21時(shí)，TnSnn2n.當(dāng)n>21時(shí)，TnSn2S21n2n1 260.綜上，Tn.課后練習(xí)區(qū)1A2.C3.B4.C5.D6157.108.279(1)證明an是等差數(shù)列，a2a1d，a4a13d，又aa1a4，于是(a1d)2a1(a13d)，即a2a1dd2a3a1d (d0)化簡得a1d.(6分)(2)解由條件S10110和S1010a1d，得到10a145d110.由(1)知，a1d，代入上式得55d110，故d2，ana1(n1)d2n.因此，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n，nN*.(12分)10解(1)設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，由于a37，a5a726，所以a12d7,2a110d26，解得a13，d2.(4分)由于ana1(n1)d，Sn，所以an2n1，Snn(n2)(6分)