2013年(全國卷II)(含答案)高考理科數(shù)學

1、2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（2新課標卷）數(shù)學(理)試題一、選擇題 ( 本大題 共 12 題, 共計 60 分)1已知集合Mx|(x1)24，xR，N1,0,1,2,3，則MN()A0,1,2 B1,0,1,2C1,0,2,3 D0,1,2,32設復數(shù)z滿足(1i)z2i，則z()A1i B1i C1i D1i3等比數(shù)列an的前n項和為Sn.已知S3a210a1，a59，則a1()A B C D4已知m，n為異面直線，m平面，n平面.直線l滿足lm，ln，l，l，則()A且lB且lC與相交，且交線垂直于lD與相交，且交線平行于l5已知(1ax)(1x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a

2、()A4 B3 C2 D16執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的N10，那么輸出的S()A BCD7一個四面體的頂點在空間直角坐標系Oxyz中的坐標分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為()8設alog36，blog510，clog714，則()Acba BbcaCacb Dabc9已知a0，x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a()A B C1 D210已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，下列結(jié)論中錯誤的是()Ax0R，f(x0)0B函數(shù)yf(x)的圖像是中心對稱圖形C若x0是f(x)的極

3、小值點，則f(x)在區(qū)間(，x0)單調(diào)遞減D若x0是f(x)的極值點，則f(x0)011設拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，點M在C上，|MF|5，若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為()Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x12已知點A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線yaxb(a0)將ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是()A(0,1) BC D二、填空題：本大題共4小題，每小題5分13已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則_.14從n個正整數(shù)1,2，n中任意取出兩個不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于

4、5的概率為，則n_.15設為第二象限角，若，則sin cos _.16等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S100，S1525，則nSn的最小值為_三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17 (本小題滿分12分)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面積的最大值18 (本小題滿分12分)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1ACCB.(1)證明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值19 (本小題滿分12分)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1 t該

5、產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農(nóng)產(chǎn)品以X(單位：t,100X150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量X100,110)，則取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的頻率)，求T的數(shù)學

6、期望20 (本小題滿分12分)平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：(ab0)右焦點的直線交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為.(1)求M的方程；(2)C，D為M上兩點，若四邊形ACBD的對角線CDAB，求四邊形ACBD面積的最大值21 (本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)exln(xm)(1)設x0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當m2時，證明f(x)0.22 (本小題滿分10分)選修41：幾何證明選講如圖，CD為ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點，且BCAEDCAF，B，E，F(xiàn)，C四點共圓(1)證明：CA是AB

7、C外接圓的直徑；(2)若DBBEEA，求過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與ABC外接圓面積的比值23 (本小題滿分10分)選修44：坐標系與參數(shù)方程已知動點P，Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對應參數(shù)分別為t與t2(02)，M為PQ的中點(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；(2)將M到坐標原點的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標原點24 (本小題滿分10分)選修45：不等式選講設a，b，c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbcac；(2).2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（2新課標卷）數(shù)學(理)試題答案解析:一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是

8、符合題目要求的1答案：A解析：解不等式(x1)24，得1x3，即Mx|1x3而N1,0,1,2,3，所以MN0,1,2，故選A.2答案：A解析：1i.3答案：C解析：設數(shù)列an的公比為q，若q1，則由a59，得a19，此時S327，而a210a199，不滿足題意，因此q1.q1時，S3a1q10a1，q10，整理得q29.a5a1q49，即81a19，a1.4答案：D解析：因為m，lm，l，所以l.同理可得l.又因為m，n為異面直線，所以與相交，且l平行于它們的交線故選D.5答案：D解析：因為(1x)5的二項展開式的通項為(0r5，rZ)，則含x2的項為ax(105a)x2，所以105a5，a

9、1.6答案：B解析：由程序框圖知，當k1，S0，T1時，T1，S1；當k2時，；當k3時，；當k4時，；當k10時，k增加1變?yōu)?1，滿足kN，輸出S，所以B正確7答案：A解析：如圖所示，該四面體在空間直角坐標系Oxyz的圖像為下圖：則它在平面zOx上的投影即正視圖為，故選A.8答案：D解析：根據(jù)公式變形，因為lg 7lg 5lg 3，所以，即cba.故選D.9答案：B解析：由題意作出所表示的區(qū)域如圖陰影部分所示，作直線2xy1，因為直線2xy1與直線x1的交點坐標為(1，1)，結(jié)合題意知直線ya(x3)過點(1，1)，代入得，所以.10答案：C解析：x0是f(x)的極小值點，則yf(x)的圖

10、像大致如下圖所示，則在(，x0)上不單調(diào)，故C不正確11答案：C解析：設點M的坐標為(x0，y0)，由拋物線的定義，得|MF|x05，則x05.又點F的坐標為，所以以MF為直徑的圓的方程為(xx0)(yy0)y0.將x0，y2代入得px084y00，即4y080，所以y04.由2px0，得，解之得p2，或p8.所以C的方程為y24x或y216x.故選C.12答案：B解析：情形1：直線y = ax +b與AC、BC相交時，如圖所示，設MC = m, NC = n, 由條件知SMNC = mn = 1顯然0 n m = 又知0 m , mn所以m 且m 1D到AC、BC的距離為t, 則+ = +

11、= 1 t = = m + f (m) = m + (m 且m 1)的值域為(2, 2 t 因為b =1-CD =1-t ，所以1- b情形2：直線y = ax +b與AB、BC相交時，如圖所示，易求得xM= -, yN= ,由條件知(1+ ) = 1= aM在線段OA上0 1 0 a bN在線段BC上0 1 b 1解不等式：0 b得 b 綜上：1- b 第卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分13答案：2解析：以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則點A的坐標為(0,0)，點B的坐標為(2,0)，點D的坐標為(0,2)，點E的坐標為(1,2)，則(1,2)，

12、(2,2)，所以.14答案：8解析：從1,2，n中任取兩個不同的數(shù)共有種取法，兩數(shù)之和為5的有(1,4)，(2,3)2種，所以，即，解得n8.15答案：解析：由，得tan ，即sin cos .將其代入sin2cos21，得.因為為第二象限角，所以cos ，sin ，sin cos .16答案：49解析：設數(shù)列an的首項為a1，公差為d，則S1010a145d0，S1515a1105d25.聯(lián)立，得a13，所以Sn.令f(n)nSn，則，.令f(n)0，得n0或.當時，f(n)0,時，f(n)0，所以當時，f(n)取最小值，而nN，則f(6)48，f(7)49，所以當n7時，f(n)取最小值4

13、9.三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17解：(1)由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由，和C(0，)得sin Bcos B，又B(0，)，所以.(2)ABC的面積.由已知及余弦定理得4a2c2.又a2c22ac，故，當且僅當ac時，等號成立因此ABC面積的最大值為.18解：(1)連結(jié)AC1交A1C于點F，則F為AC1中點又D是AB中點，連結(jié)DF，則BC1DF.因為DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)由ACCB得，ACBC.以C為坐標

14、原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.設CA2，則D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)設n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，則即可取n(1，1，1)同理，設m是平面A1CE的法向量，則可取m(2,1，2)從而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值為.19解：(1)當X100,130)時，T500X300(130X)800X39 000，當X130,150時，T50013065 000.所以(2)由(1)知利潤T不少于57 000元當且僅當120X150.由直方圖知需求量X12

15、0,150的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以ET45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.20解：(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則，由此可得.因為x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由題意知，M的右焦點為(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程為.(2)由解得或因此|AB|.由題意可設直線CD的方程為y，設C(x3，y3)，D(x

16、4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因為直線CD的斜率為1，所以|CD|.由已知，四邊形ACBD的面積.當n0時，S取得最大值，最大值為.所以四邊形ACBD面積的最大值為.21解：(1)f(x).由x0是f(x)的極值點得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定義域為(1，)，f(x).函數(shù)f(x)在(1，)單調(diào)遞增，且f(0)0.因此當x(1,0)時，f(x)0；當x(0，)時，f(x)0.所以f(x)在(1,0)單調(diào)遞減，在(0，)單調(diào)遞增(2)當m2，x(m，)時，ln(xm)ln(x2)，故只需證明當m2時，f(x)0.當m2時，函數(shù)f(x)在(2，)單調(diào)

17、遞增又f(1)0，f(0)0，故f(x)0在(2，)有唯一實根x0，且x0(1,0)當x(2，x0)時，f(x)0；當x(x0，)時，f(x)0，從而當xx0時，f(x)取得最小值由f(x0)0得，ln(x02)x0，故f(x)f(x0)x00.綜上，當m2時，f(x)0.請考生在第22、23、24題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題號22解：(1)因為CD為ABC外接圓的切線，所以DCBA，由題設知，故CDBAEF，所以DBCEFA.因為B，E，F(xiàn)，C四點共圓，所以CFEDBC，故EFACFE90.所以CBA90，因此CA是ABC外接圓的直徑(2)連結(jié)CE，因為CBE90，所以過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的直徑為CE，由DBBE，有CEDC，又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而DC2DBDA3DB2，故過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與ABC外接圓面積的比值為.23解：(1)依題意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù)，02)(2)M點到坐標原點的距