不動點定理及其應(yīng)用高考

1、摘要本文首先介紹Banach空間中的不動點定理、在其他線性拓撲空間中不動點定理的一維推廣形式、在一般完備度量空間上的推廣形式. 其次,通過分析近幾年全國各地高考數(shù)學(xué)卷中一些試題特點,總結(jié)了利用不動點定理求解有關(guān)數(shù)列的問題.其中包括數(shù)列通項、數(shù)列的有界性問題.最后介紹了不動點定理中的吸引不動點和排斥不動點在討論數(shù)列的單調(diào)性及收斂性方面的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 ：Banach不動點定理,數(shù)列通項，有界性，單調(diào)性，收斂性.AbstractThis article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimension

2、al extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing the characteristics of tests emerged on math papers of all parts of our country r

3、ecent years, including the problem of general term and boundedness of a sequence of number. At last, attractive fix point and rejection fix point in Fixpoint Theorem were introduced which can solve the problem about the monotonicity and astringency of sequence of number.撤消修改Keywords:Banach fixed poi

4、nt theorem,Sequence, Boundedness, Monotonicity Convergence.目錄第1章緒論11.1導(dǎo)論11.1.1 選題背景11.1.2 選題意義21.1.3 課題研究內(nèi)容21.2 研究現(xiàn)狀21.3本章小結(jié)3第2章不動點定理42.1 有關(guān)概念42.2 不動點定理和幾種推廣形式42.3本章小結(jié)7第3章 不動點定理在數(shù)列中的應(yīng)用83.1 求數(shù)列的通項公式83.2 數(shù)列的有界性93.3 數(shù)列的單調(diào)性及收斂性113.3.1數(shù)列的單調(diào)性、收斂性的重要結(jié)論113.3.2數(shù)列的單調(diào)性、收斂性的證明143.4本章小結(jié)17第6章 結(jié)束語18參考文獻19第1章 緒論1.1

5、導(dǎo)論不動點理論的研究興起于20世紀初,荷蘭數(shù)學(xué)家布勞維在1909年創(chuàng)立了不動點理論1在此基礎(chǔ)上，不動點定理有了進一步的發(fā)展，并產(chǎn)生了用迭代法求不動點的迭代思想美國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在1923年發(fā)現(xiàn)了更為深刻的不動點理論，稱為萊布尼茨不動點理論21927年，丹麥數(shù)學(xué)家尼爾森研究不動點個數(shù)問題，并提出了尼爾森數(shù)的概念3我國數(shù)學(xué)家江澤涵、姜伯駒、石根華等人則大大推廣了可計算尼森數(shù)的情形，并得出了萊布尼茨不動點理論的逆定理4不動點理論一個發(fā)展方向是只限于歐氏空間多面體5上的映射,不動點理論的另一個發(fā)展方向是不限于歐氏空間中多面體上的映射，而考察一般的距離空間或線性拓撲空間上的不動點問題最后給出結(jié)果的是波蘭

6、數(shù)學(xué)家巴拿赫(Bananch)6，他于1922年提出的壓縮映像原理發(fā)展了迭代思想，并給出了Banach不動點定理6這一定理有著及其廣泛的應(yīng)用，像代數(shù)方程、微分方程、積分方程、隱函數(shù)理論等中的許多存在性與唯一性問題均可以歸結(jié)為此定理的推論1.1.1 選題背景不動點定理在微分方程、函數(shù)方程、動力系統(tǒng)理論等中有極為廣泛的應(yīng)用.函數(shù)的"不動點"理論雖然不是中學(xué)教材的必修內(nèi)容，但是它的存在確實使一些數(shù)學(xué)問題在無法想象中得到了解決.已知遞推公式求其數(shù)列通項，數(shù)列有界性、數(shù)列的單調(diào)性及收斂性等，歷來是高考的重點和熱點題型，對那些已知遞推關(guān)系但又難求通項的數(shù)列綜合問題，充分運用函數(shù)的相關(guān)性

7、質(zhì)是解決這類問題的著手點和關(guān)鍵因此，它就自然成為各類數(shù)學(xué)競賽和選擇性考試必選的內(nèi)容之一，尤其在近年的高考中對該定理的應(yīng)用越來越頻繁.1.1.2 選題意義利用“不動點”法巧解高考題 ，遞推公式求數(shù)列的通項，證明數(shù)列的有界性、數(shù)列的單調(diào)性及收斂性等，歷來是高考的重點和熱點題型，那些已知遞推關(guān)系但又難求通項的數(shù)列綜合問題，充分運用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解決這類問題的著手點和關(guān)鍵與遞推關(guān)系對應(yīng)的函數(shù)的“不動點”決定著遞推數(shù)列的增減情況，因此本文對函數(shù)“不動點”問題的研究結(jié)果，來簡化求數(shù)列的通項公式、數(shù)列的有界性、數(shù)列的單調(diào)性及收斂性等問題具有指導(dǎo)意義和理論意義.1.1.3 課題研究內(nèi)容本文通過介紹不動點定理

8、的證明，不動點定理的迭代思想和不動點定理的推論，研究了以下的內(nèi)容：利用不動點定理的迭代思想，簡化求遞推數(shù)列的通項問題.以不動點定理為指導(dǎo)思想，證明數(shù)列的有界性.利用不動點及特征函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列的單調(diào)性及收斂性，并借此解決一些高考題1.2研究現(xiàn)狀不動點理論一直是一個既比較古老的問題，又比較有新生命力的領(lǐng)域，它的歷史悠久，卻又是近現(xiàn)代一個發(fā)展較快的理論定理.自不動點理論問世以來，特別是最近的二三十年來，由于學(xué)術(shù)上的不斷發(fā)展和數(shù)學(xué)工作者的不懈努力，這門學(xué)科的理論及應(yīng)用的研究已經(jīng)取得了重要的進展，不斷有新的不動點理論研究成果涌現(xiàn)，并日臻完善.不動點的有關(guān)理論是泛函分析中最重要的原理之一，它依據(jù)于著名

9、的巴拿赫（Banach）壓縮映射定理，如今已廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)分析的各個方面.許多著名的數(shù)學(xué)家為不動點理論的證明及應(yīng)用作出了貢獻.例如，荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾在1910年發(fā)表的關(guān)于流形的映射2一文中就證明了經(jīng)典的不動點定理的一維形式.即,設(shè)連續(xù)函數(shù)把單位閉區(qū)間映到中，則有，使.波利亞曾經(jīng)說過：“在問題解決中，如果你不能解答所提的問題，那么就去考慮一個適當(dāng)?shù)呐c之相關(guān)聯(lián)的輔助問題”.“不動點”就是一個有效的可供選擇的輔助問題.近年來，有不少人研究中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及到的不動點問題，將拓撲學(xué)不動點定理的一些基本思想，采用通俗易懂的語言和形象生動的例子運用到初等數(shù)學(xué)中去，擴大中學(xué)生的知識領(lǐng)域，加深中學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

10、知識的掌握.在中學(xué)中，不動點有關(guān)知識常常用來解決一些初等數(shù)學(xué)中的問題，例如以“不動點”為載體、將函數(shù)、數(shù)列、不等式、方程以及解析幾何等知識有機地交匯在一起的數(shù)學(xué)問題，從而體現(xiàn)了用不動點有關(guān)知識來求解這些問題有時是非常簡單和巧妙的.1.3 本章小結(jié)本章介紹了選題的背景和意義，并對課題的要求和研究內(nèi)容作了分析，對不動點定理的現(xiàn)況作了概要性的說明，是不動點定理及其應(yīng)用的前期研究基礎(chǔ).第2章 不動點定理2.1 有關(guān)概念函數(shù)的不動點，在數(shù)學(xué)中是指被這個函數(shù)映射到其自身的一個點，即函數(shù)的取值過程中，如果有,使.就稱為的一個不動點對此定義，有兩方面的理解：代數(shù)意義：若方程有實數(shù)根，則有不動點幾何意義：若函數(shù)

11、與有交點，則為的不動點為了介紹不動點的一般概念，本文先介紹以下相關(guān)概念.定義17度量空間: 設(shè)是一個集合，.如果對于任何，有（正定性）,并且當(dāng)且僅當(dāng)；（對稱性）；（三角不等式），則稱是集合的一個度量,偶對是一個度量空間.定義27壓縮映射：給定如果對于映射:存在常數(shù),使得，則稱是一個壓縮映射.定義37Cauchy 列 ：給定,若對任取的,有自然數(shù)使對,都成立則稱序列是Cauchy列.定義47完備度量空間：給定，若中任一Cauchy 列都收斂,則稱它是完備的.定義58不動點：給定度量空間及 的映射如果存在使 則稱為映射的不動點.定義69凸集：設(shè)是維歐式空間的一點集，若任意的兩點的連線上的所有的點;

12、則稱為凸集.2.2 不動點定理和幾種推廣形式不動點理論是關(guān)于方程的一種一般理論.數(shù)學(xué)里到處要解方程，諸如代數(shù)方程、微分方程、函數(shù)方程等，種類繁多，形式各異，但是它們常能改寫成的形狀這里的是某個適當(dāng)?shù)目臻g中的點，是到的一個映射，把每個移到.方程的解恰好就是在這個映射下被留在原地不動的點，故稱不動點，于是解方程的問題就是化成了找不動點的這個幾何問題，不動點理論就是研究不動點的有無、個數(shù)性質(zhì)與方法.首先,本文介紹Banach 不動點定理的證明定理l （Banach 不動點定理 壓縮映射原理10）設(shè)是一個完備的度量空間是到其自身的一個壓縮映射,則在中存在惟一的不動點.證明 首先,證明存在不動點取定以遞

13、推形式 確定一序列是Cauchy 列.事實上，由任取自然數(shù),不妨設(shè)那么從而知 是一Canchy 列,故存在使且是的不動點,因為故,即,所以是的不動點.其次,下證不動點的惟一性設(shè)有兩個不動點,那么由及有 設(shè),則,得到矛盾，從而，唯一性證畢.作為Brouwer不動點定理從有限維到無窮維空間的推廣，1927年Schauder證明了下面不動點定理，我們稱其為Sehauder不動點定理I：定理2設(shè)是Banach空間，為中非空緊凸集，是連續(xù)自映射，則在中必有不動點.Sehauder不動點定理的另一表述形式是將映射的條件加強為緊映射(即對任意，是緊的)，這時映射的定義域可不必是緊集，甚至不必是閉集，有下面定

14、理，我們稱其為Schauder不動點定理II：定理3設(shè)E是Banach空間，為中非空凸集，是緊的連續(xù)自映射，則在中必有不動點.定義6設(shè)是線性拓撲空間，如果中存在由凸集組成的零鄰域基，則稱是局部凸的線性拓撲空間，簡稱局部凸空間.1935年，Tyehonoff進一步將Sehauder不動點定理I推廣到局部凸線性拓撲空間，得到了下面的不動點定理，我們稱其為Tyehonoff不動點定理：定理4設(shè)是局部凸線性拓撲空間，是其中的非空緊凸集，是連續(xù)自映射，則必有不動點，即存在，使得.1950年，Hukuhara將Schauder不動點定理II與Tyehonoff不動點定理結(jié)合起來得到下面的定理，我們稱其為S

15、ehauder-Tychonoff不動點定理：定理5 設(shè)是局部凸線性拓撲空間，是其中的非空凸集，是緊連續(xù)自映射，則必有不動點，即存在，使得.從20世紀30年代起，人們開始關(guān)注集值映射的不動點問題.所謂集值映射的不動點，定義如下：定義7設(shè)是拓撲空間，是集值映射，其中表示的所有非空子集的集合.若存在，使，則稱是的不動點.1941年，kllcIltani把Bmuwer不動點定理推廣到集值映射的情形，得到下面的不動點定理，我們稱其為Kakutani不動點定理：定理6設(shè)是凸緊集，且是具閉凸值的上半連續(xù)集值映射，則必有不動點.1950年，Botmenblust，Karlin把Sehauder不動點定理I推

16、廣到集值映射的情形：定理7 設(shè)是Banach空間，是中的非空緊凸集，是具有閉凸值的上半連續(xù)集值映射，則必有不動點.1952年，F(xiàn)an，Glicksberg分別把Tyehonoff不動點定理推廣到集值映射的情形，成為Kakutani-Fan-Glicksberg不動點定理或K-FG不動點定理.即：定理8 設(shè)是局部凸的Hausdorff線性拓撲空間，是中的非空緊凸集，是具有閉凸值的上半連續(xù)集值映射，則必有不動點.1968年，Browder又證明了另一種形式的關(guān)于集值映射的不動點定理，本文稱此定理為Fan-Browder不動點定理：定理9 設(shè)是Hausdorff線性拓撲空間E中的非空凸緊子集，集值映

17、射滿足：(1)對任意，是中的非空凸集(2)對任意是Z中的開集則存在，使.本章小結(jié) 本章詳細介紹了Banach 不動點定理及其證明，概況了對不動點定理的幾種推廣形式.第3章 不動點定理在數(shù)列中的應(yīng)用 在高考試題中，數(shù)列向所對應(yīng)函數(shù)的不動點收斂的問題，?？梢杂脝握{(diào)性結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的方法來解決“不動點”問題雖不是高考大綱的要求，但在函數(shù)迭代、力程、數(shù)列、解析幾何中都有重要的價值和應(yīng)用，在歷年的高考中也經(jīng)?？吹健安粍狱c”的影子以全國卷I為例，2007年，2008年、2010年高考的壓軸題都是可以用“不動點”的方法比較容易地去解決用“不動點”的方法在學(xué)生平時解題中主要是求數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性、有

18、界性及收斂性等.3.1求數(shù)列的通項公式定理10已知數(shù)列滿足 ,其中，設(shè)是唯一的不動點，則數(shù)列是一個等差數(shù)列.證明 因為是唯一的不動點，所以是方程，亦即是一元二次方程的唯一解.得所以 把 代入上式，得: 令 ，可得數(shù)列是一個等差數(shù)列.在初等數(shù)學(xué)中經(jīng)常會遇到求這類問題，已知數(shù)列的首項，數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項，這類問題往往難度很大，通過不定點定理，大大降低了此類問題的難度.例1 若（，且）求數(shù)列的通項公式.解 根據(jù)迭代數(shù)列，構(gòu)造函數(shù)，易知有唯一的不動點，根據(jù)定理 可知，則即數(shù)列是以首項，公差為的等差數(shù)列.則對應(yīng)的通項公式為解得又也滿足上式.所以的通項公式為.對于此類形式的數(shù)列，已知數(shù)列滿足 ,

19、其中，求其通項.運用不動點定理，可以簡單快捷地解答.即數(shù)列是以首項，公差為的等差數(shù)列.推論 已知數(shù)列滿足 ,其中，設(shè)是唯一的不動點，則數(shù)列是一個公比為等比數(shù)列例2 若，（，且），求數(shù)列的通項公式.解 根據(jù)迭代數(shù)列，構(gòu)造函數(shù)，易知有唯一的不動點，根據(jù)推論 可知，則所以所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則當(dāng)時，有，故又也滿足上式.所以的通項公式為.在高中階段，學(xué)生在學(xué)習(xí)了數(shù)列之后，經(jīng)常會遇到已知及遞推公式，求數(shù)列的通項公式的問題，很多的題目令人感到非常棘手.而不動點定理給出了一個“公式”性的方法不動點法，應(yīng)用此法可巧妙地處理此類問題.3.2 數(shù)列的有界性在高考中會經(jīng)常出現(xiàn)證明數(shù)列有界性的問題，不等

20、式問題是高考中的一個難點，數(shù)列與不等式結(jié)合，使得這類問題更加的棘手了，而不動點定理卻給了我們思想上的一個指導(dǎo)，即解決這類問題，我們可以先求出不動點，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.例3(2008年全國II)函數(shù).數(shù)列滿足證明:分析 函數(shù)的不動點是顯然此題就是要證明數(shù)列向不動點收斂證明 當(dāng)時，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；又，所以；假設(shè)時有，因為是增函數(shù)，所以，即，當(dāng)時結(jié)論也成立故原不等式成立這類問題可以以各種類型的函數(shù)與數(shù)列為載體考查導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、方程的根等問題對學(xué)生綜合能力有較高的要求，在2010年的高考中此類問題進一步拓展，又有了一些新變化：利用數(shù)列的有界性求含參數(shù)列中參數(shù)的取值范圍.例4（2010年全國I

21、)已知數(shù)列中，求使不等式成立的的取值范圍.解:該數(shù)列應(yīng)該是向其某個不動點收斂.不妨設(shè)該不動點為，則有，即方程在有一個實根我們繼續(xù)用不動點的思路方法解決該問題.因為對任意自然數(shù)都成立，所以首先應(yīng)有，可得 設(shè)，則是增函數(shù)，.令，即.當(dāng)時，該方程有2個不等的實數(shù)根設(shè)為，由韋達定理，可知只要讓即可.令.即當(dāng)時，在上存在不動點(就是)所以的取取范圍是.再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論的正確性：因為且在是增函數(shù)，所以當(dāng)時，有.假設(shè)時，有因為是增函數(shù)，故，即，當(dāng)時結(jié)論也成立，所以當(dāng)?shù)娜≈捣秶菚r，有在區(qū)間內(nèi)的不動點，數(shù)列單調(diào)遞增向該不動點收斂.3.3 數(shù)列的單調(diào)性及收斂性近幾年一些地區(qū)高考試題對利用不動點解決遞推數(shù)列

22、的問題比較青睞，如求數(shù)列的通項公式，利用不動點研究數(shù)列的單調(diào)性等等下文利用不動點及特征函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列的單調(diào)性及收斂性，并借此解決一些高考題3.3.1 關(guān)于數(shù)列單調(diào)性、收斂性的重要結(jié)論定義8 設(shè)，其中是的一個區(qū)間，數(shù)列由和遞推關(guān)系來定義.則數(shù)列稱為遞推數(shù)列.稱為數(shù)列的特征函數(shù)，稱為數(shù)列的特征方程，稱為初始值.若設(shè)是連續(xù)的，若收斂而且有極限，.因此問題就變?yōu)閷ふ曳匠?解(即的不動點)，并驗證數(shù)列是不是收斂于數(shù) 定理11設(shè)是定義在上的一個壓縮映射，則由任何初始值和遞推數(shù)列 ，生成的數(shù)列收斂證明：由于是上的一個壓縮映射，故，則，且，使得，有于是，（不妨設(shè) )，只要取，都有根據(jù)Cauchy收斂準則，

23、收斂證畢定義9 在不動點處，若，則稱為的吸引不動點；若，則稱為的排斥不動點定理12若是定義在上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，是吸引不動點，則存在的鄰域區(qū)間 ，對一切 ，都有且這里的記號.證明：因為連續(xù)可導(dǎo)，又，則這樣的區(qū)間 顯然存在對任意一點，在為端點的閉區(qū)間上，由拉格朗日中值定理得所以， 由定理1可得數(shù)列收斂，且證畢定理表明吸引不動點在迭代過程中，可以吸引周邊的點下面研究數(shù)列將以何種方式收斂于.定理13 若是定義在上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，只有一個不動點 ，且為吸引不動點，初始值,遞推數(shù)列，則(1)當(dāng)在上遞增時，則數(shù)列單調(diào)且收斂于；(2)當(dāng)在上遞減時，則的兩個子列的和一遞增一遞減，且收斂于證明：(1)當(dāng)在上遞增時

24、，若，則由數(shù)學(xué)歸納法可證明，遞增；若，則由數(shù)學(xué)歸納法可證明 ，遞減(2)當(dāng)在上遞減時，此時復(fù)合函數(shù)遞增，而子數(shù)列和中有一個遞增，另一個遞減若，用數(shù)學(xué)歸納法可證明單調(diào)遞增事實上，若 ，則 ，由此可得單調(diào)遞減；若，證明類似證畢定理14若是定義在上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，有且只有兩個不動點且，異于的初始值，遞推數(shù)列則兩個不動點至多只有一個吸引不動點證明：設(shè)函數(shù)，則.假設(shè)兩個不動點同為吸引不動點，則從而.又，可得,使得，則，同理 ，使得由連續(xù)及零點存在定理，得在區(qū)間上必有一個零點這與僅有兩個零點矛盾因此假設(shè)不成立，則兩個不動點 ，至多一個為吸引不動點證畢定理15若是定義在上的連續(xù)可導(dǎo)的凸函數(shù)，有且只有兩個不動

25、點，且，中有一個吸引不動點，異于的初始值，遞推數(shù)列 ，則為吸引不動點，為排斥不動點，且當(dāng)<O時，單調(diào)遞增且收斂于；當(dāng)時，單調(diào)遞減且收斂于；當(dāng) 時，單調(diào)遞增且不收斂；證明：由為凸函數(shù)，可得為增函數(shù)由且中有一個吸引不動點及定理4得，即為吸引不動點，為排斥不動點構(gòu)造函數(shù)，則為增函數(shù)且于是，使得，于是在上遞減，在上遞增下面分四種情況進行說明：(1)當(dāng)時，即，所以，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法易證單調(diào)遞增且收斂于；(2)當(dāng)時，即，所以，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法易證單調(diào)遞減且收斂于；(3)當(dāng)時，即所以，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法易證單調(diào)遞減且收斂于；(4)當(dāng)時，即，所以，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法易證單調(diào)遞增且不收斂綜上，當(dāng)時，單調(diào)遞增且不收斂；

26、當(dāng)時，單調(diào)遞減且收斂于；當(dāng)時，單調(diào)遞增且收斂于 證畢定理表明初始值也將影響數(shù)列收斂與否、以何種方式收斂于.3.3.2 數(shù)列的單調(diào)性、收斂性的證明當(dāng)初始值與特征函數(shù)都確定的情況下，主要判斷特征函數(shù)的單調(diào)性，及不動點是否為吸引不動點，借助定理13可以解決例5 (2007廣東理)已知函數(shù),是方程的兩個根() ,是的導(dǎo)數(shù)設(shè).(1)求的值；(2)證明：對任意的正整數(shù),都有；(3)略解：(1)易得.(2)，則，特征函數(shù)，特征方程 ， 即，于是不動點，,可得 均為吸引不動點又,當(dāng) ,由定理13可得數(shù)列單調(diào)遞減，且.本題的背景是牛頓切線法求方程的近似解.本題特征函數(shù)在定義域上不連續(xù)，有兩個吸引不動點由于初始值

27、且不動點的導(dǎo)數(shù)值恰為，使得時恒有，使問題簡單化例6(2009陜西22)已知數(shù)列滿足，.猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(2)略解：由 得特征函數(shù),在、上分別單調(diào)遞減由特征方程得不動點 .由于，則，可得 為排斥不動點，為吸引不動點由在上單調(diào)遞減，又且 由定理13得數(shù)列的兩個子列單調(diào)遞增，單調(diào)遞減由于特征函數(shù)在上單調(diào)遞減，結(jié)合定理13，可得如下結(jié)論：當(dāng)時，可得，數(shù)列單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；當(dāng)時，數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)時，可得，數(shù)列單調(diào)遞減，單調(diào)遞增 當(dāng)初始值或特征函數(shù)中出現(xiàn)未知量或參數(shù)時，難度有所增加，考慮降低難度要求的需要，高考題給出的特征函數(shù)一般為凹或凸函數(shù)，此時主要結(jié)合定理15進行判斷即可例7(20

28、09安徽21)首項為正數(shù)的數(shù)列滿足 (I)略；(II)若對一切nN ，都有，求的取值范圍.解：（II）記，則，于是為凸函數(shù).令得不動點.由對一切，都有，得數(shù)列為遞增，根據(jù)定理15得，或，又，所以的取值范圍或本題已知數(shù)列的單調(diào)性，求首項的取值范圍，利用不動點定理可以證明數(shù)列的單調(diào)性及收斂性，所以此題是對數(shù)列單調(diào)性及收斂性的逆向考查，是高考中的難題，繼續(xù)采用不動點定理的思想，根據(jù)定理15可以很簡單快捷地求出首項的取值范圍，有別出心裁的效果.3.4 本章小結(jié)本章詳細研究了利用不動點定理解決求數(shù)列通項，數(shù)列有界性，數(shù)列的單調(diào)性及收斂性問題，對這類問題的解決方法做了簡單的概括.第6章 結(jié)束語本次的畢業(yè)論

29、文創(chuàng)作過程是對大學(xué)四年學(xué)習(xí)的一個總結(jié).在歷時將近半年的時間里，我通過到圖書館翻閱資料，上網(wǎng)，質(zhì)詢指導(dǎo)老師，收集了足夠的質(zhì)料，按照指導(dǎo)老師提供的要求按時完成了我的論文.通過撰寫畢業(yè)論文，對不動點定理有了自己的認識和進一步的理解.不動點定理雖然是拓撲學(xué)中的一個著名的定理，但它在初等數(shù)學(xué)中也有極其廣泛的運用，運用不動點定理可以簡單快捷地解決初等數(shù)學(xué)中的一些問題，例如本文中提到的求數(shù)列通項、數(shù)列的有界性問題，數(shù)列的單調(diào)性及收斂性方面的問題；當(dāng)然本文所涉及的不動點定理的應(yīng)用不是很全面,還有很多方面的內(nèi)容沒有涉及.本次畢業(yè)論文，我按照老師的要求完成了大部分論文的內(nèi)容.不動點定理，我論文中有了詳細的說明，不動點定理在數(shù)列中的應(yīng)用文中也作了詳細的分析.這次畢業(yè)論文讓我在數(shù)學(xué)理論知識應(yīng)用上成熟了很多，是大學(xué)四年學(xué)習(xí)的總結(jié)，也是今后工作的寶貴經(jīng)驗和財富. 隨著全國教育體系的逐步完善，我相信數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)深度將進一步提高，我希望本論文對讀者了解不動點定理及其在數(shù)列中的應(yīng)用有所幫助.參考文獻1 CLARKSON J AUniformly Convex SpacesJTransAmerMathSoc,1936,40(3)：3964142CLARKSON