不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用高考

1、摘要本文首先介紹Banach空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理、在其他線性拓?fù)淇臻g中不動(dòng)點(diǎn)定理的一維推廣形式、在一般完備度量空間上的推廣形式. 其次,通過(guò)分析近幾年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)卷中一些試題特點(diǎn),總結(jié)了利用不動(dòng)點(diǎn)定理求解有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題.其中包括數(shù)列通項(xiàng)、數(shù)列的有界性問(wèn)題.最后介紹了不動(dòng)點(diǎn)定理中的吸引不動(dòng)點(diǎn)和排斥不動(dòng)點(diǎn)在討論數(shù)列的單調(diào)性及收斂性方面的應(yīng)用.關(guān)鍵詞 ：Banach不動(dòng)點(diǎn)定理,數(shù)列通項(xiàng)，有界性，單調(diào)性，收斂性.AbstractThis article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimension

2、al extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing the characteristics of tests emerged on math papers of all parts of our country r

3、ecent years, including the problem of general term and boundedness of a sequence of number. At last, attractive fix point and rejection fix point in Fixpoint Theorem were introduced which can solve the problem about the monotonicity and astringency of sequence of number.撤消修改Keywords:Banach fixed poi

4、nt theorem,Sequence, Boundedness, Monotonicity Convergence.目錄第1章緒論11.1導(dǎo)論11.1.1 選題背景11.1.2 選題意義21.1.3 課題研究?jī)?nèi)容21.2 研究現(xiàn)狀21.3本章小結(jié)3第2章不動(dòng)點(diǎn)定理42.1 有關(guān)概念42.2 不動(dòng)點(diǎn)定理和幾種推廣形式42.3本章小結(jié)7第3章 不動(dòng)點(diǎn)定理在數(shù)列中的應(yīng)用83.1 求數(shù)列的通項(xiàng)公式83.2 數(shù)列的有界性93.3 數(shù)列的單調(diào)性及收斂性113.3.1數(shù)列的單調(diào)性、收斂性的重要結(jié)論113.3.2數(shù)列的單調(diào)性、收斂性的證明143.4本章小結(jié)17第6章 結(jié)束語(yǔ)18參考文獻(xiàn)19第1章 緒論1.1

5、導(dǎo)論不動(dòng)點(diǎn)理論的研究興起于20世紀(jì)初,荷蘭數(shù)學(xué)家布勞維在1909年創(chuàng)立了不動(dòng)點(diǎn)理論1在此基礎(chǔ)上，不動(dòng)點(diǎn)定理有了進(jìn)一步的發(fā)展，并產(chǎn)生了用迭代法求不動(dòng)點(diǎn)的迭代思想美國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨在1923年發(fā)現(xiàn)了更為深刻的不動(dòng)點(diǎn)理論，稱為萊布尼茨不動(dòng)點(diǎn)理論21927年，丹麥數(shù)學(xué)家尼爾森研究不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，并提出了尼爾森數(shù)的概念3我國(guó)數(shù)學(xué)家江澤涵、姜伯駒、石根華等人則大大推廣了可計(jì)算尼森數(shù)的情形，并得出了萊布尼茨不動(dòng)點(diǎn)理論的逆定理4不動(dòng)點(diǎn)理論一個(gè)發(fā)展方向是只限于歐氏空間多面體5上的映射,不動(dòng)點(diǎn)理論的另一個(gè)發(fā)展方向是不限于歐氏空間中多面體上的映射，而考察一般的距離空間或線性拓?fù)淇臻g上的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題最后給出結(jié)果的是波蘭

6、數(shù)學(xué)家巴拿赫(Bananch)6，他于1922年提出的壓縮映像原理發(fā)展了迭代思想，并給出了Banach不動(dòng)點(diǎn)定理6這一定理有著及其廣泛的應(yīng)用，像代數(shù)方程、微分方程、積分方程、隱函數(shù)理論等中的許多存在性與唯一性問(wèn)題均可以歸結(jié)為此定理的推論1.1.1 選題背景不動(dòng)點(diǎn)定理在微分方程、函數(shù)方程、動(dòng)力系統(tǒng)理論等中有極為廣泛的應(yīng)用.函數(shù)的"不動(dòng)點(diǎn)"理論雖然不是中學(xué)教材的必修內(nèi)容，但是它的存在確實(shí)使一些數(shù)學(xué)問(wèn)題在無(wú)法想象中得到了解決.已知遞推公式求其數(shù)列通項(xiàng)，數(shù)列有界性、數(shù)列的單調(diào)性及收斂性等，歷來(lái)是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)題型，對(duì)那些已知遞推關(guān)系但又難求通項(xiàng)的數(shù)列綜合問(wèn)題，充分運(yùn)用函數(shù)的相關(guān)性

7、質(zhì)是解決這類問(wèn)題的著手點(diǎn)和關(guān)鍵因此，它就自然成為各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽和選擇性考試必選的內(nèi)容之一，尤其在近年的高考中對(duì)該定理的應(yīng)用越來(lái)越頻繁.1.1.2 選題意義利用“不動(dòng)點(diǎn)”法巧解高考題 ，遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)，證明數(shù)列的有界性、數(shù)列的單調(diào)性及收斂性等，歷來(lái)是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)題型，那些已知遞推關(guān)系但又難求通項(xiàng)的數(shù)列綜合問(wèn)題，充分運(yùn)用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解決這類問(wèn)題的著手點(diǎn)和關(guān)鍵與遞推關(guān)系對(duì)應(yīng)的函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”決定著遞推數(shù)列的增減情況，因此本文對(duì)函數(shù)“不動(dòng)點(diǎn)”問(wèn)題的研究結(jié)果，來(lái)簡(jiǎn)化求數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的有界性、數(shù)列的單調(diào)性及收斂性等問(wèn)題具有指導(dǎo)意義和理論意義.1.1.3 課題研究?jī)?nèi)容本文通過(guò)介紹不動(dòng)點(diǎn)定理

8、的證明，不動(dòng)點(diǎn)定理的迭代思想和不動(dòng)點(diǎn)定理的推論，研究了以下的內(nèi)容：利用不動(dòng)點(diǎn)定理的迭代思想，簡(jiǎn)化求遞推數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題.以不動(dòng)點(diǎn)定理為指導(dǎo)思想，證明數(shù)列的有界性.利用不動(dòng)點(diǎn)及特征函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列的單調(diào)性及收斂性，并借此解決一些高考題1.2研究現(xiàn)狀不動(dòng)點(diǎn)理論一直是一個(gè)既比較古老的問(wèn)題，又比較有新生命力的領(lǐng)域，它的歷史悠久，卻又是近現(xiàn)代一個(gè)發(fā)展較快的理論定理.自不動(dòng)點(diǎn)理論問(wèn)世以來(lái)，特別是最近的二三十年來(lái)，由于學(xué)術(shù)上的不斷發(fā)展和數(shù)學(xué)工作者的不懈努力，這門學(xué)科的理論及應(yīng)用的研究已經(jīng)取得了重要的進(jìn)展，不斷有新的不動(dòng)點(diǎn)理論研究成果涌現(xiàn)，并日臻完善.不動(dòng)點(diǎn)的有關(guān)理論是泛函分析中最重要的原理之一，它依據(jù)于著名

9、的巴拿赫（Banach）壓縮映射定理，如今已廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)分析的各個(gè)方面.許多著名的數(shù)學(xué)家為不動(dòng)點(diǎn)理論的證明及應(yīng)用作出了貢獻(xiàn).例如，荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾在1910年發(fā)表的關(guān)于流形的映射2一文中就證明了經(jīng)典的不動(dòng)點(diǎn)定理的一維形式.即,設(shè)連續(xù)函數(shù)把單位閉區(qū)間映到中，則有，使.波利亞曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“在問(wèn)題解決中，如果你不能解答所提的問(wèn)題，那么就去考慮一個(gè)適當(dāng)?shù)呐c之相關(guān)聯(lián)的輔助問(wèn)題”.“不動(dòng)點(diǎn)”就是一個(gè)有效的可供選擇的輔助問(wèn)題.近年來(lái)，有不少人研究中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及到的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，將拓?fù)鋵W(xué)不動(dòng)點(diǎn)定理的一些基本思想，采用通俗易懂的語(yǔ)言和形象生動(dòng)的例子運(yùn)用到初等數(shù)學(xué)中去，擴(kuò)大中學(xué)生的知識(shí)領(lǐng)域，加深中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

10、知識(shí)的掌握.在中學(xué)中，不動(dòng)點(diǎn)有關(guān)知識(shí)常常用來(lái)解決一些初等數(shù)學(xué)中的問(wèn)題，例如以“不動(dòng)點(diǎn)”為載體、將函數(shù)、數(shù)列、不等式、方程以及解析幾何等知識(shí)有機(jī)地交匯在一起的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而體現(xiàn)了用不動(dòng)點(diǎn)有關(guān)知識(shí)來(lái)求解這些問(wèn)題有時(shí)是非常簡(jiǎn)單和巧妙的.1.3 本章小結(jié)本章介紹了選題的背景和意義，并對(duì)課題的要求和研究?jī)?nèi)容作了分析，對(duì)不動(dòng)點(diǎn)定理的現(xiàn)況作了概要性的說(shuō)明，是不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用的前期研究基礎(chǔ).第2章 不動(dòng)點(diǎn)定理2.1 有關(guān)概念函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，在數(shù)學(xué)中是指被這個(gè)函數(shù)映射到其自身的一個(gè)點(diǎn)，即函數(shù)的取值過(guò)程中，如果有,使.就稱為的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)對(duì)此定義，有兩方面的理解：代數(shù)意義：若方程有實(shí)數(shù)根，則有不動(dòng)點(diǎn)幾何意義：若函數(shù)

11、與有交點(diǎn)，則為的不動(dòng)點(diǎn)為了介紹不動(dòng)點(diǎn)的一般概念，本文先介紹以下相關(guān)概念.定義17度量空間: 設(shè)是一個(gè)集合，.如果對(duì)于任何，有（正定性）,并且當(dāng)且僅當(dāng)；（對(duì)稱性）；（三角不等式），則稱是集合的一個(gè)度量,偶對(duì)是一個(gè)度量空間.定義27壓縮映射：給定如果對(duì)于映射:存在常數(shù),使得，則稱是一個(gè)壓縮映射.定義37Cauchy 列 ：給定,若對(duì)任取的,有自然數(shù)使對(duì),都成立則稱序列是Cauchy列.定義47完備度量空間：給定，若中任一Cauchy 列都收斂,則稱它是完備的.定義58不動(dòng)點(diǎn)：給定度量空間及 的映射如果存在使 則稱為映射的不動(dòng)點(diǎn).定義69凸集：設(shè)是維歐式空間的一點(diǎn)集，若任意的兩點(diǎn)的連線上的所有的點(diǎn);

12、則稱為凸集.2.2 不動(dòng)點(diǎn)定理和幾種推廣形式不動(dòng)點(diǎn)理論是關(guān)于方程的一種一般理論.數(shù)學(xué)里到處要解方程，諸如代數(shù)方程、微分方程、函數(shù)方程等，種類繁多，形式各異，但是它們常能改寫(xiě)成的形狀這里的是某個(gè)適當(dāng)?shù)目臻g中的點(diǎn)，是到的一個(gè)映射，把每個(gè)移到.方程的解恰好就是在這個(gè)映射下被留在原地不動(dòng)的點(diǎn)，故稱不動(dòng)點(diǎn)，于是解方程的問(wèn)題就是化成了找不動(dòng)點(diǎn)的這個(gè)幾何問(wèn)題，不動(dòng)點(diǎn)理論就是研究不動(dòng)點(diǎn)的有無(wú)、個(gè)數(shù)性質(zhì)與方法.首先,本文介紹Banach 不動(dòng)點(diǎn)定理的證明定理l （Banach 不動(dòng)點(diǎn)定理 壓縮映射原理10）設(shè)是一個(gè)完備的度量空間是到其自身的一個(gè)壓縮映射,則在中存在惟一的不動(dòng)點(diǎn).證明 首先,證明存在不動(dòng)點(diǎn)取定以遞

13、推形式 確定一序列是Cauchy 列.事實(shí)上，由任取自然數(shù),不妨設(shè)那么從而知 是一Canchy 列,故存在使且是的不動(dòng)點(diǎn),因?yàn)楣?即,所以是的不動(dòng)點(diǎn).其次,下證不動(dòng)點(diǎn)的惟一性設(shè)有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),那么由及有 設(shè),則,得到矛盾，從而，唯一性證畢.作為Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理從有限維到無(wú)窮維空間的推廣，1927年Schauder證明了下面不動(dòng)點(diǎn)定理，我們稱其為Sehauder不動(dòng)點(diǎn)定理I：定理2設(shè)是Banach空間，為中非空緊凸集，是連續(xù)自映射，則在中必有不動(dòng)點(diǎn).Sehauder不動(dòng)點(diǎn)定理的另一表述形式是將映射的條件加強(qiáng)為緊映射(即對(duì)任意，是緊的)，這時(shí)映射的定義域可不必是緊集，甚至不必是閉集，有下面定

14、理，我們稱其為Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理II：定理3設(shè)E是Banach空間，為中非空凸集，是緊的連續(xù)自映射，則在中必有不動(dòng)點(diǎn).定義6設(shè)是線性拓?fù)淇臻g，如果中存在由凸集組成的零鄰域基，則稱是局部凸的線性拓?fù)淇臻g，簡(jiǎn)稱局部凸空間.1935年，Tyehonoff進(jìn)一步將Sehauder不動(dòng)點(diǎn)定理I推廣到局部凸線性拓?fù)淇臻g，得到了下面的不動(dòng)點(diǎn)定理，我們稱其為Tyehonoff不動(dòng)點(diǎn)定理：定理4設(shè)是局部凸線性拓?fù)淇臻g，是其中的非空緊凸集，是連續(xù)自映射，則必有不動(dòng)點(diǎn)，即存在，使得.1950年，Hukuhara將Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理II與Tyehonoff不動(dòng)點(diǎn)定理結(jié)合起來(lái)得到下面的定理，我們稱其為S

15、ehauder-Tychonoff不動(dòng)點(diǎn)定理：定理5 設(shè)是局部凸線性拓?fù)淇臻g，是其中的非空凸集，是緊連續(xù)自映射，則必有不動(dòng)點(diǎn)，即存在，使得.從20世紀(jì)30年代起，人們開(kāi)始關(guān)注集值映射的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.所謂集值映射的不動(dòng)點(diǎn)，定義如下：定義7設(shè)是拓?fù)淇臻g，是集值映射，其中表示的所有非空子集的集合.若存在，使，則稱是的不動(dòng)點(diǎn).1941年，kllcIltani把Bmuwer不動(dòng)點(diǎn)定理推廣到集值映射的情形，得到下面的不動(dòng)點(diǎn)定理，我們稱其為Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理：定理6設(shè)是凸緊集，且是具閉凸值的上半連續(xù)集值映射，則必有不動(dòng)點(diǎn).1950年，Botmenblust，Karlin把Sehauder不動(dòng)點(diǎn)定理I推

16、廣到集值映射的情形：定理7 設(shè)是Banach空間，是中的非空緊凸集，是具有閉凸值的上半連續(xù)集值映射，則必有不動(dòng)點(diǎn).1952年，F(xiàn)an，Glicksberg分別把Tyehonoff不動(dòng)點(diǎn)定理推廣到集值映射的情形，成為Kakutani-Fan-Glicksberg不動(dòng)點(diǎn)定理或K-FG不動(dòng)點(diǎn)定理.即：定理8 設(shè)是局部凸的Hausdorff線性拓?fù)淇臻g，是中的非空緊凸集，是具有閉凸值的上半連續(xù)集值映射，則必有不動(dòng)點(diǎn).1968年，Browder又證明了另一種形式的關(guān)于集值映射的不動(dòng)點(diǎn)定理，本文稱此定理為Fan-Browder不動(dòng)點(diǎn)定理：定理9 設(shè)是Hausdorff線性拓?fù)淇臻gE中的非空凸緊子集，集值映

17、射滿足：(1)對(duì)任意，是中的非空凸集(2)對(duì)任意是Z中的開(kāi)集則存在，使.本章小結(jié) 本章詳細(xì)介紹了Banach 不動(dòng)點(diǎn)定理及其證明，概況了對(duì)不動(dòng)點(diǎn)定理的幾種推廣形式.第3章 不動(dòng)點(diǎn)定理在數(shù)列中的應(yīng)用 在高考試題中，數(shù)列向所對(duì)應(yīng)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)收斂的問(wèn)題，?？梢杂脝握{(diào)性結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的方法來(lái)解決“不動(dòng)點(diǎn)”問(wèn)題雖不是高考大綱的要求，但在函數(shù)迭代、力程、數(shù)列、解析幾何中都有重要的價(jià)值和應(yīng)用，在歷年的高考中也經(jīng)?？吹健安粍?dòng)點(diǎn)”的影子以全國(guó)卷I為例，2007年，2008年、2010年高考的壓軸題都是可以用“不動(dòng)點(diǎn)”的方法比較容易地去解決用“不動(dòng)點(diǎn)”的方法在學(xué)生平時(shí)解題中主要是求數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性、有

18、界性及收斂性等.3.1求數(shù)列的通項(xiàng)公式定理10已知數(shù)列滿足 ,其中，設(shè)是唯一的不動(dòng)點(diǎn)，則數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列.證明 因?yàn)槭俏ㄒ坏牟粍?dòng)點(diǎn)，所以是方程，亦即是一元二次方程的唯一解.得所以 把 代入上式，得: 令 ，可得數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列.在初等數(shù)學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到求這類問(wèn)題，已知數(shù)列的首項(xiàng)，數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)，這類問(wèn)題往往難度很大，通過(guò)不定點(diǎn)定理，大大降低了此類問(wèn)題的難度.例1 若（，且）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解 根據(jù)迭代數(shù)列，構(gòu)造函數(shù)，易知有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)定理 可知，則即數(shù)列是以首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.則對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式為解得又也滿足上式.所以的通項(xiàng)公式為.對(duì)于此類形式的數(shù)列，已知數(shù)列滿足 ,

19、其中，求其通項(xiàng).運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理，可以簡(jiǎn)單快捷地解答.即數(shù)列是以首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.推論 已知數(shù)列滿足 ,其中，設(shè)是唯一的不動(dòng)點(diǎn)，則數(shù)列是一個(gè)公比為等比數(shù)列例2 若，（，且），求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解 根據(jù)迭代數(shù)列，構(gòu)造函數(shù)，易知有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)推論 可知，則所以所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，有，故又也滿足上式.所以的通項(xiàng)公式為.在高中階段，學(xué)生在學(xué)習(xí)了數(shù)列之后，經(jīng)常會(huì)遇到已知及遞推公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式的問(wèn)題，很多的題目令人感到非常棘手.而不動(dòng)點(diǎn)定理給出了一個(gè)“公式”性的方法不動(dòng)點(diǎn)法，應(yīng)用此法可巧妙地處理此類問(wèn)題.3.2 數(shù)列的有界性在高考中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)證明數(shù)列有界性的問(wèn)題，不等

20、式問(wèn)題是高考中的一個(gè)難點(diǎn)，數(shù)列與不等式結(jié)合，使得這類問(wèn)題更加的棘手了，而不動(dòng)點(diǎn)定理卻給了我們思想上的一個(gè)指導(dǎo)，即解決這類問(wèn)題，我們可以先求出不動(dòng)點(diǎn)，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.例3(2008年全國(guó)II)函數(shù).數(shù)列滿足證明:分析 函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)是顯然此題就是要證明數(shù)列向不動(dòng)點(diǎn)收斂證明 當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；又，所以；假設(shè)時(shí)有，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，即，當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立故原不等式成立這類問(wèn)題可以以各種類型的函數(shù)與數(shù)列為載體考查導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、方程的根等問(wèn)題對(duì)學(xué)生綜合能力有較高的要求，在2010年的高考中此類問(wèn)題進(jìn)一步拓展，又有了一些新變化：利用數(shù)列的有界性求含參數(shù)列中參數(shù)的取值范圍.例4（2010年全國(guó)I

21、)已知數(shù)列中，求使不等式成立的的取值范圍.解:該數(shù)列應(yīng)該是向其某個(gè)不動(dòng)點(diǎn)收斂.不妨設(shè)該不動(dòng)點(diǎn)為，則有，即方程在有一個(gè)實(shí)根我們繼續(xù)用不動(dòng)點(diǎn)的思路方法解決該問(wèn)題.因?yàn)閷?duì)任意自然數(shù)都成立，所以首先應(yīng)有，可得 設(shè)，則是增函數(shù)，.令，即.當(dāng)時(shí)，該方程有2個(gè)不等的實(shí)數(shù)根設(shè)為，由韋達(dá)定理，可知只要讓即可.令.即當(dāng)時(shí)，在上存在不動(dòng)點(diǎn)(就是)所以的取取范圍是.再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論的正確性：因?yàn)榍以谑窃龊瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，有.假設(shè)時(shí)，有因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，故，即，當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立，所以當(dāng)?shù)娜≈捣秶菚r(shí)，有在區(qū)間內(nèi)的不動(dòng)點(diǎn)，數(shù)列單調(diào)遞增向該不動(dòng)點(diǎn)收斂.3.3 數(shù)列的單調(diào)性及收斂性近幾年一些地區(qū)高考試題對(duì)利用不動(dòng)點(diǎn)解決遞推數(shù)列

22、的問(wèn)題比較青睞，如求數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用不動(dòng)點(diǎn)研究數(shù)列的單調(diào)性等等下文利用不動(dòng)點(diǎn)及特征函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列的單調(diào)性及收斂性，并借此解決一些高考題3.3.1 關(guān)于數(shù)列單調(diào)性、收斂性的重要結(jié)論定義8 設(shè)，其中是的一個(gè)區(qū)間，數(shù)列由和遞推關(guān)系來(lái)定義.則數(shù)列稱為遞推數(shù)列.稱為數(shù)列的特征函數(shù)，稱為數(shù)列的特征方程，稱為初始值.若設(shè)是連續(xù)的，若收斂而且有極限，.因此問(wèn)題就變?yōu)閷ふ曳匠?解(即的不動(dòng)點(diǎn))，并驗(yàn)證數(shù)列是不是收斂于數(shù) 定理11設(shè)是定義在上的一個(gè)壓縮映射，則由任何初始值和遞推數(shù)列 ，生成的數(shù)列收斂證明：由于是上的一個(gè)壓縮映射，故，則，且，使得，有于是，（不妨設(shè) )，只要取，都有根據(jù)Cauchy收斂準(zhǔn)則，

23、收斂證畢定義9 在不動(dòng)點(diǎn)處，若，則稱為的吸引不動(dòng)點(diǎn)；若，則稱為的排斥不動(dòng)點(diǎn)定理12若是定義在上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，是吸引不動(dòng)點(diǎn)，則存在的鄰域區(qū)間 ，對(duì)一切 ，都有且這里的記號(hào).證明：因?yàn)檫B續(xù)可導(dǎo)，又，則這樣的區(qū)間 顯然存在對(duì)任意一點(diǎn)，在為端點(diǎn)的閉區(qū)間上，由拉格朗日中值定理得所以， 由定理1可得數(shù)列收斂，且證畢定理表明吸引不動(dòng)點(diǎn)在迭代過(guò)程中，可以吸引周邊的點(diǎn)下面研究數(shù)列將以何種方式收斂于.定理13 若是定義在上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn) ，且為吸引不動(dòng)點(diǎn)，初始值,遞推數(shù)列，則(1)當(dāng)在上遞增時(shí)，則數(shù)列單調(diào)且收斂于；(2)當(dāng)在上遞減時(shí)，則的兩個(gè)子列的和一遞增一遞減，且收斂于證明：(1)當(dāng)在上遞增時(shí)

24、，若，則由數(shù)學(xué)歸納法可證明，遞增；若，則由數(shù)學(xué)歸納法可證明 ，遞減(2)當(dāng)在上遞減時(shí)，此時(shí)復(fù)合函數(shù)遞增，而子數(shù)列和中有一個(gè)遞增，另一個(gè)遞減若，用數(shù)學(xué)歸納法可證明單調(diào)遞增事實(shí)上，若 ，則 ，由此可得單調(diào)遞減；若，證明類似證畢定理14若是定義在上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，有且只有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)且，異于的初始值，遞推數(shù)列則兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)至多只有一個(gè)吸引不動(dòng)點(diǎn)證明：設(shè)函數(shù)，則.假設(shè)兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)同為吸引不動(dòng)點(diǎn)，則從而.又，可得,使得，則，同理 ，使得由連續(xù)及零點(diǎn)存在定理，得在區(qū)間上必有一個(gè)零點(diǎn)這與僅有兩個(gè)零點(diǎn)矛盾因此假設(shè)不成立，則兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn) ，至多一個(gè)為吸引不動(dòng)點(diǎn)證畢定理15若是定義在上的連續(xù)可導(dǎo)的凸函數(shù)，有且只有兩個(gè)不動(dòng)

25、點(diǎn)，且，中有一個(gè)吸引不動(dòng)點(diǎn)，異于的初始值，遞推數(shù)列 ，則為吸引不動(dòng)點(diǎn)，為排斥不動(dòng)點(diǎn)，且當(dāng)<O時(shí)，單調(diào)遞增且收斂于；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減且收斂于；當(dāng) 時(shí)，單調(diào)遞增且不收斂；證明：由為凸函數(shù)，可得為增函數(shù)由且中有一個(gè)吸引不動(dòng)點(diǎn)及定理4得，即為吸引不動(dòng)點(diǎn)，為排斥不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，則為增函數(shù)且于是，使得，于是在上遞減，在上遞增下面分四種情況進(jìn)行說(shuō)明：(1)當(dāng)時(shí)，即，所以，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法易證單調(diào)遞增且收斂于；(2)當(dāng)時(shí)，即，所以，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法易證單調(diào)遞減且收斂于；(3)當(dāng)時(shí)，即所以，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法易證單調(diào)遞減且收斂于；(4)當(dāng)時(shí)，即，所以，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法易證單調(diào)遞增且不收斂綜上，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增且不收斂；

26、當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減且收斂于；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增且收斂于 證畢定理表明初始值也將影響數(shù)列收斂與否、以何種方式收斂于.3.3.2 數(shù)列的單調(diào)性、收斂性的證明當(dāng)初始值與特征函數(shù)都確定的情況下，主要判斷特征函數(shù)的單調(diào)性，及不動(dòng)點(diǎn)是否為吸引不動(dòng)點(diǎn)，借助定理13可以解決例5 (2007廣東理)已知函數(shù),是方程的兩個(gè)根() ,是的導(dǎo)數(shù)設(shè).(1)求的值；(2)證明：對(duì)任意的正整數(shù),都有；(3)略解：(1)易得.(2)，則，特征函數(shù)，特征方程 ， 即，于是不動(dòng)點(diǎn)，,可得 均為吸引不動(dòng)點(diǎn)又,當(dāng) ,由定理13可得數(shù)列單調(diào)遞減，且.本題的背景是牛頓切線法求方程的近似解.本題特征函數(shù)在定義域上不連續(xù)，有兩個(gè)吸引不動(dòng)點(diǎn)由于初始值

27、且不動(dòng)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值恰為，使得時(shí)恒有，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化例6(2009陜西22)已知數(shù)列滿足，.猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(2)略解：由 得特征函數(shù),在、上分別單調(diào)遞減由特征方程得不動(dòng)點(diǎn) .由于，則，可得 為排斥不動(dòng)點(diǎn)，為吸引不動(dòng)點(diǎn)由在上單調(diào)遞減，又且 由定理13得數(shù)列的兩個(gè)子列單調(diào)遞增，單調(diào)遞減由于特征函數(shù)在上單調(diào)遞減，結(jié)合定理13，可得如下結(jié)論：當(dāng)時(shí)，可得，數(shù)列單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)時(shí)，可得，數(shù)列單調(diào)遞減，單調(diào)遞增 當(dāng)初始值或特征函數(shù)中出現(xiàn)未知量或參數(shù)時(shí)，難度有所增加，考慮降低難度要求的需要，高考題給出的特征函數(shù)一般為凹或凸函數(shù)，此時(shí)主要結(jié)合定理15進(jìn)行判斷即可例7(20

28、09安徽21)首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足 (I)略；(II)若對(duì)一切nN ，都有，求的取值范圍.解：（II）記，則，于是為凸函數(shù).令得不動(dòng)點(diǎn).由對(duì)一切，都有，得數(shù)列為遞增，根據(jù)定理15得，或，又，所以的取值范圍或本題已知數(shù)列的單調(diào)性，求首項(xiàng)的取值范圍，利用不動(dòng)點(diǎn)定理可以證明數(shù)列的單調(diào)性及收斂性，所以此題是對(duì)數(shù)列單調(diào)性及收斂性的逆向考查，是高考中的難題，繼續(xù)采用不動(dòng)點(diǎn)定理的思想，根據(jù)定理15可以很簡(jiǎn)單快捷地求出首項(xiàng)的取值范圍，有別出心裁的效果.3.4 本章小結(jié)本章詳細(xì)研究了利用不動(dòng)點(diǎn)定理解決求數(shù)列通項(xiàng)，數(shù)列有界性，數(shù)列的單調(diào)性及收斂性問(wèn)題，對(duì)這類問(wèn)題的解決方法做了簡(jiǎn)單的概括.第6章 結(jié)束語(yǔ)本次的畢業(yè)論

29、文創(chuàng)作過(guò)程是對(duì)大學(xué)四年學(xué)習(xí)的一個(gè)總結(jié).在歷時(shí)將近半年的時(shí)間里，我通過(guò)到圖書(shū)館翻閱資料，上網(wǎng)，質(zhì)詢指導(dǎo)老師，收集了足夠的質(zhì)料，按照指導(dǎo)老師提供的要求按時(shí)完成了我的論文.通過(guò)撰寫(xiě)畢業(yè)論文，對(duì)不動(dòng)點(diǎn)定理有了自己的認(rèn)識(shí)和進(jìn)一步的理解.不動(dòng)點(diǎn)定理雖然是拓?fù)鋵W(xué)中的一個(gè)著名的定理，但它在初等數(shù)學(xué)中也有極其廣泛的運(yùn)用，運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理可以簡(jiǎn)單快捷地解決初等數(shù)學(xué)中的一些問(wèn)題，例如本文中提到的求數(shù)列通項(xiàng)、數(shù)列的有界性問(wèn)題，數(shù)列的單調(diào)性及收斂性方面的問(wèn)題；當(dāng)然本文所涉及的不動(dòng)點(diǎn)定理的應(yīng)用不是很全面,還有很多方面的內(nèi)容沒(méi)有涉及.本次畢業(yè)論文，我按照老師的要求完成了大部分論文的內(nèi)容.不動(dòng)點(diǎn)定理，我論文中有了詳細(xì)的說(shuō)明，不動(dòng)點(diǎn)定理在數(shù)列中的應(yīng)用文中也作了詳細(xì)的分析.這次畢業(yè)論文讓我在數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用上成熟了很多，是大學(xué)四年學(xué)習(xí)的總結(jié)，也是今后工作的寶貴經(jīng)驗(yàn)和財(cái)富. 隨著全國(guó)教育體系的逐步完善，我相信數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)深度將進(jìn)一步提高，我希望本論文對(duì)讀者了解不動(dòng)點(diǎn)定理及其在數(shù)列中的應(yīng)用有所幫助.參考文獻(xiàn)1 CLARKSON J AUniformly Convex SpacesJTransAmerMathSoc,1936,40(3)：3964142CLARKSON