2013年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)新課標(biāo)卷1試題與答案解析版

1、2013年普通高等學(xué)校夏季招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(全國(guó)新課標(biāo)卷I)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1(2013課標(biāo)全國(guó)，理1)已知集合Ax|x22x0，Bx|x，則()AAB BABRCBADAB2(2013課標(biāo)全國(guó)，理2)若復(fù)數(shù)z滿足(34i)z|43i|，則z的虛部為()A4 B C4 D3(2013課標(biāo)全國(guó)，理3)為了解某地區(qū)的中小學(xué)生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是(

2、)A簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B按性別分層抽樣C按學(xué)段分層抽樣 D系統(tǒng)抽樣4(2013課標(biāo)全國(guó)，理4)已知雙曲線C：(a0，b0)的離心率為，則C的漸近線方程為()Ay ByCy Dy±x5(2013課標(biāo)全國(guó)，理5)執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的t1,3，則輸出的s屬于()A3,4B5,2C4,3D2,56(2013課標(biāo)全國(guó)，理6)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為()Acm3 Bcm3Ccm3 Dcm37(2013課標(biāo)全國(guó)，理7)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，

3、若Sm12，Sm0，Sm13，則m()A3 B4 C5 D68(2013課標(biāo)全國(guó)，理8)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A168B88C1616D8169(2013課標(biāo)全國(guó)，理9)設(shè)m為正整數(shù)，(xy)2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(xy)2m1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a7b，則m()A5 B6 C7 D810(2013課標(biāo)全國(guó)，理10)已知橢圓E：(ab0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A BC D11(2013課標(biāo)全國(guó)，理11)已知函數(shù)f(x)若|f(x)|ax，則a的取值范圍是()A(

4、，0 B(，1 C2,1 D2,012(2013課標(biāo)全國(guó)，理12)設(shè)AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an，bn，cn，AnBnCn的面積為Sn，n1,2,3，.若b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，則()ASn為遞減數(shù)列BSn為遞增數(shù)列CS2n1為遞增數(shù)列，S2n為遞減數(shù)列DS2n1為遞減數(shù)列，S2n為遞增數(shù)列第卷本卷包括必考題和選考題兩部分第(13)題第(21)題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答第(22)題第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求做答二、填空題：本大題共4小題，每小題5分13(2013課標(biāo)全國(guó)，理13)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，cta(1t)b.若

5、b·c0，則t_.14(2013課標(biāo)全國(guó)，理14)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則an的通項(xiàng)公式是an_.15(2013課標(biāo)全國(guó)，理15)設(shè)當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)sin x2cos x取得最大值，則cos _.16(2013課標(biāo)全國(guó)，理16)若函數(shù)f(x)(1x2)(x2axb)的圖像關(guān)于直線x2對(duì)稱，則f(x)的最大值為_(kāi)三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟17(2013課標(biāo)全國(guó)，理17)(本小題滿分12分)如圖，在ABC中，ABC90°，AB，BC1，P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，BPC90°. (1)若PB，求PA；(2)若APB150°，求tanPBA.

6、18(2013課標(biāo)全國(guó)，理18)(本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160°.(1)證明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值19(2013課標(biāo)全國(guó)，理19)(本小題滿分12分)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；如果n4，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn)假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品

7、率為50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立(1)求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率；(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望20(2013課標(biāo)全國(guó)，理20)(本小題滿分12分)已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|.21(2013課標(biāo)全國(guó)，理21)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)x2axb

8、，g(x)ex(cxd)若曲線yf(x)和曲線yg(x)都過(guò)點(diǎn)P(0,2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y4x2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x2時(shí)，f(x)kg(x)，求k的取值范圍請(qǐng)考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題做答注意：只能做所選定的題目如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，做答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑22(2013課標(biāo)全國(guó)，理22)(本小題滿分10分)選修41：幾何證明選講如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于點(diǎn)D.(1)證明：DBDC；(2)設(shè)圓的半徑為1，BC，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F

9、，求BCF外接圓的半徑23(2013課標(biāo)全國(guó)，理23)(本小題滿分10分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin .(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(0,02)24(2013課標(biāo)全國(guó)，理24)(本小題滿分10分)選修45：不等式選講：已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)設(shè)a1，且當(dāng)x時(shí)，f(x)g(x)，求a的取值范圍2013年普通高等學(xué)校夏季招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(全國(guó)卷I新課

10、標(biāo))第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1答案：B解析：x(x2)0，x0或x2.集合A與B可用圖象表示為：由圖象可以看出ABR，故選B.2 答案：D解析：(34i)z|43i|，.故z的虛部為，選D.3答案：C解析：因?yàn)閷W(xué)段層次差異較大，所以在不同學(xué)段中抽取宜用分層抽樣4答案：C解析：，.a24b2，.漸近線方程為.5答案：A解析：若t1,1)，則執(zhí)行s3t，故s3,3)若t1,3，則執(zhí)行s4tt2，其對(duì)稱軸為t2.故當(dāng)t2時(shí)，s取得最大值4.當(dāng)t1或3時(shí)，s取得最小值3，則s3,4綜上可知，輸出的s3,4故選A.6答案：A解析：設(shè)

11、球半徑為R，由題可知R，R2，正方體棱長(zhǎng)一半可構(gòu)成直角三角形，即OBA為直角三角形，如圖BC2，BA4，OBR2，OAR，由R2(R2)242，得R5，所以球的體積為(cm3)，故選A.7答案：C解析：Sm12，Sm0，Sm13，amSmSm10(2)2，am1Sm1Sm303.dam1am321.Smma1×10，.又am1a1m×13，.m5.故選C.8答案：A解析：由三視圖可知該幾何體為半圓柱上放一個(gè)長(zhǎng)方體，由圖中數(shù)據(jù)可知圓柱底面半徑r2，長(zhǎng)為4，在長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)為4，寬為2，高為2，所以幾何體的體積為r2×4×4×2×2816.

12、故選A.9答案：B解析：由題意可知，a，b，又13a7b，即.解得m6.故選B.10 答案：D解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在橢圓上，得，即，AB的中點(diǎn)為(1，1)，y1y22，x1x22，而kAB，.又a2b29，a218，b29.橢圓E的方程為.故選D.11答案：D解析：由y|f(x)|的圖象知：當(dāng)x0時(shí)，yax只有a0時(shí)，才能滿足|f(x)|ax，可排除B，C.當(dāng)x0時(shí)，y|f(x)|x22x|x22x.故由|f(x)|ax得x22xax.當(dāng)x0時(shí)，不等式為00成立當(dāng)x0時(shí)，不等式等價(jià)于x2a.x22，a2.綜上可知：a2,012答案：B第卷本卷包括必考題和選考題兩部

13、分第(13)題第(21)題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答第(22)題第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求做答二、填空題：本大題共4小題，每小題5分13答案：2解析：cta(1t)b，b·cta·b(1t)|b|2.又|a|b|1，且a與b夾角為60°，bc，0t|a|b|cos 60°(1t)，01t.t2.14答案：(2)n1解析：，當(dāng)n2時(shí)，.，得，即2.a1S1，a11.an是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，an(2)n1.15答案：解析：f(x)sin x2cos x，令cos ，sin ，則f(x)sin(x)，當(dāng)x2k(kZ)時(shí)，sin(x)

14、有最大值1，f(x)有最大值，即2k(kZ)，所以cos sin .16答案：16解析：函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x2對(duì)稱，f(x)滿足f(0)f(4)，f(1)f(3)，即解得f(x)x48x314x28x15.由f(x)4x324x228x80，得x12，x22，x32.易知，f(x)在(，2)上為增函數(shù)，在(2，2)上為減函數(shù)，在(2，2)上為增函數(shù)，在(2，)上為減函數(shù)f(2)1(2)2(2)28(2)15(8)(8)806416.f(2)1(2)2(2)28×(2)153(41615)9.f(2)1(2)2(2)28(2)15(8)(8)806416.故f(x)的最大值為1

15、6.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟17解：(1)由已知得PBC60°，所以PBA30°.在PBA中，由余弦定理得PA2.故PA.(2)設(shè)PBA，由已知得PBsin .在PBA中，由正弦定理得，化簡(jiǎn)得cos 4sin .所以tan ，即tanPBA.18(1)證明：取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OA1，A1B.因?yàn)镃ACB，所以O(shè)CAB.由于ABAA1，BAA160°，故AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1AB.因?yàn)镺COA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)解：由(1)知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA1B1

16、B，交線為AB，所以O(shè)C平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩相互垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題設(shè)知A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(1,0,0)則(1,0，)，(1，0)，(0，)設(shè)n(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，則即可取n(，1，1)故cosn，.所以A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為.19解：(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過(guò)

17、檢驗(yàn)為事件A，依題意有A(A1B1)(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，所以P(A)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2).(2)X可能的取值為400,500,800，并且P(X400)，P(X500)，P(X800).所以X的分布列為X400500800PEX506.25.20解：由已知得圓M的圓心為M(1,0)，半徑r11；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.(1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為

18、2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為(x2)(2)對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí)，R2.所以當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為(x2)2y24.若l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|.若l的傾斜角不為90°，由r1R知l不平行于x軸，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，則，可求得Q(4,0)，所以可設(shè)l：yk(x4)由l與圓M相切得，解得k.當(dāng)k時(shí)，將代入，并整理得7x28x80，解得x1,2.所以|AB|.當(dāng)時(shí)，由圖形的對(duì)稱性可知|AB|.綜上，|AB|或|AB|.21解：(1)由已知得f(0)2，

19、g(0)2，f(0)4，g(0)4.而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故b2，d2，a4，dc4.從而a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)設(shè)函數(shù)F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，則F(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由題設(shè)可得F(0)0，即k1.令F(x)0得x1ln k，x22.若1ke2，則2x10.從而當(dāng)x(2，x1)時(shí)，F(xiàn)(x)0；當(dāng)x(x1，)時(shí)，F(xiàn)(x)0.即F(x)在(2，x1)單調(diào)遞減，在(x1，)單調(diào)遞增故F(x)在2，)的最小值為F(x1)而F(x1)2x124x12x1(x12)0.故當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(x)0，即f(x)kg(x)恒成立若ke2，則F(x)2e2(x2)(exe2)從而當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(x)0，即F(x)在(2，)單調(diào)遞增而F(2)0，故當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)(x)0，即f(x)kg(x)恒成立若ke2，則F(2)