三角恒等變形難題高考加競賽有答案

1、 三角恒等變形競賽三角恒等變形涉及范圍廣泛，包括三角式的化簡、求值、恒等式的證明、三角級數(shù)的求和、三角不等式的證明等，其變形的主要途徑如下：1兩角和與差的三角函數(shù)2倍角公式3半角公式4和化和差公式5和差化積公式6萬能公式設(shè)，則7三倍角公式8，其中解題示范例1：求下列各式的值。（1）；（2）···；（3）.思路分析：此例中的求值，都是給角求值。在利用三角變形時(shí)，總體思路是化繁為簡，產(chǎn)生約分項(xiàng)或相消項(xiàng)或特殊角的三角函數(shù)。解：（1）原式（2）因?yàn)?#183;·，所以原式=1。（3）因?yàn)?#183;，而，所以原式=1。點(diǎn)評：三角函數(shù)的求值，實(shí)質(zhì)上是從角、名、結(jié)構(gòu)

2、進(jìn)行變換，抓住角之間的關(guān)系，合理進(jìn)行積與和式變換即可。例2 化簡思路分析：從本題結(jié)構(gòu)聯(lián)想，用進(jìn)行化簡。解：因?yàn)?，所以原式點(diǎn)評：此題的技巧在于公式的靈活運(yùn)用，而在公式選擇中，關(guān)鍵要抵消1，從而簡化結(jié)構(gòu)。例3：已知為銳角，且，求的值.思路分析：此題給出一個(gè)方程，兩個(gè)未知數(shù)，屬不定方程類型。要求解此問題，應(yīng)從在變形入手，通過配方法解決。解：因?yàn)椋?，從而，于是，?由是銳角可知所以，從而引申：此題可從考慮其幾何意義求解。由題意得設(shè)，則P點(diǎn)是直線與圓的公共點(diǎn)，所以，化簡得所以，同理可得同時(shí)，構(gòu)造幾何意義解題，常常能得到奇數(shù)。例如：設(shè)是方程的相異兩根，且，求證：證明：設(shè)，則是圓與直線的兩個(gè)相異點(diǎn)。聯(lián)立消

3、元得所以即同理得即所以由2+2得故另外，相除得例4：求證：··思路分析：從三角數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為一個(gè)三次方程的根與系數(shù)求解。證明：設(shè)，則，即令，則.因?yàn)槭巧鲜龇匠痰母?，所?#183;·.故··引申：（1）由韋達(dá)定理還可得，·（2）三倍角的變化情況較復(fù)雜，還有另一組公式對三倍角的變換很有效。例如化簡··例5：求證：思路分析：左邊的求和式表示成裂項(xiàng)求和，其結(jié)構(gòu)便化繁為簡，而裂項(xiàng)時(shí)，考慮的因素。證明：因?yàn)?，所?#183;故點(diǎn)評：此題的裂項(xiàng)遷移了數(shù)列求和，同時(shí)也是以角為突破口。另外第25屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克題“證明的平均值為

4、”與此題是“異曲同工”。便6：設(shè)，試證：思路分析：從左邊三有函數(shù)內(nèi)各角度成等差數(shù)列入手。證明：設(shè)，則而，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，有，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，有，所以M·N故點(diǎn)評：題解中的M、N是一組對偶式，構(gòu)造對偶式解題，也是三角變換的一個(gè)途徑，其對偶式的應(yīng)用，讓公式得到應(yīng)用，對稱的性質(zhì)得以作用。例7：設(shè)三邊的長度為，其所對角分別為，且滿足求證：該三角形是等腰三角形。思路分析：作邊角轉(zhuǎn)化，利用三角變換處理已知等式。證明：由已知得，則，所以整理得即化簡得所以或，即或解得或所以故是等腰三角形。點(diǎn)評：三角變換既能求值、化簡、證明三角恒等式，同時(shí)也是工具，可以廣泛解決相關(guān)的問題。能力測試能力測試1已知都是銳角，且，那么的關(guān)系是（ ）ABCD2設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）ABCD3等于（ ）ABCD4已知成公比為2的等比數(shù)列，且也成等比數(shù)列，則的值依次為（ ）ABCD5的值為（ ）ABCD6已知，那么的最大值為（ ）ABCD7在中，已知，則。8已知，則 =。9設(shè)是公差為的等差數(shù)列，那么。10設(shè)三內(nèi)角成等比數(shù)列，且公比為3，則。11計(jì)算：。12已知，則。13求證：14設(shè)整數(shù)滿足，求的值。15在中，求證：，其