怎樣分析兩等量點電荷的連線上及中垂線上場強的變化規(guī)律

1、怎樣分析兩等量點電荷的連線上及中垂線上場強的變化規(guī)律一、量等量異號點電荷的連線上及中垂線上場強的變化規(guī)律高中物理靜電場部分，習(xí)題中往往要用到真空中兩個等量異號點電荷的連線上場強 E 的變化規(guī)律和連線的中垂線上場強 E的變化規(guī)律。來考查兩個場強矢量疊加的問題。 下面闡 述就此問題總結(jié)的兩個規(guī)律的內(nèi)容及其分析方法和過程。如圖1所示，真空中兩個等量異號點電荷的電量分別為Q、-Q,連線為線段AE,MN上各點產(chǎn)生的場強 EA、MN為AE中垂線，垂足為O。1. 分析總結(jié)中垂線上 E的變化規(guī)律。中垂線MN上各點場強的方向，可由電場線法或兩點電荷在Eb按量矢量合成的平行四邊形定則進行合成，通過畫圖可得到MN&

2、#177;所有點合場強 E的方向都與0B平行且由A指向E,那 么E的大小有什么變化規(guī)律呢？很多資料上用電場線的疏密結(jié)合平行四邊形定則，作出合 場強E的圖形來定性的討論總結(jié)E的大小變化規(guī)律，得出以上 結(jié)論。結(jié)論1 中垂線上O點處的E最大，沿射線 0M射線ON 方向E都逐漸減小，至無窮遠處 E變?yōu)榱?。證明：如圖1所示，中垂線上任意一點C, 令 OC=y AB=L,在 R AOC 和 Rt BOC 中,AC=BC =Q >-Q在C點處的場強大小分別為Ea 和 Eb，且kq(AC)2kq顯然以Ea、Eb為鄰邊作的平行四邊形是菱形，且對角線代表的此點的和場強Ec /AB且 EC =2Ea cost

3、 >在RUAOC中，有cos 二AOACEc=2Ea cos -=kqL(L)2 y222對上式進行討論，因式中 k、q、L是常量，所以有:(1),8kq當(dāng)y=0時，Ec有最大值，且2，即中垂線上垂足 O處的場強最大;L 3當(dāng)y變大時，分母()2 y22逐漸變大，那么2Ec的值因單調(diào)遞減而逐漸變?。划?dāng)yR時，即中垂線上距離 0點無窮遠處的位置(3)從上述分析可以證明結(jié)論 1變化規(guī)律的正確性。E變?yōu)?，幾乎不存在電場。2 分析總結(jié)AB兩點連線上場強的變化規(guī)律此規(guī)律的總結(jié)如果仍用電場線理論和兩場強矢量的疊加 進行作圖比較，歸納不出結(jié)論。但用類比的方法，把分子動理 論中分子間相互作用的引力和斥

4、力隨距離變化的規(guī)律引用過 來，就可以輕松準確地突破思維難關(guān)。圖2如圖所示，當(dāng)分子間的距離a=ro時，分子間的引力和斥力相等，即F引 =F斥。當(dāng)a .r。時，分子間的引力和斥力都要隨著距離的增大而減小,但斥力比引力要減小得快，總體表現(xiàn)為分子間的引力。當(dāng) a : ro時，分子間的引力和斥力都要隨著分子間的距離的減小而增大,1所示，在中點0處，有但斥力比引力增加得快，總體表現(xiàn)為分子間的斥力。 現(xiàn)在進行類比：如圖EaU kq由點電荷的場強公式，E _kq可知E與r2成反比,r那么從 0開始沿0A方向每移動一個小微元段 x,就有 Q在D點產(chǎn)生的場強Ea增大，-Q在D點處產(chǎn)生的場強減小，但是 Ea增加得快

5、，而Eb減小得慢,即D點移動同樣的距離，隨 EA增加量比EB的減小量大，D點的合場強Ed二EA EB 一定 要變大，即可得出從 O點開始沿OA方向，OA上各點的場強要逐漸變大。同理從 O點開始沿 OB方向分析，每移動相同的距離段，Ea減小得慢，EB增加得快，各點的合場強也是逐漸變大。由此可得到以下規(guī)律。結(jié)論2在等量異號的兩個點電荷間的連線上，兩端點處場強最大，中點處場強最小。不論由A到B方向上的點，還是由 B到A方向上的點，它們場強大小的變化規(guī)律總是先減 小后增大。證明：如圖1所示，在線段 AB上任取一點D,令A(yù)D=x則BD=L-x, Q在D點產(chǎn)生的場強為_ kqEA = X-Q在D點處產(chǎn)生的

6、場強Ebkq(L -x)2由于Ea、Eb方向相同，且在同一條直線上，在D點處的合場強為Ed二 Ea Ebkq kq2 2X (L-X)二 kqJx (L-x)為了討論Ed隨x的變化規(guī)律，現(xiàn)對函數(shù)Ed求導(dǎo)，得3 1 1"gx 2(L-x)=2kqLpF面對導(dǎo)函數(shù)進行討論:（1）當(dāng)X ： L時，Ed < 0 ,則在（0, L上，原函數(shù)Ed為遞減函數(shù)，就可以得出 AO方向，線段 AO上各點的場強具有隨 x 的增大而減小的變化規(guī)律；（2） 當(dāng)x L時，Ed0,則在L,L）上原函數(shù)Ed為遞2 2增函數(shù)，就可以得出 OB方向，線段OB上各點的場強具有隨 x的增大而增大的變化規(guī) 律；, LH

7、8kq（3）當(dāng)x = 2時，Ed =0，則原函數(shù)Ed有最小值，即Ed = l2。這3種情況可通過圖3的Ed - X圖像描述出來。由此證明了結(jié)論2的正確性。二、兩等量同號點電荷的連線上及中垂線上場強的變化規(guī)律1.中垂線上電場強度的變化規(guī)律如圖所示，A B是帶電量均為的固定點電荷，兩者相距如圖4所示，設(shè)AB =2L, . CAB =二,2L。試說明，在 AB連線的垂直平分線上的電場強度的變化 規(guī)律。QQ2EA=EB=k 2 = k 牙cos 二rL由平行四邊形定則可得Q 2E =2EAsin v -2kcos vsin v令 y= cos2 vs in v=(1 -sin2 j)sin je3 -

8、sin 二y 二 cos丁 -3sin2 丁cos丁二 cos (1 -3sin2v)=02白1sin 二34 ； 3kQ9L2<3當(dāng)sin時，E有最大值3方法二：y2 =cos4rsin2 J - - (2sin 2 二 cos2)cos2 二)2由于2sin2二-cos2二-cos2 v - 2為定值。所以當(dāng)且僅當(dāng)2sin 2 -=cos2 丁 - cos2 丁 時 y2 取-得最大值，喻2八2，解得當(dāng)sin“可時，E有最大值9L2由以上推導(dǎo)可得出以下幾點:(1)=0時，即在O點，合場強E=0;(2)離為34 3kQ= args"亍時，E存在最大值，其最大值為 寸；最大值時C到°點的距L。(3) 當(dāng)v - 90時，合場強E =0；AB連線且(4) 在AB的垂直平分線上的電場強度是先增大，后減小，方向始終是垂直于背離O點的方向。2. 在AE連線上的電場強度分布情況：如圖4所示，在在線段 AB上任取一點D,令A(yù)D=x貝U BD=2 L-x ,A處點電荷在 D點產(chǎn) 生的場強為E -kqxB處點電荷在D點處產(chǎn)生的場強Ebkq(2L -x)2由于Ea、Eb方向相同，且在同一條直線上， 取向右為正方向。則在D點處的合場強為Ed= Ea+Eb 再xkq(