高等數(shù)學(xué)備課資料：第九章 多元函數(shù)微分學(xué) 05 第五節(jié) 隱函數(shù)微分法

1、第五節(jié) 隱函數(shù)微分法分布圖示 一個方程的情形（1） 例1 例2 一個方程的情形（2） 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 方程組的情形 例10 例11 例12 例13 例14 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題95 返回內(nèi)容要點 一、一個方程的情形定理1 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 且則方程 在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 它滿足 并有 (5.2)定理2 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 且 則方程在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),它滿足條件,并有 (5.4) 二、方程組的情形定理3 設(shè)在點的某一鄰域內(nèi)有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

2、，又 且函數(shù)、雅可比行列式在點不等于零，則方程組在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)它們滿足條件 其偏導(dǎo)數(shù)公式由(5.9)和(5.10)給出. ， . (5.9) ， . (5.10)例題選講 一個方程的情形例1（E01） 驗證方程在點(0, 1)的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)時的隱函數(shù),求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)在的值.證 令則依定理知方程在點的某領(lǐng)域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù),當(dāng)時的隱函數(shù)函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)為例2 求由方程 所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解 此題在第二章第六節(jié)采用兩邊求導(dǎo)的方法做過,這里我們直接用公式求之.令則由原方程知時，所以例3 求由方程 是常數(shù)）所

3、確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和解 令則顯然都是連續(xù).所以，當(dāng)時，由隱函數(shù)存在定理得例4（E02）設(shè) 求 解 令則注：在實際應(yīng)用中，求方程所確定的多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時，不一定非得套公式，尤其在方程中含有抽象函數(shù)時，利用求偏導(dǎo)或求微分的過程則更為清楚.例5（E03）設(shè) 求解 看成的函數(shù)對求偏導(dǎo)數(shù)得 把看成的函數(shù)對求偏導(dǎo)數(shù)得 把看成的函數(shù)對求偏導(dǎo)數(shù)得 例6（E04）設(shè)其中F具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且求證證 由題意知方程確定函數(shù)在題設(shè)方程兩邊取微分,得即有 合并得 解得 從而 于是 例7 設(shè)方程 確定了隱函數(shù)，求 解 方程兩邊分別對求偏導(dǎo)和對求偏導(dǎo),得所以同理 例8 設(shè)而是由方程所確定的的函數(shù)，求解 將看作的函數(shù),所給

4、的方程兩邊對求偏導(dǎo)數(shù)得即 于是 例9 設(shè) 由方程 確定，其中具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且 求 解 因由確定,故(其中于是例10（E05）設(shè) 求解 由題意知,方程組確定隱函數(shù)組在題設(shè)方程組兩邊對求偏導(dǎo),得利用克萊姆法則, 解得例11（E06）設(shè)求,解一 由題意知, 方程組確定隱函數(shù)在題設(shè)方程組兩邊取微分,有把看成未知的,解得即有 同理, 我們還可以求出從而得到注: 此題也可用公式法求解.解二 用公式推導(dǎo)的方法, 將所給方程的兩邊對求導(dǎo)并移項得在的條件下,有 將所給方程的兩邊對求導(dǎo), 用同樣方法得例12 設(shè)其中具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且 求解 由題意知,題設(shè)方程組隱含函數(shù)組在方程兩端對 求導(dǎo),得 (1)又由方程知 (2)再在方程兩邊對求導(dǎo),得解得 (3)把(2)、(3)代入(1),即得注: 此題也可以利用多元函數(shù)的一階微分形式不變性及微分的四則運算方便地計算出, 請讀者試之.例13（E07）在坐標(biāo)變換中我們常常要研究一種坐標(biāo)與另一種坐標(biāo)之間的關(guān)系. 設(shè)方程組 (5.14)可確定隱函數(shù)組 稱其為方程組(5.14)的反函數(shù)組. 設(shè)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，試證明 證 將代入(1),有在方程組兩端分別對和求偏導(dǎo),得和即 由 證畢.注: 此結(jié)果類似于一元函數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式推廣到三維情形:若確定反函數(shù)組則在一定條件下,有例14（E08）設(shè)方程組確定反函數(shù)組 求解 由在題設(shè)方程組兩邊對求偏導(dǎo),得解得