(完整版)三角形中位線中的常見輔助線.doc

1、三角形中位線中的常見輔助線知識梳理知識點(diǎn)一中點(diǎn)一、與中點(diǎn)有關(guān)的概念三角形中線的定義：三角形頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的連線等腰三角形底邊的中線三線合一（底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合 ）三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半.中位線判定定理：經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線必平分第三邊.直角三角形斜邊中線： 直角三角形斜邊中線等于斜邊一半斜邊中線判定： 若三角性一邊上的中線等于該邊的一半，則這個三角形是直角三角形二、與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線方法一：倍長中線解讀：凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長中線，倍

2、長中線的目的可以旋轉(zhuǎn)等長度的線段, 從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的。方法二：構(gòu)造中位線解讀：凡是出現(xiàn)中點(diǎn)，或多個中點(diǎn)，都可以考慮取另一邊中點(diǎn)，或延長三角形一邊，從而達(dá)到構(gòu)造三角形 中位線的目的。方法三：構(gòu)造三線合一解讀：只要出現(xiàn)等腰三角形，或共頂點(diǎn)等線段，就需要考慮構(gòu)造三線合一，從而找到突破口其他位置的也要能看出方法四：構(gòu)造斜邊中線解讀：只要出現(xiàn)直角三角形，或直角，則考慮連接斜邊中線段，第一可以出現(xiàn)三條等線段，第二可以出現(xiàn) 兩個等腰三角形，從而轉(zhuǎn)化線段關(guān)系。其他位置的也要能看出常見考點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線考點(diǎn)說明：凡是出現(xiàn)中點(diǎn)，或多個中點(diǎn)，都可以考慮取 四邊形對角線中點(diǎn)、等腰三角形底邊中點(diǎn)、直角三角

3、形斜邊中點(diǎn)或其他線段中點(diǎn) ；延長三角形一邊，從而達(dá)到構(gòu)造三角形中位線的目的。“題中有中點(diǎn)，莫忘中位線” .與此很相近的幾何思想是“題中有中線，莫忘加倍延”，這兩個是常用幾何思 想，但注意倍長中線的主要目的是通過構(gòu)造三角形全等將分散的條件集中起來.平移也有類似作用.典型例題【例1】 已知：AD是的中線， AE是aABD的中線，且 AB BD ,求證：AC 2 AE .舉一反三1 .如右下圖，在 ABC中，若 B 2 C , AD BC , E為BC邊的中點(diǎn).求證： AB 2DE .2 .在ABC中，ACB 90 , AC , BC ,以BC為底作等腰直角 BCD , E是CD的中點(diǎn)，求證：AE

4、EB 2且 AE BE .【例2】已知四邊形ABCD的對角線AC BD, E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF分別交AC、BD于 M、N ,求證：Z AMN ZBNM .舉一反三1.已知四邊形 ABCD中，AC BD ,E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，EF交AC于M； EF交BD于N,AC和BD交于G點(diǎn).求證： GMN GNM .DF2.已知：在 ABC中，BC AC ,動點(diǎn)D繞ABC的頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且 ADBC ，連結(jié)DC .過AB、DC的中點(diǎn)E、F作直線，直線 EF與直線AD、BC分別相交于點(diǎn)M、N.1 1()如圖，當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到BC的延長線上時(shí)，點(diǎn) 求證：AMFBNEN恰好與點(diǎn)F重合，

5、取AC的中點(diǎn)H ,連結(jié)HE、HF ,(2)當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2中的位置時(shí),AMF與BNE有何數(shù)量關(guān)系？請證明.【例3】如圖，在五邊形ABCDE 中， ABCAED 90 , BAC EAD , F為CD的中點(diǎn).求證:BF EF .B舉一反三1 .如圖所示，在三角形ABC中，D為AB的中點(diǎn)，分別延長CA、CB到點(diǎn)E、F,使DE=DF .過E、F分別作直 線CA、CB的垂線，相交于點(diǎn)P,設(shè)線段PA、PB的中點(diǎn)分別為M、N.求證:(1 ) DEM g FDN ；2 2) PAE PBF .3.已知：在醺。中，分別以BC的中點(diǎn).求AB、AC1為斜邊作等腰直角三角形CANABM ,和 ，P是邊證：PM PN

6、N90 ,連接DE,設(shè)乂為4 .如圖所示，已知ABD和ace都是直角三角形，且 ABD ACEDE的中(1 )求證MB MC.MC是否成立？請證明你(2)設(shè) BAD CAE ,固定Rt ABD ,讓Rt ACE移至圖示位置，此時(shí) MB 的結(jié)論.BB5 .在aABC中，AB=AC ,分別以 AB和AC為斜邊，向 ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，M是BC邊中點(diǎn)中點(diǎn)，連接MD和ME(1 )如圖1所示，若AB=AC ,則MD和ME的數(shù)量關(guān)系是(2)如圖2所示，若ABWAC其他條件不變，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請給出證明過程；(3)在任意 ABC中，仍分別以 AB和AC為斜邊，向 ABC的內(nèi)

7、側(cè)作等腰直角三角形，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME ,請?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并直接判斷 MED的形狀.【例4】 以 ABC的兩邊 AB、AC為腰分別向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE , BAD CAE 90 .連接DE , M、N分別是BC、DE的中點(diǎn).探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.（1）如圖 當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是 ；線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是;（2）將圖中的等腰 Rt ABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（090 ）后，如圖所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由.BMC 圖BMC圖舉一反三1. 1 1（）如圖，BD、CE分別是回：的外角平分線，

8、過點(diǎn) 連接 DE .求證：DE BC , DE AB BC AC2AD BD、AEA作CE ,垂足分別為（2 ）如圖2, BD、CE分別是 ABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變;（3 ）如圖3, BD為 ABC的內(nèi)角平分線，CE為AABC的外角平分線，其他條件不變。則在圖 2、圖3兩種情況下，DE、BC還平行嗎？它與AABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你寫出猜測，并給與證明.AAA2.已知 ABC中，ACB 90， AB邊上的高線CH與 ABC的兩條內(nèi)角平分線 AM、BN分別交于P、Q 兩點(diǎn)PM、QN的中點(diǎn)分別為 E、F.求證：EF / AB.cMBAOB 60 , P、 Q、R 分AB【例5】等腰

9、梯形ABCD中，ABCD，AC BD , AC與BD交于點(diǎn)°, 別是OA、BC、OD的中點(diǎn)，求證：PQR是正三角形1AE -AC .3舉一反三1 . AD是ABC的中線，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，BF的延長線交 AC于E.求證:ADCEF AB ,且【例6】如左下圖，在梯形 ABCD中，ABCD, E、F分別是AC、BD中點(diǎn).求證:EF AB CD2舉一反三2 .在課外小組活動時(shí)，小慧拿來一道題(原問題)和小東，小明交流原問題：如圖1,已知ABC , ACB 90 ,ABC 45 ,分別以 AB, BC 為邊向外作 ABD 和 BCE ,且 DA DB , EB EC ,ADBBEC 90 ,

10、連接DE交AB于點(diǎn)F ,探究線段DF與EF的數(shù)量關(guān)系。小慧同學(xué)的思路是：過點(diǎn) D作DG AB于G,構(gòu)造全等三角形，通過推理使問題得解小東同學(xué)說：我做過一道類似的題目，不同的是，ABC 30 , ADB BEC 60小明同學(xué)經(jīng)過合情推理，提出一個猜想，我們可以把問題推廣到一般情況。請你參考小慧同學(xué)的思路，探究并解決這三位同學(xué)提出的問題：(1)寫出原問題中 DF與EF的數(shù)量關(guān)系(2)如圖2,若 ABC 30 , ADB BED 60 ,原問題中的其他條件不變，你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明;(3)如圖 3,若 ADBBEC2 ABC,原問題中的其他條件不變，你在（1）

11、中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明。2 .如圖，D是 ABC中AB邊的中點(diǎn)， BCE和 ACF都是等邊三角形，M、N分別是CE、CF的中點(diǎn).(1)求證：DMN是等邊三角形；(2)連接EF , Q是EF中點(diǎn)，CP± EF于點(diǎn)P.求證：DP= DQ.同學(xué)們，如果你覺得解決本題有困難，可以閱讀下面兩位同學(xué)的解題思路作為參考：她考慮將小聰同學(xué)發(fā)現(xiàn)此題條件中有較多的中點(diǎn)，因此考慮構(gòu)造三角形的中位線，添加出了一些輔助線;小慧同學(xué)想到要證明線段相等，可通過證明三角形全等，如何構(gòu)造出相應(yīng)的三角形呢?NCM繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到要證的對應(yīng)線段的位置，由此猜想到了所需構(gòu)造的三角形的位置ADB3 .

12、在aABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，在三角形內(nèi)部取一點(diǎn)P,使得NABP二NAGP.過點(diǎn)P作PE, AB于點(diǎn)E, PF，AC于點(diǎn)F.（1）如圖1,當(dāng)AB二AC時(shí)，判斷的DE與DF的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論；（2）如圖2,當(dāng)AB AC,其它條件不變時(shí)，（1）中的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明理由.4 .探究問題：已知 AD、BE分別為 ABC的邊BC、AC上的中線，且 AD、BE交于點(diǎn) O.（1） ABC為等邊三角形，如圖 1,則AO： 0D=；（2）當(dāng)小明做完（1）問后繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若 4ABC為一般三角形（如圖 2）,中的結(jié)論仍成立，請你 給予證明（3）運(yùn)用上述探究的結(jié)果，解決下列問題：如圖3,在 A

13、BC中，點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，AD平分Z BAC,AD _LBE于點(diǎn)F,若AD=BE=4.求：aabc的周長.問題二：如圖3,EF連結(jié)并延長,在 ABC 中，ACBA與的延長線交于點(diǎn)，若，連結(jié)，判斷的形狀并證明.5 .如圖1,在四邊形ABCD中，AB CD, E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長，分別與BA、CD的延長線交于點(diǎn) M、N,則BME CNE （不需證明）.（溫馨提示：在圖 1中，連結(jié)BD,取BD的中點(diǎn)H ,連結(jié)HE、HF ,根據(jù)三角形中位線定理，證明HE HF ,從而 12 ,再利用平行線性質(zhì)，可證得 BME CNE .）問題一：如圖2,在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點(diǎn)

14、O, AB CD , E、F分別是BC、AD的中 點(diǎn)，連結(jié)EF ,分別交DC、AB于點(diǎn)M、N ,判斷AOMN的形狀，請直接寫出結(jié)論.ABD點(diǎn)在AC上，AB CD , E、F分別是BC、AD的中點(diǎn), G EFC 600 GD A AGD6.我們知道三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.重心到頂點(diǎn)的距離與重心到該頂點(diǎn)對邊中點(diǎn)的距離之比為經(jīng)過證明我們可得三角形重心具備下面的性質(zhì):2:1 .請你用此性質(zhì)解決下面的問題.已知：如圖，點(diǎn)O為等腰直角三角形 ABC的重心, 線m的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E、F.m,CAB 90 ,直線 過點(diǎn)O過A、B、C三點(diǎn)分別作直BE、CF和AD三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明;（1）當(dāng)直線m與BC平行時(shí)（如圖1）,請你猜想線段（2）當(dāng)直線m繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到與BC不平行時(shí)，分別探究在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立?若成立，請給予證明；若不成立，線段AD、BE、CF三者之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，不需 證明.VAOB和VCOD ，其中7.以平面上一點(diǎn) O為直角頂點(diǎn)，分別畫出兩個直角三角形，記作A